Distanța de la un punct la o dreaptă și arii

Cuprins

Distanța de la un punct la o dreaptă
- Definiția G30: Distanța de la un punct la o dreaptă
Arii
Aplicații

Distanța de la un punct la o dreaptă

Știm că distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea dintre acel punct și piciorul perpendicularei de pe dreaptă dusă din acel punct. O formulă pentru a calcula această distanță va fi dată în cele ce urmează.

Fie M(x_M,y_M) și dreapta $\begin{align*} &d_1: ax+by+c=0 \end{align*}$ .

Definiția G30: Distanța de la un punct la o dreaptă

Distanța de la punctul la dreapta este:

$\begin{align*} d=\dfrac{\mid ax_M+by_M+c\mid}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{align*}$ .

Dacă ecuația dreptei are altă formă, cum ar fi:

$\begin{align*} &d_2: y=mx+n \end{align*}$ ,

atunci distanța de la punctul la dreapta este:

$\begin{align*} d=\dfrac{\mid mx_M-y_M+n\mid}{\sqrt{1+m^2}} \end{align*}$ .

Arii

Formulele pentru ariile poligoanelor importante sunt cunoscute deja, dar de data aceasta le vom calcula cu ajutorul formulelor recent studiate.

Astfel, avem:

Triunghi

Formula pentru arie este:

$\begin{align*} &S_{MNP}=\frac{NP\cdot MT}{2} \end{align*}$ .

Paralelogram

Aria se calculează astfel:

$\begin{align*} &S_{MNPQ}=QP\cdot MT \end{align*}$ .

Observație:

Pentru cazurile particulare de paralelogram (dreptunghi, pătrat, romb) calculele se fac analog; vom aminti doar formula de aflare a ariilor acestora.

Dreptunghi

$\begin{align*} &S_{MNPQ}=MQ\cdot QP \end{align*}$ .

Pătrat

$\begin{align*} &S_{MNPQ}=MQ^2 \end{align*}$ .

Romb

$\begin{align*} &S_{MNPQ}=MQ\cdot NT \end{align*}$

$\begin{align*} &S_{MNPQ}=\frac{MP\cdot NQ}{2} \end{align*}$

Trapez

$\begin{align*} &S_{MNPQ}=\frac{\left(MN+PQ\right)\cdot MT}{2} \end{align*}$ .

Aplicații

Pentru a înțelege mai bine noțiunile introduse mai sus, profesorii noștri ți-au pregătit următoarele exerciții și probleme rezolvate complet și pas cu pas, astfel încât tu să asimilezi mai repede formulele date.

Fie punctele , , , care reprezintă vârfurile unui triunghi. Să se calculeze aria acestui triunghi.

Rezolvare:

Avem următorul grafic:

Calculăm lungimea bazei triunghiului, dată de :

$\begin{align*} NP&=\sqrt{(x_P-x_N)^2+(y_P-y_N)^2}\\ &=\sqrt{1^2+11^2}\\ &=\sqrt{1+121}\\ &=\sqrt{122} \end{align*}$

Scriem ecuația dreptei $\begin{align*} (NP) \end{align*}$ :

$\begin{align*} & y-y_N=\frac{y_P-y_N}{x_P-x_N}\left(x-x_N\right)\\ \end{align*}$

$\begin{align*} & \Leftrightarrow y+3=\frac{11}{1}\left(x-2\right)\\ \end{align*}$

$\begin{align*} & \Leftrightarrow y=11x-25\\ \end{align*}$ .

Distanța de la punctul la dreapta $\begin{align*} (NP) \end{align*}$ este:

$\begin{align*} MT&=\frac{\mid 11\cdot (-2)-4-25\mid}{\sqrt{1+11^2}}\\\\ &=\frac{51}{\sqrt{122}} \end{align*}$

Având baza triunghiului și înâltimea din vârful opus bazei, putem calcula aria triunghiului astfel:

$\begin{align*} S_{\triangle MNP}&=\frac{NP\cdot MT}{2}\\\\&=\frac{\sqrt{122}\cdot\displaystyle\frac{51}{\sqrt{122}}}{2}\\\\&=\frac{51}{2}\\\\&=25.5 \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow S_{\triangle MNP}&=25.5 \end{align*}$ .

Fie punctele care reprezintă vârfurile unui paralelogram. Să se calculeze aria acestui paralelogram.

