Funcții trigonometrice directe și inverse

Funcții trigonometrice directe

  • Funcția sinus și funcția cosinus

Definirea funcțiilor sinus și cosinus

Reamintim modul de definire al acestor funcții:

Prin funcția de acoperire universală, fiecărui număr real t îi corespunde, în mod unic, un punct M pe cercul trigonometric, numit imaginea sa, notată cu M(t).

Pe de altă parte, punctul M, fiind în plan, are două coordonate carteziene: x_M este abscisa punctului M, iar y_M reprezintă ordonata punctului M.

Astfel, avem numărul real t\in\mathbb{R}căruia i se asociază pe cercul trigonometric, punctul M(t)\in\mathcal{C}(0,1),\ M(t)=M(x_M,y_M)= M(\cos x,\sin x).

Definim funcțiile sinus și cosinus pe intervalul \left [ 0,2\pi \right ].

Definiția FE42: Funcția sinus

Numim funcție sinus, funcția care îi asociază oricărui număr real t\in\left [ 0,2\pi \right ], ordonata imaginii sale de pe cercul trigonometric, adică numărul \sin t=y_M.

Așadar, avem funcția :

f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\ f(x)=\sin x.

Definiția FE43: Funcția cosinus 

Numim funcție cosinus, funcția care îi asociază oricărui număr real t\in\left [ 0,2\pi \right ], abscisa imaginii sale de pe cercul trigonometric, adică numărul \cos t=x_M.

Așadar, avem funcția :

f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\ f(x)=\cos x.

Definim funcțiile sinus și cosinus pe mulțimea \mathbb{R}.

Avem funcția sinus, \sin:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, astfel încât \sin t=y_M, cu M(t)\in\mathcal{C}(0,1) și funcția cosinus, \cos:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, astfel încât \cos t=x_M, cu M(t)\in\mathcal{C}(0,1).

Reprezentarea grafică a funcțiilor sinus și cosinus

Pentru a reprezenta grafic aceste funcții, construim tabelele de valori:

Graficele lor sunt reprezentate mai jos:

unde, punctele de pe grafic au coodonatele: A(-\pi,0),\ B\left ( -\frac{\pi}{2},-1 \right ),\ C(0,0),\ D\left ( \frac{\pi}{2},1 \right )  și E(\pi,0).

unde, am reprezentat punctele: {A}'(-\pi,-1),\ {B}'\left ( -\frac{\pi}{2},0 \right ),\ {C}'(0,1),\ {D}'\left ( \frac{\pi}{2},0 \right )  și {E}'(\pi,-1).

Observații:

  • Axa Ox se mai numește axa cosinusurilor;
  • Axa Oy se mai numește axa sinusurilor.

Proprietățiile funcțiilor sinus și cosinus

Propoziția FE44: Mărginirea funcțiilor​ sin și cos 

Funcțiile sinus și cosinus sunt mărginite.

Avem \sin x,\cos x\in \left [ -1,1 \right ], ceea ce este echivalent cu \left | \sin x \right |\leq 1, respectiv \left | \cos x \right |\leq 1, oricare ar fi  x\in \mathbb{R}.

Pe graficele de mai sus, am evidențiat mărginirea acestor funcții prin dreptele punctate, paralele la axa Ox, care trec prin 1, respectiv -1.

Propoziția FE45: Paritatea / imparitatea funcțiilor sin​ și cos 

  1. Funcția sinus este o funcție impară: \sin(-x)=-\sin x, oricare ar fi  x\in \mathbb{R}.
  2. Funcția cosinus este o funcție pară: \cos(-x)=\cos x, oricare ar fi  x\in \mathbb{R}.

Observație:

Cum funcția sinus este o funcție impară, graficul acesteia este simetric față de originea axelor.

Propoziția FE46: Intersecția graficelor cu axele 

  1. Intersecția cu axa Ox: y=0. Avem că​:
    •  \sin x=0, dacă și numai dacă x=k\pi, cu k\in \mathbb{Z}; atunci \mathcal{G}_{\sin}\cap Ox=\left \{ P(k\pi,0)\ \Big|\ k\in\mathbb{Z} \right \};
    • \cos x=0, dacă și numai dacă x=(2k+1)\cdot \frac{\pi}{2}, cu k\in \mathbb{Z}; atunci \mathcal{G}_{\cos}\cap Ox=\left \{ P\left ( (2k+1)\frac{\pi}{2},0 \right )\ \Big|\ k\in\mathbb{Z} \right \}.
  2. Intersecția cu axa Oy: x=0. În acest caz, avem că:
    • \sin 0=0 \Rightarrow \mathcal{G}_{\sin}\cap Oy=\left \{ O(0,0) \right \};
    • \cos 0=1 \Rightarrow \mathcal{G}_{\cos}\cap Oy=\left \{ A(0,1) \right \}.

Pe graficele de mai sus, se observă că punctele de intersecție cu axa Ox sunt: A(-\pi,0), \ E(\pi,0),\ {B}'\left ( -\frac{\pi}{2},0 \right ),\ {D}'\left ( \frac{\pi}{2},0 \right ), iar cele care se intersectează cu axa Oy sunt C(0,0) și {C}'(0,1).

Propoziția FE47: Monotonia funcțiilor sin​ și cos ​

Funcțiile \sin​ și \cos nu sunt monotone pe mulțimea \mathbb{R}, dar:

  1. funcția \sin este strict crescătoare pe intervalul închis \left [ \frac{(4k-1)\pi}{2}, \frac{(4k+1)\pi}{2}\right ], pentru k\in\mathbb{Z} și este strict descrescătoare pe intervalul închis \left [ \frac{(4k+1)\pi}{2}, \frac{(4k+3)\pi}{2}\right ], \ k\in\mathbb{Z};
  2. funcția \cos este strict crescătoare pe intervalul închis \big[ (2k-1)\pi,2k\pi\big ], pentru k\in\mathbb{Z}, respectiv este strict descrescătoare pe intervalul închis \big [ 2k\pi,(2k+1)\pi\big ], \ k\in\mathbb{Z}

Propoziția FE48: Periodicitatea funcțiilor sin​ și cos 

Funcțiile sin​ și cos sunt periodice, de perioadă T=2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} și de perioadă principală T_0=2\pi.

  • \sin(x+2k\pi)=\sin x,\forall\ x\in\mathbb{R},\forall\ k\in\mathbb{Z};
  • \cos(x+2k\pi)=\cos x,\forall\ x\in\mathbb{R},\forall\ k\in\mathbb{Z}.

Observație:

Având perioadă principală T_0=2\pi, studiul acestor funcții se poate reduce la un interval de lungime 2\pi

Propoziția FE49: Bijectivitatea funcțiilor sin​ și cos 

Funcțiile sin​ și cos nu sunt bijective pe mulțimea \mathbb{R}, dar vom alege restricțiile lor bijective:

  • \bar{f}:\left [ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right ]\rightarrow \left [ -1,1 \right ],\ \bar{f}(x)=\sin x;
  • \bar{f}:\left [ 0,\pi \right ]\rightarrow \left [ -1,1 \right ],\ \bar{f}(x)=\cos x.

Observație:

Cu ajutorul acestor restricții bijective, vom defini în secțiunea următoare, funcțiile trigonometrice inverse \arcsin (arcsinus) și \arccos (arccosinus).

Semnul funcțiilor sinus și cosinus

  1. Funcția sinus:
    1. \sin x\geq 0\Leftrightarrow x\in\left [ 2k\pi,(2k+1)\pi \right ],\ k\in\mathbb{Z};
    2. \sin x< 0\Leftrightarrow x\in\Big((2k+1)\pi,2k\pi\Big),\ k\in\mathbb{Z}.
  2. Funcția cosinus:
    1. \cos x\geq 0\Leftrightarrow x\in\left [ \frac{(4k-1)\pi}{2},\frac{(4k+1)\pi}{2} \right ],\ k\in\mathbb{Z};
    2. \cos x< 0\Leftrightarrow x\in\Big( \frac{(4k+1)\pi}{2},\frac{(4k+3)\pi}{2} \Big),\ k\in\mathbb{Z}.
  • Funcția tangentă și funcția cotangentă

Definirea funcțiilor tangentă și cotangentă

Funcțiile tangentă, respectiv cotangentă sunt compuse din funcțiile sinus și cosinus.

