Funcții mărginite. Funcții pare. Funcții impare
Funcții mărginite
Definiția FE4: Funcție mărginită
Funcția se numește mărginită, dacă există
, astfel încât
Cu alte cuvinte, mulțimea valorilor funcției este mărginită.
Observație:
Funcția este mărginită dacă și numai dacă există
astfel încât
oricare ar fi
, ceea ce este echivalent cu a spune că funcția
este mărginită dacă și numai dacă există
, astfel încât
Exemple:
- Funcția
este mărginită, deoarece
oricare ar fi
- Funcția
este mărginită, deoarece
oricare ar fi
Funcții pare și funcții impare
Definiția FE5: Mulțime simetrică
O mulțime se numește mulțime simetrică dacă, luând un element
, atunci și
Exemple:
- mulțimea
este o mulțime simetrică.
- mulțimea
nu este o mulțime simetrică, deoarece
dar
Definiția FE6: Funcția pară
Fie o mulțime nevidă și funcția
.
Spunem că este o funcție pară, dacă
oricare ar fi
Exemple:
- Funcția
este o funcție pară, deoarece:
ceea ce e echivalent cu , oricare ar fi
- Funcția
nu este o funcție pară, deoarece, avem că:
adică , oricare ar fi
Definiția FE7: Funcția impară
Funcția , cu
mulțime simetrică, se numește impară, dacă
oricare ar fi
Exemplu:
Funcția este o funcție impară, deoarece avem că:
ceea ce e echivalent cu , oricare ar fi
În cele ce urmează ți se va prezenta interpretarea geometrică a parității și a imparității, iar în pagina următoare acesteia, vei afla care este simetria graficului față de o dreaptă, respectiv de un punct.
Interpretarea geometrică a parității și a imparității
Înainte de a interpreta geometric funcția pară și funcția impară, reamintim ce este o axă de simetrie și ce este un punct de simetrie:
O dreaptă este axă de simetrie pentru o figură geometrică
, dacă simetricul oricărui punct al figurii
față de dreapta
aparține figurii
, iar un punct de simetrie este acel punct, care se află în mijlocul unui segment.
Propoziția FE8: Interpretarea geometrică a parității și a imparității
- Dacă funcția
este pară, atunci graficul funcției
admite axa
ca și axă de simetrie.
- Dacă
este o funcție impară, atunci graficul funcției
admite originea ca și punct de simetrie.
- Pentru Propoziția FE8, 1., avem următoarea interpretare matematică:
Fie punctul . Rezultă că
Funcția este pară, rezultă că
Fie atunci punctul , care este echivalent cu
.
Astfel, avem că de unde ne rezultă că orice punct
are un simetric față de axa
, notat cu
Pe grafic, aceste puncte se reprezintă astfel:
- Pentru Propoziția FE8, 2., avem următoarea interpretare matematică:
Fie punctele unde
Dar cum funcția este impară, ne rezultă că
de unde obținem punctul
.
Astfel, avem punctele de unde ne rezultă că punctele
și
sunt simetrice față de origine.
Reprezentarea grafică a acestor puncte este următoarea:
Simetria graficului unei funcții față de o dreaptă și față de un punct
Simetria graficului unei funcții față de o dreaptă de forma x = m
Fie funcția și punctele
și
, reprezentate grafic astfel:
Dorim să aflăm care este condiția ca dreapta (vezi graficul de mai sus) să fie axă de simetrie pentru graficul funcției
.
Se observă că punctul este mijlocul segmentului
.
Coordonatele punctului se calculează astfel:
Cum punctul este mijlocul segmentului
, ne rezultă că punctele
și
sunt simetrice.
Atunci, avem că , ceea ce este echivalent cu
.
Așadar, condiția ca dreapta să fie axă de simetrie pentru graficul funcției
este:
oricare ar fi
Observație:
În cazul particular, când , ne rezultă că axa de simetrie este
și avem relația
oricare ar fi
Se observă că ne situăm în cazul 1, al Propoziției FE8: Interpretarea geometrică a parității și a imparității, adică funcția este o funcție pară.
Simetria graficului unei funcții față de un punct
Fie funcția și punctul
Ne punem următoarea problemă: care este condiția (sau relația) pe care o verifică funcția , astfel încât punctul
să fie centru de simetrie pentru graficul funcției
.
Avem punctul Rezultă că punctul
unde
este simetricul punctului
, față de punctul
Avem următorul grafic:
.
Se cunosc și se cere să se afle
în funcție de
Putem condiția ca punctul să fie mijlocul segmentului
.
Avem:
În sistemul de mai sus, înlocuim în cea de-a doua ecuație prima ecuație și astfel, obținem că:
Așdar, am aflat condiția ca punctul să fie centru de simetrie pentru graficul funcției
, adică avem următoarea relație:
oricare ar fi
Observație:
Atunci când avem punctul , ne rezultă că
, ceea ce este echivalent cu
sau
oricare ar fi
Cu alte cuvinte, în acest caz, funcția este o funcție impară și avem cazul 2 al Propoziției FE8: Interpretarea geometrică a parității și a imparității.