Geometrie | Ghid
  1. Matematică
  2. Geometrie | Ghid
  3. Coliniaritate, concurenţă, paralelism - calcul vectorial în geometria plană
[8]

Teorema lui Ceva. Reciproca teoremei lui Ceva

Un rezultat important pentru a demonstra concurența unor segmente este reciproca teoremei lui Ceva.

Cuprins

Pentru început să ne reamintim care este teorema lui Ceva.

Teorema lui Ceva

Fie MNP un triunghi, iar M_1, N_1, respecitv P_1 sunt trei puncte luate pe cele trei laturi ale triunghiului MNP.

Dacă segmentele [MM_1], [NN_1], respectiv [PP_1] sunt concurente, ne rezultă că:

\begin{align*} \frac{MP_1}{P_1N}\cdot \frac{NM_1}{M_1P}\cdot \frac{PN_1}{N_1M}=1 \end{align*}.

Avem următoarea figură:

Această teoremă se demonstrează ușor cu teorema lui Menelaus, după cum urmează:

Fie [MM_1]\cap[NN_1]\cap[PP_1]=\{T\}.

Aplicăm teorema amintită în triunghiul MNM_1 cu transversala PTP_1 astfel:

\begin{align*} \frac{P_1M}{P_1N}\cdot\frac{PN}{M_1P}\cdot\frac{TM_1}{TM}=1 \end{align*}.

​Aplicăm teorema Menelaus și triunghiului MPM_1 cu transversala NTN_1 astfel:

\begin{align*} \frac{M_1N}{PN}\cdot\frac{N_1P}{N_1M}\cdot\frac{TM}{TM_1}=1 \end{align*}.

Vom înmulții membrul stâng cu membrul stâng și membrul drept cu membrul drept în aceste două relații și obținem:

\begin{align*} &\frac{P_1M}{P_1N}\cdot\frac{PN}{M_1P}\cdot\frac{TM_1}{TM}\cdot\frac{M_1N}{PN}\cdot\frac{N_1P}{N_1M}\cdot\frac{TM}{TM_1}=1 \end{align*}

\begin{align*} &\Leftrightarrow \frac{MP_1}{P_1N}\cdot \frac{NM_1}{M_1P}\cdot \frac{PN_1}{N_1M}=1 \end{align*}.

Astfel, teorema lui Ceva este demonstrată.

Reciproca teoremei lui Ceva

Reciproca teoremei lui Ceva ne spune că: dacă într-un triunghi MNP, cu M_1, N_1, respecitv P_1 ​trei puncte luate pe cele trei laturi ca în figura de mai jos, unde are loc relația:

\begin{align*} \frac{MP_1}{P_1N}\cdot \frac{NM_1}{M_1P}\cdot \frac{PN_1}{N_1M}=1 \end{align*} ,

atunci segmentele (cevienele) [MM_1], [NN_1], respectiv [PP_1] sunt concurente.

Teoreme care se pot demonstra cu ajutorul reciprocei teoremei lui Ceva

Am văzut în paginile anterioare demonstrațiile cu medianele și bisectoarele care sunt concurete, dar să demonstram acest lucru și cu ajutorul reciprocei teoremei lui Ceva.

  1. Concurența medianelor unui triunghi

Prin urmare, ​pentru teorema cu mediane avem următoarea demonstrație cu ajutorul reciprocei teoremei lui Ceva:

Avem figura următoare:

Trebuie să arătăm că, în triunghiul reprezentat mai sus, are loc următoarea relație:

\begin{align*} \frac{MB}{BN}\cdot\frac{NA}{AP}\cdot\frac{PC}{CM}=1 \end{align*} .

Demonstrație:

Deoarece punctele B, A, respectiv C sunt mijloacele laturilor [MN], [NP], respectiv [PM] (este evidențiat acest lucru pe figura de mai sus), atunci are loc egalitatea:

\begin{align*} \frac{MB}{BN}=\frac{NA}{AP}=\frac{PC}{CM}=1 \end{align*}.

Așadar, medianele sunt concurente în punctul G​, care reprezintă centrul de grutate al triunghiului MNP.

  1. Teorema bisectoarei

Pentru teorema cu bisectoare avem următoarea demonstrație:

Pentru început, avem următoarea figură:

Avem de arătat că:

\begin{align*} \frac{MC}{CN}\cdot\frac{NA}{AP}\cdot\frac{PB}{BM}=1 \end{align*}.

Vom aplica teorema bisectoarei pentru fiecare bisectoare în parte și obținem:

  • pentru bisectoarea [PC avem că:

\begin{align*} &\frac{MC}{CN}=\frac{PM}{PN}=\frac{n}{m} \end{align*}.

  • pentru bisectoarea [MA avem relația:

\begin{align*} &\frac{NA}{AP}=\frac{MN}{MP}=\frac{p}{n} \end{align*}.

  • pentru bisectoarea \begin{align*} [NB \end{align*} relația este:

\begin{align*} &\frac{PB}{BM}=\frac{NP}{NM}=\frac{m}{p} \end{align*}.

Înmulțind aceste relații, ne rezultă că:

\begin{align*} &\frac{MC}{CN}\cdot\frac{NA}{AP}\cdot\frac{PB}{BM}=\frac{n}{m}\cdot\frac{p}{n}\cdot\frac{m}{p}=1 \end{align*}.

Așadar, am demonstrat cu ajutorul reciprocei teoremei lui Ceva că bisectoarele unui triunghi sunt concurente în punctul \begin{align*} I \end{align*}, care reprezintă centrul cercului înscris în triunghi.

Teorema lui Menelaus. Reciproca teoremei lui MenelausCoordonate carteziene în plan