Definiția FE50: Funcția tangentă 

Fie t\in\mathbb{R}, astfel încât \cos t\neq 0, adică x\neq\frac{(2k+1)\pi}{2},\ k\in\mathbb{Z} .

Definim raportul  \frac{\sin t}{\cos t}, ca fiind funcția tangentă a numărului t, notată cu tg\ t.

Avem funcția tangentă:

tg:\mathbb{R}\setminus \left \{ \frac{(2k+1)\pi}{2}\ \Big|\ k\in\mathbb{R} \right \}\rightarrow \mathbb{R},\ f(x)=tg\ x.

Definiția FE51: Funcția cotangentă 

Fie t\in\mathbb{R}, astfel încât \sin t\neq 0 , adică x\neqk\pi,\ k\in\mathbb{Z}  .

Definim raportul  \frac{\cos t}{\sin t} , ca fiind funcția cotangentă a numărului t, notată cu ctg\ t .

Avem funcția cotangentă:

ctg:\mathbb{R}\setminus \left \{ k\pi\ \big|\ k\in\mathbb{R} \right \}\rightarrow \mathbb{R},\ f(x)=ctg\ x.

Reprezentarea grafică a funcțiilor tangentă și cotangentă

Pentru a reprezenta grafic aceste funcții, construim următoarele tabele:

Reprezentarea grafică a acestor funcții este redată în figurile de mai jos:

Proprietățiile funcțiilor tangentă și cotangentă

Propoziția FE52: Mărginirea funcțiilor tg și ctg 

Atât imaginea funcţiei tg, cât și imaginea funcției ctg, este reprezentată de întreaga mulţime a numerelor reale, așadar funcţiile tg și ctg nu sunt mărginite, deoarece există puncte în care acestea tind la infinit (vezi imaginile de mai sus).

În acest caz avem că:

  • pentru funcția tangentă, dreapta de forma x=\frac{(2k+1)\pi}{2},\ k\in\mathbb{Z} este o asimptotă verticală la graficul funcției tangentă.
  • dreapta de forma x=k\pi,\ k\in\mathbb{Z}, reprezintă pentru funcția cotangentă, asimptota verticală la graficul acestei funcții.

Aceste asimptote la graficele celor două funcții, sunt reprezentate în figurile de mai sus prin liniile punctate.

    Propoziția FE52: Paritatea / imparitatea funcțiilor tg și ctg 

    1. Funcția tangentă este o funcție impară, deoarece, prin definiție, ea reprezintă raportul dintre o funcţie impară (sin) şi una pară (cos):

    tg(-x)=-tg\ x, \forall\ x\in \mathbb{R}\setminus \left \{ \frac{\pi}{2}+k\pi\ \Big|\ k\in\mathbb{Z} \right \}.

    1. Funcția cotangentă este, deasemenea, o funcție impară, deoarece, asemenea funcției tangentă, prin definiție, ea este raportul dintre o funcție pară (cos) și o funcție impară (sin):

    ctg(-x)=-ctg\ x, \forall\ x\in \mathbb{R}\setminus \left \{ k\pi\ \big|\ k\in\mathbb{Z} \right \}.

    Observație:

    Cum funcțiile tg și ctg sunt ambele funcții impare, graficele acestora sunt simetrice în raport cu originea axelor, așa cum se poate observa în figurile de mai sus.

    Propoziția FE53: Monotonia funcțiilor tg și ctg

    Funcțiile tg și ctg nu sunt monotone pe mulțimea numerelor reale, dar:

    • funcția tg este strict crescătoare pe intervalele determinate de două asimptote verticale consecutive;
    • funcția ctg este strict descrescătoare pe intervalele determinate de două asimptote verticale consecutive.

