Funcții mărginite. Funcții pare. Funcții impare

Funcții mărginite

Definiția FE4: Funcție mărginită

Funcția $f:A\to B$ se numește mărginită, dacă există $\alpha ,\beta \in\mathbb{R}$ , astfel încât $\alpha \leq f(x)\leq \beta .$

Cu alte cuvinte, mulțimea valorilor funcției este mărginită.

Observație:

Funcția este mărginită dacă și numai dacă există $\alpha ,\beta \in\mathbb{R}$ astfel încât $f(x)\in\left [ \alpha ,\beta \right ],$ oricare ar fi $x\in A$ , ceea ce este echivalent cu a spune că funcția este mărginită dacă și numai dacă există $\alpha ,\beta \in\mathbb{R}$ , astfel încât $f(A)\in\left [ \alpha ,\beta \right ].$

Exemple:

Funcția $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\sin x$ este mărginită, deoarece $\sin x\in \left [ -1,1 \right ],$ oricare ar fi $x\in\mathbb{R}.$
Funcția $f:\left [ -2,3 \right ]\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=-2x+1$ este mărginită, deoarece $f(x)\in\left [ -5,5 \right ],$ oricare ar fi $x\in\left [ -2,3 \right ].$

Funcții pare și funcții impare

Definiția FE5: Mulțime simetrică

O mulțime $D\subseteq \mathbb{R}$ se numește mulțime simetrică dacă, luând un element $x\in D$ , atunci și $-x\in D.$

Exemple:

mulțimea $D=\left ( -6,6 \right )$ este o mulțime simetrică.
mulțimea $D=\left [ -3,3 \right )$ nu este o mulțime simetrică, deoarece $-3\in D,$ dar $-(-3)=3\notin D.$

Definiția FE6: Funcția pară

Fie o mulțime nevidă și funcția $f:D\to \mathbb{R}$ .

Spunem că este o funcție pară, dacă oricare ar fi $x\in D.$

Exemple:

Funcția $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\ f(x)=\left | x \right |$ este o funcție pară, deoarece:

$\begin{align*} f(-x)&=\left | -x \right |\\&=\left | x \right |\\&=f(x) \end{align*}$

ceea ce e echivalent cu $\begin{align*} f(-x)=f(x) \end{align*}$ , oricare ar fi $x\in\mathbb{R}.$

Funcția $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\ f(x)=\frac{x^2}{x+4}$ nu este o funcție pară, deoarece, avem că:

$\begin{align*} f(-x)&=\frac{(-x)^2}{-x+4}\\\\&=\frac{x^2}{-x+4}\\\\&\neq \frac{x^2}{x+4}\\\\&=f(x) \end{align*}$

adică $\begin{align*} f(-x)&\neq f(x) \end{align*}$ , oricare ar fi $x\in\mathbb{R}.$

Definiția FE7: Funcția impară

Funcția $f:D\to \mathbb{R}$ , cu mulțime simetrică, se numește impară, dacă oricare ar fi $x\in D.$

Exemplu:

Funcția $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=2x^3$ este o funcție impară, deoarece avem că:

$\begin{align*} f(-x)&=2(-x)^3\\&=-2x^3\\&=-f(x) \end{align*}$

ceea ce e echivalent cu $\begin{align*} f(-x)=-f(x) \end{align*}$ , oricare ar fi $x\in\mathbb{R}.$

În cele ce urmează ți se va prezenta interpretarea geometrică a parității și a imparității, iar în pagina următoare acesteia, vei afla care este simetria graficului față de o dreaptă, respectiv de un punct.

Interpretarea geometrică a parității și a imparității

Înainte de a interpreta geometric funcția pară și funcția impară, reamintim ce este o axă de simetrie și ce este un punct de simetrie:

O dreaptă este axă de simetrie pentru o figură geometrică , dacă simetricul oricărui punct al figurii față de dreapta aparține figurii , iar un punct de simetrie este acel punct, care se află în mijlocul unui segment.

Propoziția FE8: Interpretarea geometrică a parității și a imparității

Dacă funcția $f:D\to \mathbb{R}$ este pară, atunci graficul funcției admite axa ca și axă de simetrie.
Dacă $f:D\to \mathbb{R}$ este o funcție impară, atunci graficul funcției admite originea ca și punct de simetrie.

Pentru Propoziția FE8, 1., avem următoarea interpretare matematică:

Fie punctul $M(x,y)\in\mathcal{G}f$ . Rezultă că $M\big(x,f(x)\big)\in\mathcal{G}f.$

Funcția este pară, rezultă că f(-x)=f(x)=y.

Fie atunci punctul ${M}'\big(-x,f(-x)\big)\in\mathcal{G}f$ , care este echivalent cu ${M}'\big(-x,f(x)\big)\in\mathcal{G}f$ .