Rezolvare:

Pentru început, să reprezentăm grafic cele patru puncte date:

Calculăm lungimea bazei :

$\begin{align*} QP&=\sqrt{(x_P-x_Q)^2+(y_P-y_Q)^2}\\ &=\sqrt{3^2+4^2}\\ &=\sqrt{25}\\ &=5 \end{align*}$

Scriem ecuația dreptei $\begin{align*} (QP) \end{align*}$ :

$\begin{align*} &(PQ): \frac{x-x_P}{x_Q-x_P}=\frac{y-y_P}{y_Q-y_P}\\\\ &\Rightarrow (PQ): \frac{x-2}{-1-2}=\frac{y-2}{-2-2}\\\\ &\Leftrightarrow (PQ): \frac{x-2}{-3}=\frac{y-2}{-4}\\\\ &\Leftrightarrow (PQ): 4x-3y-2=0. \end{align*}$

Distanța de la punctul la dreapta $\begin{align*} (QP) \end{align*}$ este:

$\begin{align*} MT&=\frac{\mid ax_M+by_m+c\mid}{\sqrt{a^2+b^2}}\\\\ &=\frac{\mid 4\cdot (-2)+(-3)\cdot 1+(-2)\mid}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}\\\\ &=\frac{\mid -8-1-2\mid}{5}\\\\ &=\frac{11}{5} \end{align*}$

Atunci, aria acestui paralelogram este:

$\begin{align*} S_{MNPQ}&=PQ\cdot MT\\\\&=5\cdot\frac{11}{5}\\\\&=11 \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow S_{MNPQ}&=11 \end{align*}$ .

Fie punctele care reprezintă vârfurile unui trapez. Să se calculeze aria acestui trapez.

Rezolvare:

Pentru început, reprezentăm punctele date într-un sistem de coodonate xOy astfel:

Din imagine observăm că $MN\parallel PQ$ .

Calculăm lungimea bazelor , respectiv :

$\begin{align*} QP&=\sqrt{(x_P-x_Q)^2+(y_P-y_Q)^2}\\ &=\sqrt{6^2+3^2}\\ &=\sqrt{36+9}\\ &=3\sqrt{5} \end{align*}$

$\begin{align*} MN&=\sqrt{(x_N-x_M)^2+(y_N-y_M)^2}\\ &=\sqrt{2^2+1^2}\\ &=\sqrt{4+1}\\ &=\sqrt{5} \end{align*}$

Scriem ecuația dreptei (QP) :

$\begin{align*} &(PQ): \frac{x-x_P}{x_Q-x_P}=\frac{y-y_P}{y_Q-y_P}\\\\ &\Rightarrow (PQ): \frac{x-4}{-2-4}=\frac{y-1}{-2-1}\\\\ &\Leftrightarrow (PQ): \frac{x-4}{-6}=\frac{y-1}{-3}\\\\ &\Leftrightarrow (PQ): x-2y-2=0. \end{align*}$

Distanța de la punctul la dreapta $\begin{align*} (QP) \end{align*}$ este:

$\begin{align*} MT&=\frac{\mid ax_M+by_M+c\mid}{\sqrt{a^2+b^2}}\\\\ &=\frac{\mid 1\cdot (-1)+(-2)\cdot 2+(-2)\mid}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}\\\\ &=\frac{\mid -1-4-2\mid}{\sqrt{5}}\\\\ &=\frac{8\sqrt{5}}{5} \end{align*}$

$\begin{align*}\Leftrightarrow MT &=\frac{8\sqrt{5}}{5} \end{align*}$ .

Atunci, aria acestui trapez este:

$\begin{align*} S_{MNPQ}&=\frac{\left(\sqrt{5}+3\sqrt{5}\right)\cdot \displaystyle\frac{8\sqrt{5}}{5}}{2}\\\\&=\dfrac{\sqrt{5}\cdot \displaystyle\frac{8\sqrt{5}}{5}+3\sqrt{5}\cdot \displaystyle\frac{8\sqrt{5}}{5}}{2}\\\\&=\dfrac{\dfrac{8\cdot 5}{5}+ \displaystyle\frac{3\cdot 8\cdot 5}{5}}{2}\\\\&=\frac{8+24}{2}\\\\&=\frac{32}{2}\\\\&=16 \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow S_{MNPQ}&=16 \end{align*}$ .