Ortocentrul unui triunghi. Centrul cercului circumscris. Relaţia lui Sylvester. Concurenţa înălţimilor într-un triunghi

Cuprins

Ortocentrul unui triunghi. Centrul cercului circumscris
Relația lui Sylvester
Concurenţa înălţimilor într-un triunghi

Ortocentrul unui triunghi. Centrul cercului circumscris

Să luăm un triunghi MNP , vom nota cu punctul de intersecție al mediatoarelor, adică centrul cercului circumscris, iar va fi punctrul de intersecție al înălțimilor, adică ortocentrul triunghiului.

Atunci are loc egalitatea:

$\begin{align*} &\overrightarrow{HM}+\overrightarrow{HN}+\overrightarrow{HP}=2\overrightarrow{HO} \end{align*}$ .

Demonstrăm această relație:

Pentru aceasta, avem următoarea imagine:

Notăm cu $M^\ast$ opusul lui față de centrul cercului circumscris ; adică $MM^\ast$ este diamentru.

Să demonstrăm că patrulaterul $NHPM^\ast$ este paralelogram.

Deoarece $MM^\ast$ este diametru, ne rezultă că $M^\ast P\perp MP$ .

Dar și $NN_1\perp MP$ , deoarece NN_1 este înălțime în triunghiul MPN .

Rezultă că $NH\left\right\| M^\ast P$ .

Deoarece $MM^\ast$ este diametru, ne rezultă că $M^\ast N\perp MN$ .

Dar și $PP_1\perp MN$ , deoarece PP_1 este înălțime în triunghiul MPN .

Ne rezultă că $PH\left\right\| M^\ast N$ .

Așadar, $NHPM^\ast$ este paralelogram.

Diagonalele acestui paralelogram se înjumătățesc într-un punct M_2 .

Folosind regula paralelogramului (prezentată în primul capitol al acestui ghid), ne rezultă că:

$\begin{align*} &\overrightarrow{HN}+\overrightarrow{HP}=\overrightarrow{HM^\ast} \end{align*}$ .

Adunăm acestei relații vectorul $\overrightarrow{HM}$ și obțiem:

$\begin{align*} &\overrightarrow{HM}+\overrightarrow{HN}+\overrightarrow{HP}=\overrightarrow{HM}+\overrightarrow{HM^\ast} \end{align*}$ .

În triunghiul $MHM^\ast$ , este mijlocul laturii $MM^\ast$ , deci este mediană, de unde ne rezultă că :

$\begin{align*} \overrightarrow{HM}+\overrightarrow{HM^\ast}=2\overrightarrow{HO} \end{align*}$ .

Deci

$\begin{align*} &\overrightarrow{HM}+\overrightarrow{HN}+\overrightarrow{HP}=2\overrightarrow{HO} \end{align*}$ .

Relația lui Sylvester

Să mai demonstrăm un rezultat important și anume Relația lui Sylvester.

Pentru aceasta, vom considera un triunghi MNP , vom nota cu punctul de intersecție al mediatoarelor, adică centrul cercului circumscris (îl vom considera ca punct fix sau pol), iar va fi punctul de intersecție al înălțimilor, adică ortocentrul triunghiului.

Atunci vectorul de poziție al ortocentrului în funcție de vectorii de poziție ai punctelor , , , cu punctul fix este:

$\begin{align*} &\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OH} \end{align*}$ .

Sau dacă este punct fix sau pol, atunci:

$\begin{align*} &\overrightarrow{r_M}+\overrightarrow{r_N}+\overrightarrow{r_P}=\overrightarrow{r_H} \end{align*}$ .

Demonstrație:

Avem următoarea imagine:

În demonstrația anterioară am vazut că patrulaterul $NHPM^\ast$ este paralelogram.

Dacă este un punct fix, atunci putem scrie relația astfel:

$\begin{align*} \overrightarrow{r_H}+\overrightarrow{r_{M^\star}}=\overrightarrow{r_N}+\overrightarrow{r_P} \end{align*}$ .

Dar

$\begin{align*} \overrightarrow{r_{M^\ast}}=-\overrightarrow{r_M} \end{align*}$ ,

de unde ne rezultă că:

$\begin{align*} &\overrightarrow{r_H}-\overrightarrow{r_M}=\overrightarrow{r_N}+\overrightarrow{r_P} \end{align*}$

$\begin{align*} &\Leftrightarrow \overrightarrow{r_H}=\overrightarrow{r_M}+\overrightarrow{r_N}+\overrightarrow{r_P}\\ \end{align*}$ .

Concurenţa înălţimilor într-un triunghi

Un rezultat important este acela că înălțimile într-un triunghi sunt concurente.

Acest lucru se demonstrază ușor.

Vom presupune că avem două puncte de intersecție ale înălțimilor și $H^\ast$ .

Atunci, înseamnă că putem scrie relațiile:

$\begin{align*} &\overrightarrow{r_H}=\overrightarrow{r_M}+\overrightarrow{r_N}+\overrightarrow{r_P} \end{align*}$ ,

respectiv

$\begin{align*} &\overrightarrow{r_{H^\ast}}=\overrightarrow{r_M}+\overrightarrow{r_N}+\overrightarrow{r_P}\\ \end{align*}$ .

Ne rezultă că:

$\overrightarrow{r_H}=\overrightarrow{r_{H^\ast}}$ ,

de unde obținem că și $H^\ast$ coincid.

Observație:

Ca o concecință importantă a relației lui Sylvester este faptul că într-un triunghi centrul de greutate, ortocentrul și centrul cercului circumscris sunt puncte coliniare.

Demonstrație:

Pentru a demonstra această observație, avem nevoie de următoarea figură: