Vectorul de poziţie al punctului care împarte un segment într-un raport dat. Teorema lui Thales

În cadrul acestei secțiuni vom vorbi despre:

Vectorul de poziţie al punctului care împarte un segment într-un raport dat;
Teorema lui Thales (condiții de paralelism).

În capitolul anterior, am văzut că dacă ONM este un triunghi, iar pe latura [MN] fixăm punctul astfel încât NT=tTM , atunci are loc relația:

$\begin{align*} &\overrightarrow{OT}=\frac{1}{t+1}\overrightarrow{ON}+\frac{t}{t+1}\overrightarrow{OM} \end{align*}$ .

Avem următoarea reprezentare:

Vom rescrie această relație cu ajutorul vectorilor de poziție astfel:

$\begin{align*} &\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{r_T}\\ &\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{r_M}\\ &\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{r_N} \end{align*}$

Ne rezultă că:

$\begin{align*} &\overrightarrow{OT}=\frac{1}{t+1}\overrightarrow{ON}+\frac{t}{t+1}\overrightarrow{OM} \end{align*}$

$\begin{align*} &\overrightarrow{r_T}=\frac{1}{t+1}\overrightarrow{r_N}+\frac{t}{t+1}\overrightarrow{r_M} \end{align*}$

O altă relație importantă este condiția de coliniaritate a trei puncte.

Plecând de la relația:

$\begin{align*} \overrightarrow{r_T}=\frac{1}{t+1}\overrightarrow{r_N}+\frac{t}{t+1}\overrightarrow{r_M} \end{align*}$

și făcând substituțiile:

$\begin{align*} &\frac{1}{t+1}=\alpha \end{align*}$ ;

$\begin{align*} &\frac{t}{t+1}=\beta \end{align*}$ ;

$\begin{align*} &\alpha+\beta=1 \end{align*}$ .

Obținem că punctele $\begin{align*} M \end{align*}$ , $\begin{align*} T \end{align*}$ , $\begin{align*} N \end{align*}$ sunt coliniare dacă și numai dacă:

$\begin{align*} \overrightarrow{r_T}=\alpha\overrightarrow{r_N}+\beta\overrightarrow{r_M}, \end{align*}$

cu $\begin{align*} \alpha,\beta\in\mathbb{R} \end{align*}$ și $\begin{align*} \alpha+\beta=1 \end{align*}$ .

În cazul în care t=1 și NT=TM , atunci $\begin{align*} T \end{align*}$ se află la mijlocul segmentului [MN] , așa cum se poate observa în figura următoare:

Atunci vectorul de poziţie al punctului care împarte un segment într-un raport dat va fi:

$\begin{align*} &\overrightarrow{r_T}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{r_N}+\overrightarrow{r_M}\right) \end{align*}$ .

Pentru a vedea cum se aplică acestă relație în exerciții și probleme, profesorii de matematică ai echipei Liceunet te sfătuiesc să citești cu mare atenție următorul exercițiu.

Exercițiu:

Să se arate că un patrulater ABCD este paralelogram, dacă și numai dacă diagonalele sale se înjumătățesc.

Soluție:

Avem următoarea figură:

Prima dată vom nota vectorii de poziție astfel:

$\begin{align*} &\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{r_A}, \end{align*}$

$\begin{align*} &\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{r_B}, \end{align*}$

$\begin{align*} &\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{r_C}, \end{align*}$

$\begin{align*} &\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{r_D}. \end{align*}$

Dacă ABCD este paralelogram, atunci din definiție ne rezultă că $AB\left\right\|CD$ și AB=CD .

Dacă rescriem egalitatea laturilor paralele cu ajutorul vectorilor, avem:

$\begin{align*} \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\\ \end{align*}$ .

Dar

$\begin{align*} \overrightarrow{AB}&=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}\\\\ &=-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\\\\ &=\overrightarrow{r_B}-\overrightarrow{r_A}\\ \end{align*}$

$\begin{align*}\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}&=\overrightarrow{r_B}-\overrightarrow{r_A}\\ \end{align*}$

și

$\begin{align*} \overrightarrow{DC}&=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OC}\\\\ &=-\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}\\\\ &=\overrightarrow{r_C}-\overrightarrow{r_D}\\ \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow \overrightarrow{DC}&=\overrightarrow{r_C}-\overrightarrow{r_D}\\ \end{align*}$ .

Atunci, avem:

$\begin{align*} &\overrightarrow{r_B}-\overrightarrow{r_A}=\overrightarrow{r_C}-\overrightarrow{r_D} \end{align*}$

$\begin{align*} &\Leftrightarrow \overrightarrow{r_B}+\overrightarrow{r_D}=\overrightarrow{r_C}+\overrightarrow{r_A}\\ \end{align*}$ .

Dacă înmulțim ultima relație cu $\dfrac{1}{2}$ , obținem relația:

$\begin{align*} \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{r_B}+\overrightarrow{r_D}\right)=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{r_C}+\overrightarrow{r_A}\right)\\ \end{align*}$ ,

care ne arată că diagonalele au același mijloc.

Cu alte cuvinte, am arătat că diagonalele paralelogramului ABCD se înjumătățesc.

Din rezolvarea acestei probleme se poate desprinde următorul rezultat important:

Dacă este un paralelogram, atunci avem că:

$\begin{align*} \overrightarrow{r_A}+\overrightarrow{r_C}=\overrightarrow{r_B}+\overrightarrow{r_D} \end{align*}$ .

Să ne amintim Teorema lui Thales învățată în clasa a șaptea și să o scriem cu ajutorul vectorilor.

Pentru aceasta, avem următoarea figură:

Dreapta este paralelă cu dreapta , dacă și numai dacă are loc relația:

$\begin{align*} \frac{\overrightarrow{MT}}{\overrightarrow{TN}}=\frac{\overrightarrow{MS}}{\overrightarrow{SP}}\\ \end{align*}$ .

Demonstrație:

În primul rând vom demonstra implicația spre dreapta, adică dacă $TS \left\right\| NP$ , atunci $\begin{align*} \frac{\overrightarrow{MT}}{\overrightarrow{TN}}=\frac{\overrightarrow{MS}}{\overrightarrow{SP}}\\ \end{align*}$ .

Cum $TS \left\right\| NP$ , ne rezultă că:

$\begin{align*} &\overrightarrow{MT}=a\overrightarrow{MN} \end{align*}$ ,

respectiv

$\begin{align*} &\overrightarrow{MS}=b\overrightarrow{MP} \end{align*}$ .

Pentru că vectorii $\overrightarrow{TS}$ și ${\overrightarrow{NP}$ sunt coliniari, putem să scriem relația astfel:

$\begin{align*} &\overrightarrow{TS}=k\overrightarrow{NP}\\ \end{align*}$ .

Dar,

$\begin{align*} &\overrightarrow{TS}=\overrightarrow{TM}+\overrightarrow{MS} \end{align*}$

$\begin{align*} &\Leftrightarrow\overrightarrow{TS}=\overrightarrow{MS}-\overrightarrow{MT} \end{align*}$

și

$\begin{align*} &\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{MP} \end{align*}$

$\begin{align*} &\Leftrightarrow\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}-\overrightarrow{MN} \end{align*}$ .

Se face substituția în relația:

$\begin{align*} & \overrightarrow{TS}=\overrightarrow{MS}-\overrightarrow{MT} \end{align*}$

și astfel, vom obține:

$\begin{align*} & \overrightarrow{TS}=\overrightarrow{MS}-\overrightarrow{MT} \end{align*}$

$\begin{align*} &\Leftrightarrow k\overrightarrow{NP}=b\overrightarrow{MP}-a\overrightarrow{MN} \end{align*}$

$\begin{align*} &\Leftrightarrow k\left(\overrightarrow{MP}-\overrightarrow{MN}\right)=b\overrightarrow{MP}-a\overrightarrow{MN} \end{align*}$

$\begin{align*} &\Leftrightarrow\left(k-b\right)\overrightarrow{MP}+\left(a-k\right)\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{0} \end{align*}$ .

Deoarece vectorii $\overrightarrow{MP}$ și $\overrightarrow{MN}$ sunt necoliniari, din condiția de necoliniaritate, rezultă că:

$\begin{align*} &k-b=a-k=0 \end{align*}$ ,

de unde obținem:

$\begin{align*} & a=b=k \end{align*}$ .

