Exerciții și probleme rezolvate pentru profilul matematică - informatică

Acestea sunt doar câteva din problemele în care intervine calculul integral, probleme care s-au dat în sesiunile de Bacalaureat din anii 2012-2015, pentru profilul matematică - informatică. Rezolvările complete ale acestor probleme le poți vedea accesând această pagină a ghidului nostru.

Această problemă a fost dată în sesiunea august-septembrie a anului 2012, pentru profilul matematică - informatică, la subiectul III, exercițiul 2.

Bacalaureat Matematică 2012 | Mate - Info | Sesiunea august - septembrie | Subiectul III

Pentru fiecare număr natural nenul , se consideră numărul $I_p=\int_{0}^{1}x^pe^{x^2}\mathrm{d}x$ .

Calculați .
Arătați că $2I_p+(p-1)I_{p-2}=e$ , pentru orice $p\ge 3$ .
Calculați $\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n^2}\Big(e^{\frac{1^2}{n^2}}+2e^{\frac{2^2}{n^2}}+\cdots+ne^{\frac{n^2}{n^2}}\Big)$ .

Această problemă a fost dată ca și model de subiect în anului 2013, pentru profilul matematică - informatică, la subiectul III, exercițiul 2.

Bacalaureat Matematică 2013 | Mate - Info | Model de subiect | Subiectul III

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=\cos x$ și se notează cu suprafața plană delimitată de graficul funcției , axa și dreptele de ecuații x=0 și $x=\frac{\pi}{2}$ .

Calculați aria suprafeței .
Calculați volumul corpului obținut prin rotația suprafeței în jurul axei .
Demonstrați că $\int_{0}^{2\pi}f^n(kx)\mathrm{d}x=\int_{0}^{2\pi}f^n(x)\mathrm{d}x$ , pentru orice numere naturale $n, k\ge 1$ .

Această problemă a fost dată în sesiunea specială a anului 2013, pentru profilul matematică - informatică, la subiectul III, exercițiul 2.

Bacalaureat Matematică 2013 | Mate - Info | Sesiunea specială | Subiectul III

Pentru fiecare număr natural se consideră numărul $I_n=\int_{1}^{2}x^n \mathrm{e}^x dx.$

Calculați
Arătați că $I_1=\mathrm{e}^2.$
Demonstrați că $I_{n+1}+(n+1)I_n=2^{n+1}\mathrm{e}^2-\mathrm{e},$ pentru orice număr natural

Această problemă a fost dată în sesiunea specială a anului 2014, pentru profilul matematică - informatică, la subiectul III, exercițiul 2.

Bacalaureat Matematică 2014 | Mate - Info | Sesiunea specială | Subiectul III

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=\frac{x^3}{x^2+x+1}$ .

Arătați că $\int_{0}^{1}\big(x^2+x+1\big)f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{4}$ .
Arătați că $\int_{0}^{1}\big(f(x)-x+1\big)\mathrm{d}x=\frac{\pi}{3\sqrt{3}}$ .
Arătați că $\lim_{t\to 0}\Big(\frac{1}{t^4}\cdot\int_{0}^{t}f(x)\mathrm{d}x\Big)=\frac{1}{4}$ .

Această problemă a fost dată în sesiunea august-septembrie a anului 2015, pentru profilul matematică - informatică, la subiectul III, exercițiul 2.

Bacalaureat Matematică 2015 | Mate - Info | Sesiunea august - septembrie | Subiectul III

Se consideră funcția $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R},\ f(x)=\ln{x}.$

Arătați că $\int_{1}^{e}\displaystyle\frac{1}{x}\ \mathrm{dx} =1.$
Calculați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției axa și dreptele de ecuații și
Determinați numărul natural nenul știind că $\int_{1}^{e}\displaystyle\frac{1}{x} \big(f(x)\big)^n\ \mathrm{dx}=\displaystyle\frac{1}{2015}.$

Această problemă a fost dată în sesiunea specială a anului 2015, pentru profilul matematică - informatică, la subiectul III, exercițiul 2.

Bacalaureat Matematică 2015 | Mate - Info | Sesiunea specială | Subiectul III

Se consideră funcția $\tiny f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=e^x-2x$ .

Arătați că $\tiny \int_0^1 (f(x)+2x)\,\mathrm{d}x=\mathrm{e}-1.$
Determinați primitiva $\tiny F$ a funcției $\tiny f$ pentru care $\tiny \tiny F(1)=e-3$ .
Arătați că volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $\tiny Ox$ a graficului funcției $\tiny g:[0,1]\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)$ , este egal cu $\tiny \displaystyle\frac{\pi}{6}(3e^2-19)$ .

Dacă vrei să vezi și să rezolvi mai multe probleme în care intervine calculul integral, poți accesa unul din eBook-urile următoare (Subiectul III, exercițiul 2):