    Propoziția FE54: Periodicitatea funcțiilor tg și ctg

    1. Funcția tg este o funcție periodică, de perioadă T=k\pi,\ k\in\mathbb{Z} și perioadă principală T_0=\pi

    tg(x+k\pi)=tg\ x, \forall\ x\in\mathbb{R}\setminus \left \{ \frac{\pi}{2}+k\pi\ \Big|\ k\in\mathbb{Z} \right \},\forall\ k\in\mathbb{Z}.

    1. Funcția ctg este o funcție periodică, de perioadă T=k\pi,\ k\in\mathbb{Z} și perioadă principală T_0=\pi

    ctg(x+k\pi)=ctg\ x, \forall\ x\in\mathbb{R}\setminus \left \{ k\pi\ \big|\ k\in\mathbb{Z} \right \},\forall\ k\in\mathbb{Z}.

    Propoziția FE55: Bijectivitatea funcțiilor tg și ctg

    Cum funcțiile sin și cos nu sunt bijective pe mulțimea \mathbb{R}, ne rezultă că nici funcțiile tg și ctg nu sunt bijective pe mulțimea \mathbb{R}, dar, asemenea funcțiilor sin și cos, funcțiile tg și ctg au restricții bijective: 

    • \bar{f}:\left ( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right )\rightarrow \mathbb{R},\ \bar{f}(x)=tg\ x;
    • \bar{f}:\left ( 0,\pi \right )\rightarrow \mathbb{R},\ \bar{f}(x)=ctg\ x.

    Observație:

    Cu ajutorul acestor restricții bijective, vom defini în secțiunea următoare, funcțiile trigonometrice inverse arctg (arctangentă ) și arcctg (arccotangentă ).

    Funcții trigonometrice inverse

    • Funcția arcsinus și funcția arccosinus

    Definirea funcțiilor arcsinus și arccosinus

    Restricția bijectivă a funcției sinus este funcția \bar{f}:\left [ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right ]\rightarrow \left [ -1,1 \right ],\ \bar{f}(x)=\sin x.

    Inversa acestei funcții este funcția arcsinus, definită mai jos.

    Definiția FE56: Funcția arcsinus

    Funcția f:\left [ -1,1 \right ]\rightarrow \left [ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right ],\ f(x)=\arcsin x se numește funcția arcsinus.

    Observații:

    1. \arcsin x\in\left [ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right ], \forall\ x\in\left [ -1,1 \right ].
    2. Funcția arcsinus este inversa funcției sinus pe intervalul \left [ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right ].
    3. Pentru funcția arcsinus trebuie să impunem următoarea condiție de existență: \arcsin f(x) are sens, dacă și numai dacă \left | f(x) \right |\leq 1.

    Restricția bijectivă a funcției cosinus este funcția \bar{f}:\left [ 0,\pi \right ]\rightarrow \left [ -1,1 \right ],\ \bar{f}(x)=\cos x

    Inversa acestei funcții este funcția arccosinus, definită mai jos.

    Definiția FE57: Funcția arccosinus

    Funcția f:\left [ -1,1 \right ]\rightarrow \left [ 0,\pi \right ],\ f(x)=\arccos x se numește funcția arccosinus.

    Observații:

    1. Funcția arccosinus este inversa funcției cosinus pe intervalul \left [ 0,\pi \right ].
    2. Pentru funcția arccosinus trebuie să impunem următoarea condiție de existență: \arccos f(x) are sens, dacă și numai dacă \left | f(x) \right |\leq 1.

    Reprezentarea grafică a funcțiilor arcsinus și arccosinus

    Punctele de pe grafic au coordonatele: A\left ( 1, \frac{\pi}{2} \right ) și B\left ( -1,- \frac{\pi}{2} \right ).

    Observație:

    Asemenea graficului funcției sinus și graficul funcției arcsinus trece prin originea O(0,0).

    Punctele indicare au coodonatele: C(-1,\pi),\ D\left ( 0,\frac{\pi}{2} \right ) și E(1,0).

