Funcții trigonometrice directe și inverse

Cuprins

Funcții trigonometrice directe
Funcția sinus și funcția cosinus
Funcția tangentă și funcția cotangentă
Funcții trigonometrice inverse
Funcția arcsinus și funcția arccosinus
Funcția arctangentă și funcția arccotangentă

Funcții trigonometrice directe

Funcția sinus și funcția cosinus

Definirea funcțiilor sinus și cosinus

Reamintim modul de definire al acestor funcții:

Prin funcția de acoperire universală, fiecărui număr real îi corespunde, în mod unic, un punct pe cercul trigonometric, numit imaginea sa, notată cu M(t) .

Pe de altă parte, punctul , fiind în plan, are două coordonate carteziene: x_M este abscisa punctului , iar y_M reprezintă ordonata punctului .

Astfel, avem numărul real $t\in\mathbb{R}$ , căruia i se asociază pe cercul trigonometric, punctul $M(t)\in\mathcal{C}(0,1),\ M(t)=M(x_M,y_M)= M(\cos x,\sin x)$ .

Definim funcțiile sinus și cosinus pe intervalul $\left [ 0,2\pi \right ]$ .

Definiția FE42: Funcția sinus

Numim funcție sinus, funcția care îi asociază oricărui număr real $t\in\left [ 0,2\pi \right ]$ , ordonata imaginii sale de pe cercul trigonometric, adică numărul $\sin t=y_M$ .

Așadar, avem funcția :

$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\ f(x)=\sin x$ .

Definiția FE43: Funcția cosinus

Numim funcție cosinus, funcția care îi asociază oricărui număr real $t\in\left [ 0,2\pi \right ]$ , abscisa imaginii sale de pe cercul trigonometric, adică numărul $\cos t=x_M$ .

Așadar, avem funcția :

$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\ f(x)=\cos x$ .

Definim funcțiile sinus și cosinus pe mulțimea $\mathbb{R}$ .

Avem funcția sinus, $\sin:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , astfel încât $\sin t=y_M$ , cu $M(t)\in\mathcal{C}(0,1)$ și funcția cosinus, $\cos:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , astfel încât $\cos t=x_M$ , cu $M(t)\in\mathcal{C}(0,1)$ .

Reprezentarea grafică a funcțiilor sinus și cosinus

Pentru a reprezenta grafic aceste funcții, construim tabelele de valori:

Graficele lor sunt reprezentate mai jos:

unde, punctele de pe grafic au coodonatele: $A(-\pi,0),\ B\left ( -\frac{\pi}{2},-1 \right ),\ C(0,0),\ D\left ( \frac{\pi}{2},1 \right )$ și $E(\pi,0)$ .

unde, am reprezentat punctele: ${A}'(-\pi,-1),\ {B}'\left ( -\frac{\pi}{2},0 \right ),\ {C}'(0,1),\ {D}'\left ( \frac{\pi}{2},0 \right )$ și ${E}'(\pi,-1)$ .

Observații:

Axa se mai numește axa cosinusurilor;
Axa se mai numește axa sinusurilor.

Proprietățiile funcțiilor sinus și cosinus

Propoziția FE44: Mărginirea funcțiilor sin și cos

Funcțiile sinus și cosinus sunt mărginite.

Avem $\sin x,\cos x\in \left [ -1,1 \right ]$ , ceea ce este echivalent cu $\left | \sin x \right |\leq 1$ , respectiv $\left | \cos x \right |\leq 1$ , oricare ar fi $x\in \mathbb{R}.$

Pe graficele de mai sus, am evidențiat mărginirea acestor funcții prin dreptele punctate, paralele la axa , care trec prin , respectiv .

Propoziția FE45: Paritatea / imparitatea funcțiilor sin și cos

Funcția sinus este o funcție impară: $\sin(-x)=-\sin x$ , oricare ar fi $x\in \mathbb{R}.$
Funcția cosinus este o funcție pară: $\cos(-x)=\cos x$ , oricare ar fi $x\in \mathbb{R}.$

Observație:

Cum funcția sinus este o funcție impară, graficul acesteia este simetric față de originea axelor.

