Studiul funcțiilor cu ajutorul derivatelor

Cuprins

Șirul lui Rolle
- Etapele șirului lui Rolle:
- Cum interpretăm tabelul?
Rolul derivatei întâi
- Demonstrarea unor inegalități pe baza studiului funcțiilor cu ajutorul derivatelor
Rolul derivatei a doua

Șirul lui Rolle

Se dă un interval de numere reale $I\subset \mathbb{R}$ și funcția $f:I\to \mathbb{R}$ .

Dacă funcția este continuă, atunci se pot găsi soluțiile reale pe intervalul ale ecuației f(x)=0 . Ne punem problema separării acestor soluții.

Atunci când vrem să separăm soluțiile ecuației f(x)=0 , trebuie să precizăm numărul de soluții reale ale ecuației și intervalele în care sunt situate aceste soluții.

Astfel, s-a determinat o metodă pentru separarea soluțiilor ecuației f(x)=0 , numită șirul lui Rolle.

Etapele șirului lui Rolle:

Fixăm intervalul de studiu al ecuației și definim funcția $f:I\to \mathbb{R}$ , derivabilă pe intervalul definit.
Calculăm ${f}'(x), x\in I$ și determinăm soluțiile ecuației din intervalul și anume $x_1, x_2,..., x_n\in I$ , cu proprietatea că .
Formăm șirul $\alpha ,f(x_1), f (x_2), ...,f (x_n), \beta$ , unde $\alpha$ și $\beta$ sunt valorile funcției calculate în capetele intervalului sau limitele funcției la capetele intervalului.
Organizăm rezultatele într-un tabel cu liniile și o linie în care trecem semnele valorilor $\alpha ,f(x_1), f (x_2), ...,f (x_n), \beta$ .

Acest șir al semnelor valorilor funcției este de fapt ceea ce numim noi șirul lui Rolle.

Cum interpretăm tabelul?

Dacă șirul lui Rolle conține două semne alăturate identice, atunci în intervalul corespunzător nu există nici o soluție reală a ecuației .
Dacă în șirul lui Rolle apar două semne consecutive diferite, ecuația are o singură soluție reală în intervalul studiat.
Dacă în șirul lui Rolle apare , de exemplu , atunci este rădăcină multiplă a ecuației .
În funcție de numărul schimbărilor de semn și al zerourilor din șirul lui Rolle, putem determina numărul soluțiilor reale ale ecuației , acestea fiind egale.

Exemplu:

Să se contruiască șirul lui Rolle pentru funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ , f(x)=3x^4-8x^3-6x^2+24x-1 .

Rezolvare:

Atașăm funcției ecuația f(x)=0 .

$f(x)=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 3x^4-8x^3-6x^2+24x-1=0$ .

Funcția este derivabilă pe $\mathbb{R}$ , fiind o compunere de funcții derivabile pe $\mathbb{R}$ .

Derivata funcției este:

$\begin{align*} {f}'(x)&={\left (3x^4-8x^3-6x^2+24x-1 \right )}'\\ &={(3x^4)}'-{(8x^3)}'-{(6x^2)}'+{(24x)}'-{1}'\\ &=3\cdot{ (x^4)}'-8\cdot {(x^3)}'-6\cdot {(x^2)}'+24\cdot {x}'-0\\ &=3\cdot 4x^3-8\cdot 3x^2-6\cdot 2x+24\cdot 1\\ &=12x^3-24x^2-12x+24\\ &=12(x^3-2x^2-x+2)\\ &=12\left [ x^2(x-2)-(x-2) \right ]\\ &=12(x-2)(x^2-1)\\ &=12(x-1)(x-2)(x+1) \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow {f}'(x)=12(x-1)(x-2)(x+1) \end{align*}$ .

Aflăm rădăcinile ecuației {f}'(x)=0 .

$\begin{align*} &{f}'(x)=0\Leftrightarrow \\ &\Leftrightarrow 12(x-1)(x-2)(x+1)=0\\ & x-1=0 \ sau \ x-2=0 \ sau \ x+1=0\\ &x=0+1 \ sau \ x=0+2 \ sau \ x=0-1\\ & x=1 \ sau \ x=2 \ sau \ x=-1 \end{align*}$

Deci, am găsit soluțiile: $\begin{align*} x_1=-1, x_2=1, x_3=2 \end{align*}$ .

Capetele intervalului de definiției al funcției sunt $\begin{align*}-\infty \end{align*}$ și $\begin{align*} +\infty \end{align*}$ .

Avem că:

$\begin{align*} \alpha =\lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty \end{align*}$ .