    Proprietățiile funcțiilor arcsinus și arccosinus

    Propoziția FE58: Mărginirea funcțiilor arcsin și arccos 

    Funcțiile arcsinus și arccosinus sunt mărginite:

    • \arcsin x\in\left [ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right ],\forall\ x\in\left [ -1,1 \right ];
    • \arccos x\in\left [0,\pi \right ],\forall\ x\in\left [ -1,1 \right ].

    Propoziția FE59: Paritatea / imparitatea funcțiilor arcsin și arccos   

    1. Funcția arcsinus este o funcție impară:

    \arcsin(-x)=-\arcsin x,\forall\ x\in\left [ -1,1 \right ].

    1. Funcția arccosinus nu este funcție pară și nici impară:

    \arccos(-x)=\pi-\arccos x,\forall\ x\in\left [ -1,1 \right ].

    Observație:

    Cum funcția arcsinus este o funcție impară, avem că graficul acesteia este simetric față de originea axelor, așa cum se poate observa în prima figură de mai sus.

    Propoziția FE60: Monotonia funcțiilor arcsin și arccos 

    1. Funcția arcsin este o funcție strict crescătoare pe intervalul închis \left [ -1,1 \right ].
    1. Funcția arccos este o funcție strict descrescătoare pe intervalul închis \left [ -1,1 \right ].

    Semnul funcțiilor arcsinus și arccosinus

    Semnul funcției arcsinus este redat în tabelul de mai jos:

      

    Semnul funcției arccosinus este reprezentat în tabelul următor:

    • Funcția arctangentă și funcția arccotangentă

    Definirea funcțiilor arctangentă și arccotangentă

    Restricția bijectivă a funcției tangentă este funcția \bar{f}:\left ( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right )\rightarrow \mathbb{R},\ \bar{f}(x)=tg\ x.

    Inversa acestei funcții este funcția arctangentă, definită mai jos.

    Definiția FE61: Funcția arctangentă 

    Funcția f:\mathbb{R}\rightarrow \left ( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right ), \ f(x)=arctg\ x se numește funcția arctangentă.

    Restricția bijectivă a funcției cotangentă este funcția \bar{f}:\left ( 0,\pi \right )\rightarrow \mathbb{R},\ \bar{f}(x)=ctg\ x

    Inversa acestei funcții este funcția arccotangentă, definită mai jos.

    Definiția FE62: Funcția arccotangentă 

    Funcția f:\mathbb{R}\rightarrow \left ( 0,\pi \right ), \ f(x)=arcctg\ x se numește funcția arccotangentă.

    Reprezentarea grafică a funcțiilor arctangentă și arccotangentă

    Proprietățiile funcțiilor arctangentă și arccotangentă

    Propoziția FE63: Mărginirea funcțiilor arctg și arcctg

    Funcțiile arctangentă și arccotangentă sunt funcții mărginite:

    • arctg\ x\in\left ( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right ),\forall\ x\in\mathbb{R};
    • arcctg\ x\in\left ( 0,\pi\right ),\forall\ x\in\mathbb{R}.

    În figurile de mai sus, mărginirea funcțiilor arctg și arcctg este reprezentată de liniile punctate.

    Propoziția FE64: Paritatea / imparitatea funcțiilor arctg și arcctg

    1. Funcția arctangentă este o funcție impară:

    arctg(-x)=-arctg\ x,\forall\ x\in\mathbb{R}.

    1. Funcția arccotangentă nu este funcție pară și nici impară:

    arcctg(-x)=\pi-arcctg\ x,\forall\ x\in\mathbb{R}.

    Observație:

    Cum funcția arctangentă este o funcție impară, ne rezultă că graficul acesteia este simetric față de originea axelor de coordonate, așa cum se poate observa în prima figură de mai sus.

    Propoziția FE60: Monotonia funcțiilor arctg și arcctg

    1. Funcția arctg este o funcție strict crescătoare pe mulțimea numerelor reale, \mathbb{R}.
    1. Funcția arcctg este o funcție strict descrescătoare pe mulțimea numerelor reale, \mathbb{R}.

    Semnul funcțiilor arctangentă și arccotangentă

    Semnul funcției arctangentă este redat în tabelul de mai jos:

    Semnul funcției arccotangentă este reprezentat în tabelul următor: