Vectorul de poziţie al punctului care împarte un segment într-un raport dat. Teorema lui Thales

În cadrul acestei secțiuni vom vorbi despre:

  • Vectorul de poziţie al punctului care împarte un segment într-un raport dat;
  • Teorema lui Thales (condiții de paralelism).

În capitolul anterior, am văzut că dacă ONM este un triunghi, iar pe latura [MN] fixăm punctul T astfel încât NT=tTM, atunci are loc relația:

\begin{align*} &\overrightarrow{OT}=\frac{1}{t+1}\overrightarrow{ON}+\frac{t}{t+1}\overrightarrow{OM} \end{align*}.

Avem următoarea reprezentare: 

Vom rescrie această relație cu ajutorul vectorilor de poziție astfel:

\begin{align*} &\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{r_T}\\ &\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{r_M}\\ &\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{r_N} \end{align*}

Ne rezultă că:

\begin{align*} &\overrightarrow{OT}=\frac{1}{t+1}\overrightarrow{ON}+\frac{t}{t+1}\overrightarrow{OM} \end{align*}

\begin{align*} &\overrightarrow{r_T}=\frac{1}{t+1}\overrightarrow{r_N}+\frac{t}{t+1}\overrightarrow{r_M} \end{align*}

O altă relație importantă este condiția de coliniaritate a trei puncte.

Plecând de la relația:

\begin{align*} \overrightarrow{r_T}=\frac{1}{t+1}\overrightarrow{r_N}+\frac{t}{t+1}\overrightarrow{r_M} \end{align*}

și făcând substituțiile:

\begin{align*} &\frac{1}{t+1}=\alpha \end{align*};

\begin{align*} &\frac{t}{t+1}=\beta \end{align*};

\begin{align*} &\alpha+\beta=1 \end{align*}.

Obținem că punctele \begin{align*} M \end{align*}, \begin{align*} T \end{align*}, \begin{align*} N \end{align*} sunt coliniare dacă și numai dacă:

\begin{align*} \overrightarrow{r_T}=\alpha\overrightarrow{r_N}+\beta\overrightarrow{r_M}, \end{align*}

cu \begin{align*} \alpha,\beta\in\mathbb{R} \end{align*} și \begin{align*} \alpha+\beta=1 \end{align*}.

În cazul în care t=1 și NT=TM, atunci \begin{align*} T \end{align*} se află la mijlocul segmentului [MN], așa cum se poate observa în figura următoare:

Atunci vectorul de poziţie al punctului care împarte un segment într-un raport dat va fi:

\begin{align*} &\overrightarrow{r_T}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{r_N}+\overrightarrow{r_M}\right) \end{align*}.

Pentru a vedea cum se aplică acestă relație în exerciții și probleme, profesorii de matematică ai echipei Liceunet te sfătuiesc să citești cu mare atenție următorul exercițiu.

Exercițiu:

Să se arate că un patrulater ABCD este paralelogram, dacă și numai dacă diagonalele sale se înjumătățesc. 

Soluție:

Avem următoarea figură:

Prima dată vom nota vectorii de poziție astfel:

\begin{align*} &\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{r_A}, \end{align*}

\begin{align*} &\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{r_B}, \end{align*}

\begin{align*} &\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{r_C}, \end{align*}

\begin{align*} &\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{r_D}. \end{align*}

Dacă ABCD este paralelogram, atunci din definiție ne rezultă că AB\left\right\|CD și AB=CD.

Dacă rescriem egalitatea laturilor paralele cu ajutorul vectorilor, avem:

\begin{align*} \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\\ \end{align*}.

Dar

\begin{align*} \overrightarrow{AB}&=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}\\\\ &=-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\\\\ &=\overrightarrow{r_B}-\overrightarrow{r_A}\\ \end{align*}

\begin{align*}\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}&=\overrightarrow{r_B}-\overrightarrow{r_A}\\ \end{align*}

și

\begin{align*} \overrightarrow{DC}&=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OC}\\\\ &=-\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}\\\\ &=\overrightarrow{r_C}-\overrightarrow{r_D}\\ \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \overrightarrow{DC}&=\overrightarrow{r_C}-\overrightarrow{r_D}\\ \end{align*}.