$\begin{align*} \beta =\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty \end{align*}$ .

$\begin{align*} f(-1)&=3\cdot (-1)^4-8\cdot (-1)^3-6\cdot (-1)^2+24\cdot (-1)-1\\ &=3\cdot 1-8\cdot (-1)-6\cdot 1-24-1\\ &=3+8-6-24-1\\ &=-20 \end{align*}$

$\begin{align*}\Rightarrow f(-1)=-20 \end{align*}$ .

$\begin{align*} f(1)&=3\cdot 1^4-8\cdot 1^3-6\cdot 1^2+24\cdot 1-1\\ &=3\cdot 1-8\cdot 1-6\cdot 1+24-1\\ &=3-8-6+24-1\\ &=12 \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow f(1)=12 \end{align*}$ .

$\begin{align*} f(2)&=3\cdot 2^4-8\cdot 2^3-6\cdot 2^2+24\cdot 2-1\\ &=3\cdot 16-8\cdot 8-6\cdot 4+48-1\\ &=48-64-24+48-1\\ &=7 \end{align*}$

$\begin{align*}\Rightarrow f(2)=7 \end{align*}$ .

Facem tabelul corespunzător șirului lui Rolle.

Se poate observa că în șirul lui Rolle sunt doar două schimbări de semn. Așadar, ecuația 3x^4-8x^3-6x^2+24x-1=0 are două soluții reale: o soluție în intervalul $(-\infty,-1)$ și o soluție în (-1,1) .

Rolul derivatei întâi

Prima derivată (derivata de ordinul întâi) este utilă în determinarea punctelor de extrem și în studiul monotoniei unei funcții date.

Propoziția FD21: Monotonia unei funcții în funcție de prima derivată

Fie $f:I\to \mathbb{R}$ , $I\subset \mathbb{R}$ interval.

Dacă ${f}'(x)> 0, x\in I$ , atunci este strict crescătoare pe .
Dacă ${f}'(x)< 0, x\in I$ , atunci este strict descrescătoare pe .

Propoziția FD22: Determinarea punctelor de extrem

Fie $f:I\to \mathbb{R}$ , $x_0\in I$ .

Punctul este punct de maxim local pentru funcția dacă există o vecinătate $V\in\mathcal{V}(x_0)$ , astfel încât funcția este strict crescătoare pentru $x\in V$ , $x\le x_0$ și este strict descrescătoare pentru $x\in V$ , $x\ge x_0$ .
Punctul este punct de minim local pentru funcția dacă există o vecinătate $V\in\mathcal{V}(x_0)$ , astfel încât funcția este strict crescătoare pentru $x\in V$ , $x\ge x_0$ și este strict descrescătoare pentru $x\in V$ , $x\le x_0$ .

Definițiile pentru noțiunile de punct de maxim local și punct de minim local, dar și pentru punct de maxim global și punct de minim global s-au dat în introducerea capitolului anteriori, Proprietăți ale funcțiilor derivabile.

Practic, pentru a studia monotonia unei funcții și a-i determina punctele de extrem, trebuie să parcurgem următoarele etape:

Determinăm domeniul maxim de definiție.
Calculăm și determinăm domeniul de definiție al funcției derivată.
Aflăm punctele critice, adică determinăm soluțiile ecuației .
Studiem semnul derivatei.
Întocmim tabelul de variație.
Citim rezultatele din tabel.

Tabelul de variație este tabelul în care introducem datele obținute în urma parcurgerii etapelor descrise mai sus. Pe prima linie a tabelului se trec soluțiile ecuației {f}'(x)=0 , dar și capetele domeniului de definiție al funcției. Dacă funcția este definită pe dreapta reală $(\mathbb{R})$ , în tabel vom trece $-\infty$ și $+\infty$ la marginile primei linii. Pe a doua linie vom scrie sub fiecare rădăcină de pe prima linie și între -uri vom trece semnele funcției derivată pe intervalele respective. Pe ultima linie vom calcula valorile funcției în punctele determinate (soluțiile ecuației {f}'(x)=0 ) și valorile funcției în capetele intervalului sau limitele în capetele intervalului. Între valorile sau limitele funcției calculate anterior vom trece săgeți, astfel:

dacă pe linia de mai sus (linia derivatei) avem semnnul pe un interval, vom trece semnul $_"\nearrow"$ (înseamnă că funcția ”crește” pe acel interval);
dacă pe linia corespunzătoare derivatei avem semnnul vom completa tabelul cu săgeata $_"\searrow"$ (atunci funcția ”descrește”).

Pentru a te familiariza cu acest algoritm, urmărește cu atenție și încearcă să rezolvi următoarele exemple:

Exemplu:

Fie funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ , f(x)=x^3-3x .

Atunci derivata funcției este:

${f}'(x)={(x^3-3x)}'\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow {f}'(x)={(x^3)}'-{(3x)}'$

$\Leftrightarrow {f}'(x)=3x^2-3{x}'$

$\Leftrightarrow {f}'(x)=3x^2-3\cdot 1$

$\Leftrightarrow {f}'(x)=3x^2-3$ .

Am putut calcula derivata funcției date, deoarece acesta este derivabilă, fiind compusa unor funcții elementare derivabile pe mulțimea numerelor reale.

Domeniul de definiție al funcției derivată este tot $\mathbb{R}$ .

Rezolvăm ecuația {f}'(x)=0 .

$\begin{align*} &{f}'(x)=0\Leftrightarrow \\ &\Leftrightarrow 3x^2-3=0\\ &\Leftrightarrow 3(x^2-1)=0\\ &\Leftrightarrow x^2-1=0\\ &\Leftrightarrow (x-1)(x+1)=0\\ &\Leftrightarrow x-1=0 \ sau \ x+1=0\\ &\Leftrightarrow x=0+1 \ sau \ x=0-1\\ &\Leftrightarrow x=1 \ sau \ x=-1 \end{align*}$

Calculăm $\begin{align*} f(-1) \end{align*}$ și $\begin{align*} f(1) \end{align*}$ .

$\begin{align*} f(-1)&= (-1)^3-3\cdot (-1)\\ &= -1+3\\ &=2 \end{align*}$

$\begin{align*}\Rightarrow f(-1)=2 \end{align*}$ .

$\begin{align*} f(1)&= 1^3-3\cdot 1\\ &=1-3\\ &=-2 \end{align*}$

$\begin{align*}\Rightarrow f(1)=-2 \end{align*}$ .

Punctele de extrem sunt $\begin{align*}x_1=-1 \end{align*}$ și $\begin{align*}x_2=1 \end{align*}$ .

Deoarece $\begin{align*}f(x_1)=f(-1)> f(x_2)=f(1) \end{align*}$ , vom avea că $\begin{align*}x_1=-1 \end{align*}$ este punct de maxim local pentru funcția dată cu valoare maximă $\begin{align*}2 \end{align*}$ , iar punctul $\begin{align*}x_2=1 \end{align*}$ este punct de minim local cu valoarea minimă $\begin{align*}-2 \end{align*}$ .

În plus, $\lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty$ , iar $\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$ .

Întocmim tabelul de variație al acestei funcții.

Atât din tabel, cât și pe baza Propoziției FD21: (Monotonia unei funcții în funcție de prima derivată), avem că:

- e crescătoare pe intervalele $\left ( -\infty, -1 \right ]$ și $\left [ 1, +\infty \right )$ ;

- e descrescătoare pe intervalul $\left [ -1,1 \right ]$ .

Aplicație:

Demonstrarea unor inegalități pe baza studiului funcțiilor cu ajutorul derivatelor

Să se arate că $\ln (x+1)\le x$ , pentru orice $x\in (-1,+\infty)$ .

Rezolvare:

$\ln (x+1)\le x\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \ln (x+1)- x\le0$ .

Fie funcția $f:(-1,+\infty)\to \mathbb{R}$ , $f(x)=\ln (x+1)- x$ .

Avem de demonstrat că $f(x)\le 0$ .

Funcția dată este derivabilă, deoarece este compusa unor funcții elementare derivabile.

Deci putem calcula {f}'(x) .

$\begin{align*} {f}'(x)&={\left ( \ln(x+1)-x \right )}'\\\\ &={\left ( \ln(x+1) \right )}'-{x}'\\\\ &=\frac{1}{x+1}\cdot{ (x+1)}'-1\\\\ &=\frac{1}{x+1}\cdot ({x}'+{1}')-1\\\\ &=\frac{1}{x+1}\cdot (1+0)-1\\\\ &=\frac{1}{x+1}\cdot 1-1\\\\ &=\frac{1}{x+1}-1\\\\ &=\frac{1-(x+1)}{x+1}\\\\ &=\frac{1-x-1}{x+1}\\\\ &=\frac{-x}{x+1} \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow {f}'(x)=\frac{-x}{x+1} \end{align*}$ .

Domeniul funcției derivată este tot $\begin{align*} (-1,+\infty) \end{align*}$ .

Atunci:

$\begin{align*} & {f}'(x)=0\Leftrightarrow \\ &\Leftrightarrow \frac{-x}{x+1}=0\\ &\Leftrightarrow x=0. \end{align*}$

Calculăm $\begin{align*}f(0) \end{align*}$ .

$\begin{align*} f(0)&=\ln (0+1)-0\\ &=\ln 1\\ &=0 \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow f(0) =0 \end{align*}$ .

Întocmim tabelul de variație.

Funcția este crescătoare pe intervalul $\left (-1,0 \right ]$ și e descrescătoare pe intervalul $\left [ 0, +\infty \right )$ .

Înseamnă că punctul x=0 este punct de maxim global.

Deci $f(x)\le f(0)$ , ceea ce este echivalent cu:

$\ln (x+1)- x\le0$ .

În concluzie, $\ln (x+1)\le x$ , pentru orice $x\in (-1,+\infty)$ .

Rolul derivatei a doua

Derivata a doua a unei funcții (mai este numită derivata derivatei unei funcții) se utilizează la determinarea puntelor de inflexiune și la studiul convexității și concavității unei funcții.

Propoziția FD23: Convexitate. Concavitate. Punct de inflexiune

Fie $f:I\to \mathbb{R}$ , $I\subset \mathbb{R}$ interval. Atunci:

Funcția este convexă pe intervalul dacă și numai dacă ${f}''(x)\ge 0$ , pentru orice $x\in I$ .
Funcția este concavă pe intervalul dacă și numai dacă ${f}''(x)\le 0$ , pentru orice $x\in I$ .
Un punct $x_0\in I$ este punct de inflexiune pentru funcția dacă există o vecinătate $V\in\mathcal{V}(x_0)$ , astfel încât:

$\begin{cases} {f}''(x)\ge 0, x\in V\cap I, x \ge x_0\\ {f}''(x)\le 0, x\in V\cap I, x \le x_0\\ \end{cases}$ .

Observație:

În punctele de inflexiune ale unui interval, derivata a doua a unei funcții se anulează și schimbă semnul.

În punctele de extrem, derivata I este cea care se anulează și schimbă semnul.

Schimbarea semnului presupune trecerea de la _"+" la _"-" sau de la _"-" la _"+" .

Exemplu:

Să se stabilească intervalele de convexitate și concavitate ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ , f(x)=4x^3-3x^2-7x+2 .

Rezolvare:

Funcția dată este compusa unor funcții elementare derivabile, deci este funcție derivabilă.

Calculăm prima derivată a funcției .

$\begin{align*} {f}'(x)&={\left (4x^3-3x^2-7x+2 \right )}'\\ &={(4x^3)}'-{(3x^2)}'+{(7x)}'+{2}'\\ &=4\cdot {(x^3)}'-3\cdot{ (x^2)}'+7\cdot {x}'+0\\ &=4\cdot 3x^2-3\cdot 2x+7\cdot 1\\ &=12x^2-6x+7 \end{align*}$

$\begin{align*}\Rightarrow {f}'(x)=12x^2-6x+7 \end{align*}$ .

Continuăm procedeul de derivare și calculăm $\begin{align*}{f}''(x) \end{align*}$ , pentru $\begin{align*}x\in \mathbb{R} \end{align*}$ .

$\begin{align*} {f}''(x)&={\left ({f}'(x) \right )}'\\ &={\left (12x^2-6x+7 \right )}'\\ &=12\cdot {(x^2)}'-6\cdot {x}'+{7}'\\ &=12\cdot 2x-6\cdot 1+0\\ &=24x-6 \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow {f}''(x)=24x-6 \end{align*}$ .

Rezolvăm în mulțimea numerelor reale ecuația $\begin{align*} {f}''(x)=0 \end{align*}$ .

$\begin{align*} &{f}''(x)=0\Leftrightarrow \\ &\Leftrightarrow 24x-6=0\\ &\Leftrightarrow 24x=0+6\\ &\Leftrightarrow 24x=6\\ &\Leftrightarrow x=\frac{6}{24}\\ &\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}. \end{align*}$

Calculăm $\begin{align*} f\left (\frac{1}{4} \right ) \end{align*}$ .

$\begin{align*} f\left (\frac{1}{4} \right )&=4\cdot \left (\frac{1}{4} \right )^3-3\cdot \left (\frac{1}{4} \right )^2-7\cdot\frac{1}{4} +2\\\\ &=4\cdot \frac{1}{64}-3\cdot \frac{1}{16}-7\cdot\frac{1}{4} +2\\\\ &=\frac{1-3-28+32}{16}\\\\ &=\frac{2}{16}\\\\ &=\frac{1}{8} \end{align*}$