Astfel, avem că $M\big(x,f(x)\big), {M}'\big(-x,f(x)\big)\in\mathcal{G}f,$ de unde ne rezultă că orice punct $M\big(x,f(x)\big)\in\mathcal{G}f$ are un simetric față de axa , notat cu ${M}'\big(-x,f(x)\big)\in\mathcal{G}f.$

Pe grafic, aceste puncte se reprezintă astfel:

Pentru Propoziția FE8, 2., avem următoarea interpretare matematică:

Fie punctele $M\big(x,f(x)\big)\in\mathcal{G}f, {M}'\big(-x,f(-x)\big)\in \mathcal{G}f,$ unde f(x)=y.

Dar cum funcția este impară, ne rezultă că f(-x)=-f(x)=-y, de unde obținem punctul ${M}'\big(-x,-f(x)\big)\in\mathcal{G}f.$ .

Astfel, avem punctele $M\big(x,y\big), {M}'\big(-x,-y\big)\in\mathcal{G}f,$ de unde ne rezultă că punctele și {M}' sunt simetrice față de origine.

Reprezentarea grafică a acestor puncte este următoarea:

Simetria graficului unei funcții față de o dreaptă și față de un punct

Simetria graficului unei funcții față de o dreaptă de forma x = m

Fie funcția $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ și punctele M(x,f(x)), {M}'({x}', f(x)) și P(m,y) , reprezentate grafic astfel:

Dorim să aflăm care este condiția ca dreapta x=m (vezi graficul de mai sus) să fie axă de simetrie pentru graficul funcției .

Se observă că punctul este mijlocul segmentului $\left [ {M}'M \right ]$ .

Coordonatele punctului se calculează astfel:

$m=\frac{x_M+x_{{M}'}}{2}$

$\Leftrightarrow m=\frac{x+{x}'}{2}$

$\Leftrightarrow 2m=x+{x}'$

$\Leftrightarrow {x}'=2m-x$

$\Rightarrow {M}'(2m-x,f(x)).$

Cum punctul este mijlocul segmentului $\left [ {M}'M \right ]$ , ne rezultă că punctele și {M}' sunt simetrice.

Atunci, avem că f(x)=f({x}') , ceea ce este echivalent cu f(x)=f(2m-x) .

Așadar, condiția ca dreapta x=m să fie axă de simetrie pentru graficul funcției este:

f(x)=f(2m-x), oricare ar fi $x\in\mathbb{R}.$

Observație:

În cazul particular, când m=0 , ne rezultă că axa de simetrie este și avem relația f(x)=f(-x), oricare ar fi $x\in\mathbb{R}.$

Se observă că ne situăm în cazul 1, al Propoziției FE8: Interpretarea geometrică a parității și a imparității, adică funcția este o funcție pară.

Simetria graficului unei funcții față de un punct

Fie funcția $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ și punctul P(a,b).

Ne punem următoarea problemă: care este condiția (sau relația) pe care o verifică funcția , astfel încât punctul P(a,b) să fie centru de simetrie pentru graficul funcției .

Avem punctul $M(x,y)\in \mathcal{G}f.$ Rezultă că punctul ${M}'({x}',f({x}'))\in \mathcal{G}f,$ unde {M}' este simetricul punctului , față de punctul

Avem următorul grafic:

Se cunosc $x,\ y,\ a,\ b,\ y=f(x)$ și se cere să se afle ${x}',\ {y}'$ în funcție de $a,\ b,\ x,\ f(x).$

Putem condiția ca punctul să fie mijlocul segmentului $\left [ {M}'M \right ]$ .

Avem:

$\begin{align*} &\begin{cases} x_P=\dfrac{x_M+x_{{M}'}}{2}\\\\ y_P=\dfrac{y_M+y_{{M}'}}{2} \end{cases} \\\\&\Leftrightarrow \begin{cases} a=\dfrac{x+{x}'}{2}\ \Big|\ \cdot 2\\\\ b=\dfrac{y+{y}'}{2}=\dfrac{f(x)+f({x}')}{2}\ \Big|\ \cdot 2 \end{cases}\\\\ &\Leftrightarrow \begin{cases} 2a=x+{x}'\\ 2b=f(x)+f({x}') \end{cases}\\\\&\Leftrightarrow \begin{cases} {x}'=2a-x\\ f({x}')=2b-f(x) \end{cases} \end{align*}$

În sistemul de mai sus, înlocuim în cea de-a doua ecuație prima ecuație și astfel, obținem că:

f(2a-x)=2b-f(x).

Așdar, am aflat condiția ca punctul P(a,b) să fie centru de simetrie pentru graficul funcției , adică avem următoarea relație:

f(x)+f(2a-x)=2b, oricare ar fi $x\in\mathbb{R}.$

Observație:

Atunci când avem punctul P(0,0) , ne rezultă că f(x)+f(-x)=0 , ceea ce este echivalent cu f(x)=-f(-x) sau f(-x)=-f(x), oricare ar fi $x\in\mathbb{R}.$

Cu alte cuvinte, în acest caz, funcția este o funcție impară și avem cazul 2 al Propoziției FE8: Interpretarea geometrică a parității și a imparității.