Atunci, avem:

\begin{align*} &\overrightarrow{r_B}-\overrightarrow{r_A}=\overrightarrow{r_C}-\overrightarrow{r_D} \end{align*}

\begin{align*} &\Leftrightarrow \overrightarrow{r_B}+\overrightarrow{r_D}=\overrightarrow{r_C}+\overrightarrow{r_A}\\ \end{align*}.

Dacă înmulțim ultima relație cu \dfrac{1}{2}, obținem relația:

\begin{align*} \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{r_B}+\overrightarrow{r_D}\right)=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{r_C}+\overrightarrow{r_A}\right)\\ \end{align*},

care ne arată că diagonalele au același mijloc.

Cu alte cuvinte, am arătat că diagonalele paralelogramului ABCD se înjumătățesc.

Din rezolvarea acestei probleme se poate desprinde următorul rezultat important:

Dacă ABCD este un paralelogram, atunci avem că:

\begin{align*} \overrightarrow{r_A}+\overrightarrow{r_C}=\overrightarrow{r_B}+\overrightarrow{r_D} \end{align*}.

Să ne amintim Teorema lui Thales învățată în clasa a șaptea și să o scriem cu ajutorul vectorilor.

Pentru aceasta, avem următoarea figură:

Dreapta TS este paralelă cu dreapta NP, dacă și numai dacă are loc relația:

\begin{align*} \frac{\overrightarrow{MT}}{\overrightarrow{TN}}=\frac{\overrightarrow{MS}}{\overrightarrow{SP}}\\ \end{align*}.

Demonstrație:

În primul rând vom demonstra implicația spre dreapta, adică dacă TS \left\right\| NP, atunci \begin{align*} \frac{\overrightarrow{MT}}{\overrightarrow{TN}}=\frac{\overrightarrow{MS}}{\overrightarrow{SP}}\\ \end{align*}.

Cum TS \left\right\| NP, ne rezultă că:

\begin{align*} &\overrightarrow{MT}=a\overrightarrow{MN} \end{align*} ,

respectiv

\begin{align*} &\overrightarrow{MS}=b\overrightarrow{MP} \end{align*} .

Pentru că vectorii \overrightarrow{TS} și {\overrightarrow{NP} sunt coliniari, putem să scriem relația astfel:

\begin{align*} &\overrightarrow{TS}=k\overrightarrow{NP}\\ \end{align*}.

Dar,

\begin{align*} &\overrightarrow{TS}=\overrightarrow{TM}+\overrightarrow{MS} \end{align*}

\begin{align*} &\Leftrightarrow\overrightarrow{TS}=\overrightarrow{MS}-\overrightarrow{MT} \end{align*}

și

\begin{align*} &\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{MP} \end{align*}

\begin{align*} &\Leftrightarrow\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}-\overrightarrow{MN} \end{align*}.

Se face substituția în relația:

\begin{align*} & \overrightarrow{TS}=\overrightarrow{MS}-\overrightarrow{MT} \end{align*}

și astfel, vom obține:

\begin{align*} & \overrightarrow{TS}=\overrightarrow{MS}-\overrightarrow{MT} \end{align*}

\begin{align*} &\Leftrightarrow k\overrightarrow{NP}=b\overrightarrow{MP}-a\overrightarrow{MN} \end{align*}

\begin{align*} &\Leftrightarrow k\left(\overrightarrow{MP}-\overrightarrow{MN}\right)=b\overrightarrow{MP}-a\overrightarrow{MN} \end{align*}

\begin{align*} &\Leftrightarrow\left(k-b\right)\overrightarrow{MP}+\left(a-k\right)\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{0} \end{align*}.

Deoarece vectorii \overrightarrow{MP} și \overrightarrow{MN} sunt necoliniari, din condiția de necoliniaritate, rezultă că:

\begin{align*} &k-b=a-k=0 \end{align*},

de unde obținem:

\begin{align*} & a=b=k \end{align*}.

Deci

\begin{align*} &\overrightarrow{MT}=a\overrightarrow{MN} \end{align*},

respectiv

\begin{align*} &\overrightarrow{MS}=a\overrightarrow{MP} \end{align*}.

Adică

\begin{align*} &\frac{\overrightarrow{MT}}{\overrightarrow{MN}}=\frac{\overrightarrow{MS}}{\overrightarrow{MP}} \end{align*}

\begin{align*} &\Leftrightarrow\dfrac{\overrightarrow{MT}}{\overrightarrow{TN}}=\dfrac{\overrightarrow{MS}}{\overrightarrow{SP}}\\ \end{align*}.

Reciproc, arătăm că are loc și implicația spre stânga.

Facem presupunerea că:

\begin{align*} \frac{\overrightarrow{MT}}{\overrightarrow{TN}}=\frac{\overrightarrow{MS}}{\overrightarrow{SP}}\\ \end{align*} 

și demonstrăm că TS \left\right\| NP sau, altfel spus, că vectorii \overrightarrow{TS} și {\overrightarrow{NP} sunt coliniari.

Din faptul că punctele T și S împart segmentele în același raport, obținem:

\begin{align*} &\overrightarrow{MT}=\alpha\overrightarrow{TN} \end{align*},

\begin{align*} &\overrightarrow{MS}=\alpha\overrightarrow{SP}\\ \end{align*}.

Cu ajutorul regulii triunghiului obținem prima relație:

\begin{align*} \overrightarrow{TS}=\overrightarrow{TM}+\overrightarrow{MS} \end{align*},

iar cu ajutorul regulii patrulaterului obținem a doua relație:

\begin{align*} \overrightarrow{TS}=\overrightarrow{TN}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PS} \end{align*}.

Înmulțind această relație cu \alpha, ne rezultă:

\begin{align*} \alpha \overrightarrow{TS}= \alpha \overrightarrow{TN}+k\overrightarrow{NP}+ \alpha \overrightarrow{PS} \end{align*}.

Adunăm cele două relații și obținem:

\begin{align*} &\left(1+\alpha\right)\overrightarrow{TS}=\overrightarrow{TM}+\overrightarrow{MS}+\alpha\overrightarrow{TN}+\alpha\overrightarrow{NP}+\alpha\overrightarrow{PS} \end{align*}

\begin{align*} &\Leftrightarrow\left(1+\alpha\right)\overrightarrow{TS}=\left(\overrightarrow{TM}+\alpha\overrightarrow{TN}\right)+\left(\overrightarrow{MS}+\alpha\overrightarrow{PS}\right)+\alpha\overrightarrow{NP} \end{align*}

\begin{align*} &\Leftrightarrow\left(1+\alpha\right)\overrightarrow{TS}=\left(-\alpha\overrightarrow{TN}+\alpha\overrightarrow{TN}\right)+\left(-\alpha\overrightarrow{PS}+\alpha\overrightarrow{PS}\right)+\alpha\overrightarrow{NP} \end{align*}

\begin{align*} &\Leftrightarrow\left(1+\alpha\right)\overrightarrow{TS}=\alpha\overrightarrow{NP} \end{align*}.

Deci vectorii \overrightarrow{TS} și {\overrightarrow{NP} sunt coliniari, de unde obținem că TS \left\right\| NP.

Cu ajutorul acestei teoreme putem arăta că dacă într-un triunghi avem rapoarte de segmente proporționale, atunci avem și segmente paralele.

O altă condiție de paralelism a fost deja amintită în capitolul anterior și anume: dacă avem doi vectori \overrightarrow{u} și \overrightarrow{v}, scriși în formă analitică :

\begin{align*} &\overrightarrow{u}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b} \end{align*} ,

respectiv

&\overrightarrow{v}=p\overrightarrow{a}+q\overrightarrow{b} ,

atunci spunem că vectori \overrightarrow{u} și \overrightarrow{v} sunt coliniari, deci dreptele lor suport sunt paralele, dacă \frac{m}{p}=\frac{n}{q} .