Teorema lui Menelaus. Reciproca teoremei lui Menelaus

Până în acest moment am văzut câteva modalități de a demonstra coliniaritatea a trei puncte, toate bazându-se pe vectori.

Un alt rezultat cu care putem ușor să demonstrăm că trei puncte sunt coliniare este reciproca teoremei lui Menelaus.

Vom enunța Teorema lui Menelaus, iar apoi vom enunța și reciproca acestei teoreme, pentru a știi cum să o aplicăm în exerciții.

Teorema lui Menelaus 

Fie un triunghi MNP.

Vom construi dreapta d, pe care o vom numi transversală și care intersectează toate laturile triunghiului sau prelungirile lor în punctele A, BC, așa cum se pote observa în imaginea de mai jos:

Atunci are loc egalitatea:

\begin{align*} \frac{AM}{AN}\cdot\frac{CN}{CP}\cdot\frac{BP}{BM}=1 \end{align*}.

Reciproca teoremei lui Menelaus

Această reciprocă este foarte importantă în demonstrarea coliniarității și ne spune că în triunghiul MNP, ca cel de mai sus, dacă:

\begin{align*} &\frac{AM}{AN}=a \end{align*} ,

\begin{align*} &\frac{CN}{CP}=b\\ \end{align*},

respectiv

\begin{align*} &\frac{BP}{BM}=c \end{align*}

și în plus avem că:

a\cdot b\cdot c=1,

atunci punctele ABC sunt coliniare.