Deci

$\begin{align*} &\overrightarrow{MT}=a\overrightarrow{MN} \end{align*}$ ,

respectiv

$\begin{align*} &\overrightarrow{MS}=a\overrightarrow{MP} \end{align*}$ .

Adică

$\begin{align*} &\frac{\overrightarrow{MT}}{\overrightarrow{MN}}=\frac{\overrightarrow{MS}}{\overrightarrow{MP}} \end{align*}$

$\begin{align*} &\Leftrightarrow\dfrac{\overrightarrow{MT}}{\overrightarrow{TN}}=\dfrac{\overrightarrow{MS}}{\overrightarrow{SP}}\\ \end{align*}$ .

Reciproc, arătăm că are loc și implicația spre stânga.

Facem presupunerea că:

$\begin{align*} \frac{\overrightarrow{MT}}{\overrightarrow{TN}}=\frac{\overrightarrow{MS}}{\overrightarrow{SP}}\\ \end{align*}$

și demonstrăm că $TS \left\right\| NP$ sau, altfel spus, că vectorii $\overrightarrow{TS}$ și ${\overrightarrow{NP}$ sunt coliniari.

Din faptul că punctele și împart segmentele în același raport, obținem:

$\begin{align*} &\overrightarrow{MT}=\alpha\overrightarrow{TN} \end{align*}$ ,

$\begin{align*} &\overrightarrow{MS}=\alpha\overrightarrow{SP}\\ \end{align*}$ .

Cu ajutorul regulii triunghiului obținem prima relație:

$\begin{align*} \overrightarrow{TS}=\overrightarrow{TM}+\overrightarrow{MS} \end{align*}$ ,

iar cu ajutorul regulii patrulaterului obținem a doua relație:

$\begin{align*} \overrightarrow{TS}=\overrightarrow{TN}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PS} \end{align*}$ .

Înmulțind această relație cu $\alpha$ , ne rezultă:

$\begin{align*} \alpha \overrightarrow{TS}= \alpha \overrightarrow{TN}+k\overrightarrow{NP}+ \alpha \overrightarrow{PS} \end{align*}$ .

Adunăm cele două relații și obținem:

$\begin{align*} &\left(1+\alpha\right)\overrightarrow{TS}=\overrightarrow{TM}+\overrightarrow{MS}+\alpha\overrightarrow{TN}+\alpha\overrightarrow{NP}+\alpha\overrightarrow{PS} \end{align*}$

$\begin{align*} &\Leftrightarrow\left(1+\alpha\right)\overrightarrow{TS}=\left(\overrightarrow{TM}+\alpha\overrightarrow{TN}\right)+\left(\overrightarrow{MS}+\alpha\overrightarrow{PS}\right)+\alpha\overrightarrow{NP} \end{align*}$

$\begin{align*} &\Leftrightarrow\left(1+\alpha\right)\overrightarrow{TS}=\left(-\alpha\overrightarrow{TN}+\alpha\overrightarrow{TN}\right)+\left(-\alpha\overrightarrow{PS}+\alpha\overrightarrow{PS}\right)+\alpha\overrightarrow{NP} \end{align*}$

$\begin{align*} &\Leftrightarrow\left(1+\alpha\right)\overrightarrow{TS}=\alpha\overrightarrow{NP} \end{align*}$ .

Deci vectorii $\overrightarrow{TS}$ și ${\overrightarrow{NP}$ sunt coliniari, de unde obținem că $TS \left\right\| NP$ .

Cu ajutorul acestei teoreme putem arăta că dacă într-un triunghi avem rapoarte de segmente proporționale, atunci avem și segmente paralele.

O altă condiție de paralelism a fost deja amintită în capitolul anterior și anume: dacă avem doi vectori $\overrightarrow{u}$ și $\overrightarrow{v}$ , scriși în formă analitică :

$\begin{align*} &\overrightarrow{u}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b} \end{align*}$ ,

respectiv

$&\overrightarrow{v}=p\overrightarrow{a}+q\overrightarrow{b}$ ,

atunci spunem că vectori $\overrightarrow{u}$ și $\overrightarrow{v}$ sunt coliniari, deci dreptele lor suport sunt paralele, dacă $\frac{m}{p}=\frac{n}{q}$ .