[8]

Vectorul de poziţie al unui punct

Definiția G18: Vector de poziție al unui punct dat

Fie punctul un punct fixat în plan. Dacă considerăm un alt punct din plan, atunci vectorul $\overrightarrow{OT}$ se va numi vector legat sau vectorul de poziție al punctului .

Vom nota vectorul de poziției al punctului prin $\overrightarrow{r_T}$ .

Reprezentarea grafică a acestui vector o poți vedea în figura de mai jos:

În cele ce urmează, vom exprima vectorii legați cu ajutorul vectorilor de poziție astfel: dacă avem fixat punctul și luăm două puncte distincte din plan și , avem vectorii reprezentați în imaginea de mai jos:

Cu ajutorul regulii triunghiului (prezentată în secțiunea „Adunarea vectorilor”), vom exprima vectorul legat $\overrightarrow{TS}$ astfel:

$\begin{align*} \overrightarrow{TS}=\overrightarrow{TO}+\overrightarrow{OS} \end{align*}$ $\begin{align*} (\bigstar ) \end{align*}$ .

Conform Definiției G17: ( Vector de poziție al unui punct dat ) de mai sus, avem că:

$\begin{align*} &\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{r_T} \end{align*}$ , $\begin{align*} (1 ) \end{align*}$

respectiv

$\begin{align*} &\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{r_S} \end{align*}$ . $\begin{align*} (2 ) \end{align*}$

Rescriem relația $\begin{align*} (\bigstar ) \end{align*}$ , în care folosim relațiile $\begin{align*} (1 ) \end{align*}$ și $\begin{align*} (2 ) \end{align*}$ , de unde obținem:

$\begin{align*} \overrightarrow{TS}&=\overrightarrow{TO}+\overrightarrow{OS}\\\\ &=-\overrightarrow{OT}+\overrightarrow{OS}\\\\ &=-\overrightarrow{r_T}+\overrightarrow{r_S}\\\\ &=\overrightarrow{r_S}-\overrightarrow{r_T} \end{align*}$

Așadar, avem:

$\begin{align*} \overrightarrow{TS}=\overrightarrow{r_S}-\overrightarrow{r_T} \end{align*}$ .