Funcții mărginite. Funcții pare. Funcții impare

Funcții mărginite

Definiția FE4: Funcție mărginită 

Funcția f:A\to B se numește mărginită, dacă există \alpha ,\beta \in\mathbb{R}, astfel încât \alpha \leq f(x)\leq \beta .

Cu alte cuvinte, mulțimea valorilor funcției f este mărginită.

Observație:

Funcția f este mărginită dacă și numai dacă există \alpha ,\beta \in\mathbb{R} astfel încât f(x)\in\left [ \alpha ,\beta \right ], oricare ar fi x\in A, ceea ce este echivalent cu a spune că funcția f este mărginită dacă și numai dacă există \alpha ,\beta \in\mathbb{R}, astfel încât f(A)\in\left [ \alpha ,\beta \right ].

Exemple:

  1. Funcția f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\sin x este mărginită, deoarece \sin x\in \left [ -1,1 \right ], oricare ar fi x\in\mathbb{R}.
  2. Funcția f:\left [ -2,3 \right ]\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=-2x+1 este mărginită, deoarece f(x)\in\left [ -5,5 \right ], oricare ar fi x\in\left [ -2,3 \right ].

Funcții pare și funcții impare

Definiția FE5: Mulțime simetrică

O mulțime D\subseteq \mathbb{R} se numește mulțime simetrică dacă, luând un element x\in D, atunci și -x\in D.

Exemple:

  • mulțimea D=\left ( -6,6 \right ) este o mulțime simetrică.
  • mulțimea D=\left [ -3,3 \right ) nu este o mulțime simetrică, deoarece -3\in D, dar -(-3)=3\notin D.

Definiția FE6: Funcția pară 

Fie D o mulțime nevidă și funcția  f:D\to \mathbb{R}.

Spunem că f este o funcție pară, dacă f(-x)=f(x), oricare ar fi x\in D.

Exemple:

  1. Funcția f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\ f(x)=\left | x \right | este o funcție pară, deoarece:

 \begin{align*} f(-x)&=\left | -x \right |\\&=\left | x \right |\\&=f(x) \end{align*}  

ceea ce e echivalent cu \begin{align*} f(-x)=f(x) \end{align*}, oricare ar fi​ x\in\mathbb{R}.

  1. Funcția f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\ f(x)=\frac{x^2}{x+4} nu este o funcție pară, deoarece, avem că:

\begin{align*} f(-x)&=\frac{(-x)^2}{-x+4}\\\\&=\frac{x^2}{-x+4}\\\\&\neq \frac{x^2}{x+4}\\\\&=f(x) \end{align*} 

adică \begin{align*} f(-x)&\neq f(x) \end{align*}, oricare ar fi x\in\mathbb{R}.

Definiția FE7: Funcția impară 

Funcția f:D\to \mathbb{R}, cu D mulțime simetrică, se numește impară, dacă f(-x)=-f(x), oricare ar fi x\in D.

Exemplu:

Funcția f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=2x^3 este o funcție impară, deoarece avem că:

\begin{align*} f(-x)&=2(-x)^3\\&=-2x^3\\&=-f(x) \end{align*}

ceea ce e echivalent cu \begin{align*} f(-x)=-f(x) \end{align*}, oricare ar fi ​x\in\mathbb{R}.

În cele ce urmează ți se va prezenta interpretarea geometrică a parității și a imparității, iar în pagina următoare acesteia, vei afla care este simetria graficului față de o dreaptă, respectiv de un punct.

Interpretarea geometrică a parității și a imparității

Înainte de a interpreta geometric funcția pară și funcția impară, reamintim ce este o axă de simetrie și ce este un punct de simetrie:

O dreaptă d este axă de simetrie pentru o figură geometrică F, dacă simetricul oricărui punct al figurii F față de dreapta d aparține figurii F, iar un punct de simetrie este acel punct, care se află în mijlocul unui segment.

Propoziția FE8: Interpretarea geometrică a parității și a imparității 

  1. Dacă funcția f:D\to \mathbb{R} este pară, atunci graficul funcției f admite axa Oy ca și axă de simetrie.
  2. Dacă f:D\to \mathbb{R} este o funcție impară, atunci graficul funcției f admite originea ca și punct de simetrie.
  • Pentru Propoziția FE8, 1., avem următoarea interpretare matematică:

Fie punctul M(x,y)\in\mathcal{G}f. Rezultă că M\big(x,f(x)\big)\in\mathcal{G}f.

Funcția f este pară, rezultă că f(-x)=f(x)=y. 

Fie atunci punctul {M}'\big(-x,f(-x)\big)\in\mathcal{G}f, care este echivalent cu {M}'\big(-x,f(x)\big)\in\mathcal{G}f.

Astfel, avem că M\big(x,f(x)\big), {M}'\big(-x,f(x)\big)\in\mathcal{G}f, de unde ne rezultă că orice punct M\big(x,f(x)\big)\in\mathcal{G}f are un simetric față de axa Oy, notat cu {M}'\big(-x,f(x)\big)\in\mathcal{G}f.

Pe grafic, aceste puncte se reprezintă astfel:

  • Pentru Propoziția FE8, 2., avem următoarea interpretare matematică:

Fie punctele M\big(x,f(x)\big)\in\mathcal{G}f, {M}'\big(-x,f(-x)\big)\in \mathcal{G}f, unde f(x)=y.

Dar cum funcția f este impară, ne rezultă că f(-x)=-f(x)=-y, de unde obținem punctul {M}'\big(-x,-f(x)\big)\in\mathcal{G}f..

Astfel, avem punctele M\big(x,y\big), {M}'\big(-x,-y\big)\in\mathcal{G}f, de unde ne rezultă că punctele M și {M}' sunt simetrice față de origine.

Reprezentarea grafică a acestor puncte este următoarea:

Simetria graficului unei funcții față de o dreaptă și față de un punct

  • Simetria graficului unei funcții față de o dreaptă de forma x = m

Fie funcția f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} și punctele M(x,f(x)), {M}'({x}', f(x)) și P(m,y), reprezentate grafic astfel:

Dorim să aflăm care este condiția ca dreapta x=m (vezi graficul de mai sus) să fie axă de simetrie pentru graficul funcției f.

Se observă că punctul P este mijlocul segmentului \left [ {M}'M \right ].

Coordonatele punctului P se calculează astfel:

m=\frac{x_M+x_{{M}'}}{2}

\Leftrightarrow m=\frac{x+{x}'}{2}

\Leftrightarrow 2m=x+{x}'

\Leftrightarrow {x}'=2m-x

\Rightarrow {M}'(2m-x,f(x)).

Cum punctul P este mijlocul segmentului \left [ {M}'M \right ], ne rezultă că punctele M și {M}' sunt simetrice.

Atunci, avem că f(x)=f({x}'), ceea ce este echivalent cu f(x)=f(2m-x).

Așadar, condiția ca dreapta x=m să fie axă de simetrie pentru graficul funcției f​ este:

f(x)=f(2m-x), oricare ar fi x\in\mathbb{R}.

Observație:

În cazul particular, când m=0, ne rezultă că axa de simetrie este Oy și avem relația f(x)=f(-x), oricare ar fi x\in\mathbb{R}. 

Se observă că ne situăm în cazul 1, al Propoziției FE8: Interpretarea geometrică a parității și a imparității, adică funcția f este o funcție pară.

  • Simetria graficului unei funcții față de un punct

Fie funcția f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} și punctul P(a,b).

Ne punem următoarea problemă: care este condiția (sau relația) pe care o verifică funcția f, astfel încât punctul P(a,b) să fie centru de simetrie pentru graficul funcției f.

Avem punctul M(x,y)\in \mathcal{G}f. Rezultă că punctul {M}'({x}',f({x}'))\in \mathcal{G}f,  unde {M}' este simetricul punctului M, față de punctul P. 

Avem următorul grafic:

.

Se cunosc x,\ y,\ a,\ b,\ y=f(x) și se cere să se afle {x}',\ {y}' în funcție de a,\ b,\ x,\ f(x).

Putem condiția ca punctul P să fie mijlocul segmentului \left [ {M}'M \right ].

Avem:

\begin{align*} &\begin{cases} x_P=\dfrac{x_M+x_{{M}'}}{2}\\\\ y_P=\dfrac{y_M+y_{{M}'}}{2} \end{cases} \\\\&\Leftrightarrow \begin{cases} a=\dfrac{x+{x}'}{2}\ \Big|\ \cdot 2\\\\ b=\dfrac{y+{y}'}{2}=\dfrac{f(x)+f({x}')}{2}\ \Big|\ \cdot 2 \end{cases}\\\\ &\Leftrightarrow \begin{cases} 2a=x+{x}'\\ 2b=f(x)+f({x}') \end{cases}\\\\&\Leftrightarrow \begin{cases} {x}'=2a-x\\ f({x}')=2b-f(x) \end{cases} \end{align*}

În sistemul de mai sus, înlocuim în cea de-a doua ecuație prima ecuație și astfel, obținem că:

f(2a-x)=2b-f(x).

Așdar, am aflat condiția ca punctul P(a,b) să fie centru de simetrie pentru graficul funcției f, adică avem următoarea relație:

f(x)+f(2a-x)=2b,  oricare ar fi x\in\mathbb{R}.

Observație:

Atunci când avem punctul P(0,0), ne rezultă că f(x)+f(-x)=0, ceea ce este echivalent cu f(x)=-f(-x) sau f(-x)=-f(x), oricare ar fi x\in\mathbb{R}. 

Cu alte cuvinte, în acest caz, funcția f este o funcție impară și avem cazul 2 al Propoziției FE8: Interpretarea geometrică a parității și a imparității.