Ortocentrul unui triunghi. Centrul cercului circumscris. Relaţia lui Sylvester. Concurenţa înălţimilor într-un triunghi

Ortocentrul unui triunghi. Centrul cercului circumscris

Să luăm un triunghi MNP, vom nota cu O punctul de intersecție al mediatoarelor, adică centrul cercului circumscris, iar H va fi punctrul de intersecție al înălțimilor, adică ortocentrul triunghiului.

Atunci are loc egalitatea:

\begin{align*} &\overrightarrow{HM}+\overrightarrow{HN}+\overrightarrow{HP}=2\overrightarrow{HO} \end{align*}.

Demonstrăm această relație:

Pentru aceasta, avem următoarea imagine:

Notăm cu M^\ast opusul lui M față de centrul cercului circumscris O; adică MM^\ast este diamentru.

Să demonstrăm că patrulaterul NHPM^\ast este paralelogram.

Deoarece MM^\ast este diametru, ne rezultă că M^\ast P\perp MP.

Dar și NN_1\perp MP, deoarece NN_1 este înălțime în triunghiul MPN.

Rezultă că NH\left\right\| M^\ast P.

Deoarece MM^\ast este diametru, ne rezultă că M^\ast N\perp MN.

Dar și PP_1\perp MN, deoarece PP_1 este înălțime în triunghiul MPN .

Ne rezultă că PH\left\right\| M^\ast N.

Așadar, NHPM^\ast este paralelogram.

Diagonalele acestui paralelogram se înjumătățesc într-un punct M_2.

Folosind regula paralelogramului (prezentată în primul capitol al acestui ghid), ne rezultă că:

\begin{align*} &\overrightarrow{HN}+\overrightarrow{HP}=\overrightarrow{HM^\ast} \end{align*}.

Adunăm acestei relații vectorul \overrightarrow{HM} și obțiem:

\begin{align*} &\overrightarrow{HM}+\overrightarrow{HN}+\overrightarrow{HP}=\overrightarrow{HM}+\overrightarrow{HM^\ast} \end{align*}.

În triunghiul MHM^\ast, O este mijlocul laturii MM^\ast, deci HO este mediană, de unde ne rezultă că :

\begin{align*} \overrightarrow{HM}+\overrightarrow{HM^\ast}=2\overrightarrow{HO} \end{align*}.

Deci

\begin{align*} &\overrightarrow{HM}+\overrightarrow{HN}+\overrightarrow{HP}=2\overrightarrow{HO} \end{align*}.

Relația lui Sylvester

Să mai demonstrăm un rezultat important și anume Relația lui Sylvester.

Pentru aceasta, vom considera un triunghi MNP, vom nota cu O punctul de intersecție al mediatoarelor, adică centrul cercului circumscris (îl vom considera ca punct fix sau pol), iar H va fi punctul de intersecție al înălțimilor, adică ortocentrul triunghiului.

Atunci vectorul de poziție al ortocentrului H în funcție de vectorii de poziție ai punctelor M, N, P, cu punctul fix O este:

\begin{align*} &\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OH} \end{align*}.

Sau dacă O este punct fix sau pol, atunci:

\begin{align*} &\overrightarrow{r_M}+\overrightarrow{r_N}+\overrightarrow{r_P}=\overrightarrow{r_H} \end{align*}.

Demonstrație:

Avem următoarea imagine:

În demonstrația anterioară am vazut că patrulaterul NHPM^\ast este paralelogram.

Dacă O este un punct fix, atunci putem scrie relația astfel:

\begin{align*} \overrightarrow{r_H}+\overrightarrow{r_{M^\star}}=\overrightarrow{r_N}+\overrightarrow{r_P} \end{align*}.

Dar

\begin{align*} \overrightarrow{r_{M^\ast}}=-\overrightarrow{r_M} \end{align*},

de unde ne rezultă că:

\begin{align*} &\overrightarrow{r_H}-\overrightarrow{r_M}=\overrightarrow{r_N}+\overrightarrow{r_P} \end{align*}

\begin{align*} &\Leftrightarrow \overrightarrow{r_H}=\overrightarrow{r_M}+\overrightarrow{r_N}+\overrightarrow{r_P}\\ \end{align*}.

Concurenţa înălţimilor​ într-un triunghi

Un rezultat important este acela că înălțimile într-un triunghi sunt concurente.

Acest lucru se demonstrază ușor.

Vom presupune că avem două puncte de intersecție ale înălțimilor H și H^\ast.

Atunci, înseamnă că putem scrie relațiile:

\begin{align*} &\overrightarrow{r_H}=\overrightarrow{r_M}+\overrightarrow{r_N}+\overrightarrow{r_P} \end{align*},

respectiv

\begin{align*} &\overrightarrow{r_{H^\ast}}=\overrightarrow{r_M}+\overrightarrow{r_N}+\overrightarrow{r_P}\\ \end{align*}.

Ne rezultă că:

\overrightarrow{r_H}=\overrightarrow{r_{H^\ast}},

de unde obținem că H și H^\ast coincid.

Observație:

Ca o concecință importantă a relației lui Sylvester este faptul că într-un triunghi centrul de greutate, ortocentrul și centrul cercului circumscris sunt puncte coliniare.

Demonstrație:

Pentru a demonstra această observație, avem nevoie de următoarea figură:

Scriem relația lui Leibniz în acest triunghi reprezentat mai sus, astfel:

\begin{align*} \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}=3\overrightarrow{OG} \end{align*}.

Dar, în același timp, avem că:

\begin{align*} \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OH} \end{align*}.

Așadar, din cele două relații de mai sus ne rezultă că:

\begin{align*} 3\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OH} \end{align*}.

Înseamnă că vectorii \overrightarrow{OG}, respectiv \overrightarrow{OH} sunt coliniari, de unde obținem că punctele O, G, H sunt coliniare.

Observație:

Dreapta care conține punctele O, G, H se numește dreapta lui Euler.