Propoziția FE46: Intersecția graficelor cu axele

Intersecția cu axa . Avem că:
- $\sin x=0$ , dacă și numai dacă $x=k\pi$ , cu $k\in \mathbb{Z}$ ; atunci $\mathcal{G}_{\sin}\cap Ox=\left \{ P(k\pi,0)\ \Big|\ k\in\mathbb{Z} \right \}$ ;
- $\cos x=0$ , dacă și numai dacă $x=(2k+1)\cdot \frac{\pi}{2}$ , cu $k\in \mathbb{Z}$ ; atunci $\mathcal{G}_{\cos}\cap Ox=\left \{ P\left ( (2k+1)\frac{\pi}{2},0 \right )\ \Big|\ k\in\mathbb{Z} \right \}$ .
Intersecția cu axa . În acest caz, avem că:
- $\sin 0=0 \Rightarrow \mathcal{G}_{\sin}\cap Oy=\left \{ O(0,0) \right \}$ ;
- $\cos 0=1 \Rightarrow \mathcal{G}_{\cos}\cap Oy=\left \{ A(0,1) \right \}$ .

Pe graficele de mai sus, se observă că punctele de intersecție cu axa sunt: $A(-\pi,0), \ E(\pi,0),\ {B}'\left ( -\frac{\pi}{2},0 \right ),\ {D}'\left ( \frac{\pi}{2},0 \right )$ , iar cele care se intersectează cu axa sunt C(0,0) și {C}'(0,1) .

Propoziția FE47: Monotonia funcțiilor sin și cos

Funcțiile $\sin$  și $\cos$ nu sunt monotone pe mulțimea $\mathbb{R}$ , dar:

funcția $\sin$ este strict crescătoare pe intervalul închis $\left [ \frac{(4k-1)\pi}{2}, \frac{(4k+1)\pi}{2}\right ]$ , pentru $k\in\mathbb{Z}$ și este strict descrescătoare pe intervalul închis $\left [ \frac{(4k+1)\pi}{2}, \frac{(4k+3)\pi}{2}\right ], \ k\in\mathbb{Z}$ ;
funcția $\cos$ este strict crescătoare pe intervalul închis $\big[ (2k-1)\pi,2k\pi\big ]$ , pentru $k\in\mathbb{Z}$ , respectiv este strict descrescătoare pe intervalul închis $\big [ 2k\pi,(2k+1)\pi\big ], \ k\in\mathbb{Z}$ .

Propoziția FE48: Periodicitatea funcțiilor sin și cos

Funcțiile sin și cos sunt periodice, de perioadă $T=2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$ și de perioadă principală $T_0=2\pi$ .

$\sin(x+2k\pi)=\sin x,\forall\ x\in\mathbb{R},\forall\ k\in\mathbb{Z}$ ;
$\cos(x+2k\pi)=\cos x,\forall\ x\in\mathbb{R},\forall\ k\in\mathbb{Z}$ .

Observație:

Având perioadă principală $T_0=2\pi$ , studiul acestor funcții se poate reduce la un interval de lungime $2\pi$ .

Propoziția FE49: Bijectivitatea funcțiilor sin și cos

Funcțiile sin și cos nu sunt bijective pe mulțimea $\mathbb{R}$ , dar vom alege restricțiile lor bijective:

$\bar{f}:\left [ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right ]\rightarrow \left [ -1,1 \right ],\ \bar{f}(x)=\sin x$ ;
$\bar{f}:\left [ 0,\pi \right ]\rightarrow \left [ -1,1 \right ],\ \bar{f}(x)=\cos x$ .

Observație:

Cu ajutorul acestor restricții bijective, vom defini în secțiunea următoare, funcțiile trigonometrice inverse $\arcsin$ (arcsinus) și $\arccos$ (arccosinus).

Semnul funcțiilor sinus și cosinus

Funcția sinus:
1. $\sin x\geq 0\Leftrightarrow x\in\left [ 2k\pi,(2k+1)\pi \right ],\ k\in\mathbb{Z}$ ;
2. $\sin x< 0\Leftrightarrow x\in\Big((2k+1)\pi,2k\pi\Big),\ k\in\mathbb{Z}$ .
Funcția cosinus:
1. $\cos x\geq 0\Leftrightarrow x\in\left [ \frac{(4k-1)\pi}{2},\frac{(4k+1)\pi}{2} \right ],\ k\in\mathbb{Z}$ ;
2. $\cos x< 0\Leftrightarrow x\in\Big( \frac{(4k+1)\pi}{2},\frac{(4k+3)\pi}{2} \Big),\ k\in\mathbb{Z}$ .

Funcția tangentă și funcția cotangentă

Definirea funcțiilor tangentă și cotangentă

Funcțiile tangentă, respectiv cotangentă sunt compuse din funcțiile sinus și cosinus.

Definiția FE50: Funcția tangentă

Fie $t\in\mathbb{R}$ , astfel încât $\cos t\neq 0$ , adică $x\neq\frac{(2k+1)\pi}{2},\ k\in\mathbb{Z}$ .

Definim raportul $\frac{\sin t}{\cos t}$ , ca fiind funcția tangentă a numărului , notată cu $tg\ t$ .

Avem funcția tangentă:

$tg:\mathbb{R}\setminus \left \{ \frac{(2k+1)\pi}{2}\ \Big|\ k\in\mathbb{R} \right \}\rightarrow \mathbb{R},\ f(x)=tg\ x$ .

Definiția FE51: Funcția cotangentă

Fie $t\in\mathbb{R}$ , astfel încât $\sin t\neq 0$ , adică $x\neqk\pi,\ k\in\mathbb{Z}$ .

Definim raportul $\frac{\cos t}{\sin t}$ , ca fiind funcția cotangentă a numărului , notată cu $ctg\ t$ .

Avem funcția cotangentă:

$ctg:\mathbb{R}\setminus \left \{ k\pi\ \big|\ k\in\mathbb{R} \right \}\rightarrow \mathbb{R},\ f(x)=ctg\ x$ .

Reprezentarea grafică a funcțiilor tangentă și cotangentă

Pentru a reprezenta grafic aceste funcții, construim următoarele tabele:

Reprezentarea grafică a acestor funcții este redată în figurile de mai jos:

Proprietățiile funcțiilor tangentă și cotangentă

Propoziția FE52: Mărginirea funcțiilor tg și ctg

Atât imaginea funcţiei tg, cât și imaginea funcției ctg, este reprezentată de întreaga mulţime a numerelor reale, așadar funcţiile tg și ctg nu sunt mărginite, deoarece există puncte în care acestea tind la infinit (vezi imaginile de mai sus).

În acest caz avem că:

pentru funcția tangentă, dreapta de forma $x=\frac{(2k+1)\pi}{2},\ k\in\mathbb{Z}$ este o asimptotă verticală la graficul funcției tangentă.
dreapta de forma $x=k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$ , reprezintă pentru funcția cotangentă, asimptota verticală la graficul acestei funcții.

Aceste asimptote la graficele celor două funcții, sunt reprezentate în figurile de mai sus prin liniile punctate.

Propoziția FE52: Paritatea / imparitatea funcțiilor tg și ctg

Funcția tangentă este o funcție impară, deoarece, prin definiție, ea reprezintă raportul dintre o funcţie impară (sin) şi una pară (cos):

$tg(-x)=-tg\ x, \forall\ x\in \mathbb{R}\setminus \left \{ \frac{\pi}{2}+k\pi\ \Big|\ k\in\mathbb{Z} \right \}$ .

Funcția cotangentă este, deasemenea, o funcție impară, deoarece, asemenea funcției tangentă, prin definiție, ea este raportul dintre o funcție pară (cos) și o funcție impară (sin):

$ctg(-x)=-ctg\ x, \forall\ x\in \mathbb{R}\setminus \left \{ k\pi\ \big|\ k\in\mathbb{Z} \right \}$ .

Observație:

Cum funcțiile tg și ctg sunt ambele funcții impare, graficele acestora sunt simetrice în raport cu originea axelor, așa cum se poate observa în figurile de mai sus.

Propoziția FE53: Monotonia funcțiilor tg și ctg

Funcțiile tg și ctg nu sunt monotone pe mulțimea numerelor reale, dar:

funcția tg este strict crescătoare pe intervalele determinate de două asimptote verticale consecutive;
funcția ctg este strict descrescătoare pe intervalele determinate de două asimptote verticale consecutive.

Propoziția FE54: Periodicitatea funcțiilor tg și ctg

Funcția tg este o funcție periodică, de perioadă $T=k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$ și perioadă principală $T_0=\pi$ :

$tg(x+k\pi)=tg\ x, \forall\ x\in\mathbb{R}\setminus \left \{ \frac{\pi}{2}+k\pi\ \Big|\ k\in\mathbb{Z} \right \},\forall\ k\in\mathbb{Z}$ .

Funcția ctg este o funcție periodică, de perioadă $T=k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$ și perioadă principală $T_0=\pi$ :

$ctg(x+k\pi)=ctg\ x, \forall\ x\in\mathbb{R}\setminus \left \{ k\pi\ \big|\ k\in\mathbb{Z} \right \},\forall\ k\in\mathbb{Z}$ .

Propoziția FE55: Bijectivitatea funcțiilor tg și ctg

Cum funcțiile sin și cos nu sunt bijective pe mulțimea $\mathbb{R}$ , ne rezultă că nici funcțiile tg și ctg nu sunt bijective pe mulțimea $\mathbb{R}$ , dar, asemenea funcțiilor sin și cos, funcțiile tg și ctg au restricții bijective:

$\bar{f}:\left ( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right )\rightarrow \mathbb{R},\ \bar{f}(x)=tg\ x$ ;
$\bar{f}:\left ( 0,\pi \right )\rightarrow \mathbb{R},\ \bar{f}(x)=ctg\ x$ .

Observație:

Cu ajutorul acestor restricții bijective, vom defini în secțiunea următoare, funcțiile trigonometrice inverse arctg (arctangentă ) și arcctg (arccotangentă ).

Funcții trigonometrice inverse

Funcția arcsinus și funcția arccosinus

Definirea funcțiilor arcsinus și arccosinus

Restricția bijectivă a funcției sinus este funcția $\bar{f}:\left [ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right ]\rightarrow \left [ -1,1 \right ],\ \bar{f}(x)=\sin x$ .

Inversa acestei funcții este funcția arcsinus, definită mai jos.

Definiția FE56: Funcția arcsinus

Funcția $f:\left [ -1,1 \right ]\rightarrow \left [ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right ],\ f(x)=\arcsin x$ se numește funcția arcsinus.

Observații:

$\arcsin x\in\left [ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right ], \forall\ x\in\left [ -1,1 \right ]$ .
Funcția arcsinus este inversa funcției sinus pe intervalul $\left [ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right ]$ .
Pentru funcția arcsinus trebuie să impunem următoarea condiție de existență: $\arcsin f(x)$ are sens, dacă și numai dacă $\left | f(x) \right |\leq 1$ .

Restricția bijectivă a funcției cosinus este funcția $\bar{f}:\left [ 0,\pi \right ]\rightarrow \left [ -1,1 \right ],\ \bar{f}(x)=\cos x$ .

Inversa acestei funcții este funcția arccosinus, definită mai jos.

Definiția FE57: Funcția arccosinus

Funcția $f:\left [ -1,1 \right ]\rightarrow \left [ 0,\pi \right ],\ f(x)=\arccos x$ se numește funcția arccosinus.

Observații:

Funcția arccosinus este inversa funcției cosinus pe intervalul $\left [ 0,\pi \right ]$ .
Pentru funcția arccosinus trebuie să impunem următoarea condiție de existență: $\arccos f(x)$ are sens, dacă și numai dacă $\left | f(x) \right |\leq 1$ .

Reprezentarea grafică a funcțiilor arcsinus și arccosinus

Punctele de pe grafic au coordonatele: $A\left ( 1, \frac{\pi}{2} \right )$ și $B\left ( -1,- \frac{\pi}{2} \right )$ .

Observație:

Asemenea graficului funcției sinus și graficul funcției arcsinus trece prin originea O(0,0) .

Punctele indicare au coodonatele: $C(-1,\pi),\ D\left ( 0,\frac{\pi}{2} \right )$ și E(1,0) .

Proprietățiile funcțiilor arcsinus și arccosinus

Propoziția FE58: Mărginirea funcțiilor arcsin și arccos

Funcțiile arcsinus și arccosinus sunt mărginite:

$\arcsin x\in\left [ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right ],\forall\ x\in\left [ -1,1 \right ]$ ;
$\arccos x\in\left [0,\pi \right ],\forall\ x\in\left [ -1,1 \right ]$ .

Propoziția FE59: Paritatea / imparitatea funcțiilor arcsin și arccos

Funcția arcsinus este o funcție impară:

$\arcsin(-x)=-\arcsin x,\forall\ x\in\left [ -1,1 \right ]$ .

Funcția arccosinus nu este funcție pară și nici impară:

$\arccos(-x)=\pi-\arccos x,\forall\ x\in\left [ -1,1 \right ]$ .

Observație:

Cum funcția arcsinus este o funcție impară, avem că graficul acesteia este simetric față de originea axelor, așa cum se poate observa în prima figură de mai sus.

Propoziția FE60: Monotonia funcțiilor arcsin și arccos

Funcția arcsin este o funcție strict crescătoare pe intervalul închis $\left [ -1,1 \right ]$ .
Funcția arccos este o funcție strict descrescătoare pe intervalul închis $\left [ -1,1 \right ]$ .

Semnul funcțiilor arcsinus și arccosinus

Semnul funcției arcsinus este redat în tabelul de mai jos:

Semnul funcției arccosinus este reprezentat în tabelul următor:

Funcția arctangentă și funcția arccotangentă

Definirea funcțiilor arctangentă și arccotangentă

Restricția bijectivă a funcției tangentă este funcția $\bar{f}:\left ( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right )\rightarrow \mathbb{R},\ \bar{f}(x)=tg\ x$ .

Inversa acestei funcții este funcția arctangentă, definită mai jos.

Definiția FE61: Funcția arctangentă

Funcția $f:\mathbb{R}\rightarrow \left ( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right ), \ f(x)=arctg\ x$ se numește funcția arctangentă.

Restricția bijectivă a funcției cotangentă este funcția $\bar{f}:\left ( 0,\pi \right )\rightarrow \mathbb{R},\ \bar{f}(x)=ctg\ x$ .

Inversa acestei funcții este funcția arccotangentă, definită mai jos.

Definiția FE62: Funcția arccotangentă

Funcția $f:\mathbb{R}\rightarrow \left ( 0,\pi \right ), \ f(x)=arcctg\ x$ se numește funcția arccotangentă.

Reprezentarea grafică a funcțiilor arctangentă și arccotangentă

Proprietățiile funcțiilor arctangentă și arccotangentă

Propoziția FE63: Mărginirea funcțiilor arctg și arcctg

Funcțiile arctangentă și arccotangentă sunt funcții mărginite:

$arctg\ x\in\left ( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right ),\forall\ x\in\mathbb{R}$ ;
$arcctg\ x\in\left ( 0,\pi\right ),\forall\ x\in\mathbb{R}$ .

În figurile de mai sus, mărginirea funcțiilor arctg și arcctg este reprezentată de liniile punctate.

Propoziția FE64: Paritatea / imparitatea funcțiilor arctg și arcctg

Funcția arctangentă este o funcție impară:

$arctg(-x)=-arctg\ x,\forall\ x\in\mathbb{R}$ .

Funcția arccotangentă nu este funcție pară și nici impară:

$arcctg(-x)=\pi-arcctg\ x,\forall\ x\in\mathbb{R}$ .

Observație:

Cum funcția arctangentă este o funcție impară, ne rezultă că graficul acesteia este simetric față de originea axelor de coordonate, așa cum se poate observa în prima figură de mai sus.

Propoziția FE60: Monotonia funcțiilor arctg și arcctg

Funcția arctg este o funcție strict crescătoare pe mulțimea numerelor reale, $\mathbb{R}$ .
Funcția arcctg este o funcție strict descrescătoare pe mulțimea numerelor reale, $\mathbb{R}$ .

Semnul funcțiilor arctangentă și arccotangentă

Semnul funcției arctangentă este redat în tabelul de mai jos:

Semnul funcției arccotangentă este reprezentat în tabelul următor: