Primitive

Primitive ale unei funcții. Integrala nedefinită a unei funcții

Fie intervalul de numere reale I\subset \mathbb{R} și funcția definită pe acest interval, notată f:I\to \mathbb{R}.

Definiția CI1: Admiterea primitivei pe intevalul I

Spunem că funcția f:I\to \mathbb{R} admite primitive pe intervalul I, dacă există o funcție F:I\to\mathbb{R}, astfel încât:

  1. funcția F să fie o funcție derivabilă pe intervalul I;
  2. să fie îndeplinită următoarea condiție: {F}'(x)=f(x), oricare ar fi x\in I.

Definiția CI2: Funcție primitivă

Se numește funcție primitivă a funcției f pe intervalul I, funcția F definită mai sus, care îndeplinește condițiile i. și ii. . Acestă funcție F se mai numește și funcția antiderivată a funcției f pe intervalul I.

Definiția CI3: Funcție primitivabilă 

Dacă există o funcție F, care îndeplinește condițiile i. și ii., atunci se spune că funcția f este primitivabilă pe intervalul I.

Exemple:

  • Funcția nulă f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=0 admite primitive pe mulțimea \mathbb{R}. Într-adevăr, pentru orice număr real c, funcția F:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, F(x)=c este o funcție derivabilă pe mulțimea \mathbb{R}, iar derivata aceste funcții este {F}'(x)={c}'=0 (c fiind o constantă), pentru orice x\in \mathbb{R}.
  • Fie funcția f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^3. Funcțiile de forma  F:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, F(x)=\frac{x^4}{4}, respectiv  G:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},G(x)=\frac{x^4}{4}+k, cu constanta k\in \mathbb{R}, sunt primitive ale funcției f pe mulțimea \mathbb{R}, deoarece, prin derivare obținem că {F}'(x)={G}'(x)=f(x), oricare ar fi x\in \mathbb{R}.
  • O primitivă a funcției f:(0,+\infty)\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{1}{x} este funcția derivabilă F:(0,+\infty)\rightarrow \mathbb{R}, F(x)=\ln{x}. De asemenea și funcția G:(0,+\infty)\rightarrow \mathbb{R}, F(x)=\ln{x}-3 este o primitivă a funcției f pe intervalul (0,+\infty).

Observații:

  • Am folosit formulele din secțiunea Tabel - Derivatele funcțiilor elementare, din cadrul ghidului Funcții derivabile.
  • În exemplele de mai sus putem observa ca funcțiile date admit mai multe primitive pe intervalul de definiție. Relația care se stabilește între primitivele unei funcții este dată de următorul rezultat:

Teorema CI4: Relația dintre două primitive 

Fie intervalul I\subset \mathbb{R} și funcția definită pe acest interval f:I\to \mathbb{R}.

Dacă funcția  f are două primitive pe intervalul I, notate cu  F_1,F_2:I\to \mathbb{R}, atunci există o constantă c\in\mathbb{R}, astfel încât F_1(x)-F_2(x)=c, oricare ar fi x\in I.

Cu alte cuvinte, această teoremă ne spune că două primitive ale unei funcții primitivabile diferă printr-o constantă. Adică, dacă am avea o primitivă F a funcției f:I\to\mathbb{R}, atunci orice altă primitivă, de exemplu G, a funcției f este de forma G=F+c, unde c  este o funcție contantă pe intervalul I.

Din această teoremă putem trage concluzia că dacă funcția f admite o primitivă, atunci această funcție f admite o infinitate de primitive.

În cele ce urmează ți se va arăta cum poți afla o funcție, cunoscându-i o primitivă.

Exerciții rezolvate:

Să se determine funcția f:D\to\mathbb{R} pentru care o primitivă a sa este de forma:

  1. F(x)=2x^4-5x+7, cu x\in \mathbb{R};
  2. F(x)=x\left ( \ln^2x-\ln x^2+1 \right ), cu x\in(0,+\infty);
  3. F(x)=\displaystyle\frac{x+1}{x^2+1}, cu x\in \mathbb{R}.

Rezolvare:

Pentru a rezolva acest exercițiu ne folosim de noțiunile referitoare la funcțiile derivavile detaliate în ghidul Funcții derivabile și anume, vom folosi următoarele formule de derivare:

\begin{align*} &{(\alpha x)}'= \alpha {x}';\\ & {(x^n)}'=nx^{n-1};\\& {\left [u^n(x) \right ]}'=n\left [ u(x) \right ]^{n-1}\cdot {u}'(x);\\ & {(f\cdot g)}'={f}'\cdot g+f\cdot {g}';\\ &{\left ( \frac{f}{g} \right )}'=\displaystyle\frac{{f}'\cdot g-f\cdot {g}'}{g^2}. \end{align*}

  1. Funcția F este derivabilă pe mulțimea \mathbb{R}, fiind compusă din funcții elementare.

Conform condiției ii. a Definiției CI1: Admiterea primitivei pe intevalul I, avem că f(x)={F}'(x), oricare ar fi x\in\mathbb{R}. Atunci, pentru cazul nostru avem:

\begin{align*} f(x)&={F}'(x)\\\\ &={(2x^4-5x+7)}'\\\\&={(2x^4)}'-{(5x)}'+{7}'\\\\&=2\cdot 4\cdot x^{4-1} -5\cdot {x}'+0\\\\&=8\cdot x^3-5\cdot 1\\\\&=8x^3-5 \end{align*}

\begin{align*}\Leftrightarrow f(x)&=8x^3-5. \end{align*}

  1. Funcția F este derivabilă pe mulțimea \mathbb{R}, fiind compusă din funcții elementare.

Conform condiției ii. a Definiției CI1: Admiterea primitivei pe intevalul I, avem că f(x)={F}'(x), oricare ar fi x\in\mathbb{R}. Atunci, pentru cazul nostru avem:

\begin{align*} f(x)&={F}'(x)\\\\ &={\left [x \left ( \ln^2x-\ln x^2+1 \right ) \right ]}'\\\\&={x}'\cdot \left ( \ln^2x-\ln x^2+1 \right )+x\cdot { \left ( \ln^2x-\ln x^2+1 \right )}'\\\\&=1\cdot \left ( \ln^2x-\ln x^2+1 \right )+x\cdot \left [ {(\ln^2x)}'-{(\ln x^2)}'+{1}' \right ]\\\\&= \ln^2x-\ln x^2+1 +x\cdot \left [ 2\cdot {(\ln x)}' \cdot \ln x-\displaystyle\frac{{x^2}'}{x^2}+0\right ]\\\\&= \ln^2x-\ln x^2+1 +x\cdot\left ( 2\cdot \frac{1}{x}\cdot \ln x-\frac{2x}{x^2} \right )\\\\&=\ln^2x-\ln x^2+1 +x\cdot\left ( 2\cdot \frac{1}{x}\cdot \ln x-\frac{2}{x} \right )\\\\&=\ln^2x-\ln x^2+1 +x\cdot\frac{2}{x}\cdot\left(\ln x-1 \right )\\\\ &=\ln^2x-\ln x^2+1 +2(\ln x-1)\\\\&=\ln^2 x-2\ln x+1+2\ln x-2\\\\ &=\ln^2 x-1 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow f(x)&=\ln^2 x-1. \end{align*}

  1. Funcția F este derivabilă pe mulțimea \mathbb{R}, fiind compusă din funcții elementare.

Conform condiției ii. a Definiției CI1: Admiterea primitivei pe intevalul I, avem că f(x)={F}'(x), oricare ar fi x\in\mathbb{R}. Atunci pentru cazul nostru avem:

\begin{align*} f(x)&={F}'(x)\\\\ &={(2x^4-5x+7)}'\\\\ &={\left (\displaystyle\frac{x+1}{x^2+1} \right )}'\\\\ &=\displaystyle\frac{{(x+1)}'(x^2+1)-(x+1){(x^2+1)}'}{(x^2+1)^2}\\\\ &=\displaystyle\frac{({x}'+{1}')(x^2+1)-(x+1)\left [{(x^2)}'+{1}' \right ]}{(x^2+1)^2}\\\\ &=\displaystyle\frac{(1+0)(x^2+1)-(x+1)(2x+0)}{(x^2+1)^2}\\ \\&=\displaystyle\frac{x^2+1-2x^2-2x}{(x^2+1)^2}\\\\ &=\displaystyle\frac{-x^2-2x+1}{(x^2+1)^2} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow f(x)&=\displaystyle\frac{-x^2-2x+1}{(x^2+1)^2}. \end{align*}

 Definiția CI5: Integrală nedefinită 

Fie un interval I\subset \mathbb{R}. Fie funcția f:I\to \mathbb{R} o funcție care admite primitive pe acest interval I.

Se numește integrală nedefinită a funcției f, mulțimea tuturor primitivelor funcției f pe intervalul I

Această mulțime se notează astfel \int f(x)\ \mathrm{dx}=F(x)+\mathcal{C}, unde \mathcal{C} este mulțimea formată din funcțiile constante.

Definiția CI6: Operația de integrare 

Se numește operația de integrare acea operație prin care se determină mulțimea primitivelor unei funcții.

Observații:

  1. Dacă \mathcal{F}(I)=\left \{ f\ |\ f:I\to\mathbb{R} \right \} și \mathcal{F}, \mathcal{G}\subset \mathcal{F}(I), atunci putem defini operațiile:
  1. \mathcal{F}+ \mathcal{G}=\left \{ f+g\ |\ f\in\mathcal{F}, g\in \mathcal{G} \right \};
  2. \lambda \mathcal{F}=\left \{ \lambda f\ |\ f\in\mathcal{F}\right \}\lambda \in\mathbb{R};
  3. f+\mathcal{G}=\left \{ f+h\ |\ g\in\mathcal{G} \right \}f\in\mathcal{F}(I).
  1. Pentru mulțimea \mathcal{C} a funcțiilor constante pe intervalul I au loc egalitățile: \mathcal{C}+\mathcal{C}=\mathcal{C};\ \lambda \mathcal{C}=\mathcal{C}, oricare ar fi \lambda \in \mathbb{R}^\ast.

Exemple:

Cu ajutorul notației utilizate pentru integrala nedefinită, pentru exemplele de mai sus putem scrie astfel:

  • Integrala nedefinită a funcției f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=0 este \int 0\ \mathrm{dx}=\mathcal{C}, oricare ar fi x\in\mathbb{R}.
  • Integrala nedefinită a funcției f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^3 este \int x^3\ \mathrm{dx}=\frac{x^4}{4}+\mathcal{C}, oricare ar fi x\in\mathbb{R}.
  • Integrala nedefinită a funcției f:(0,+\infty)\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{1}{x} este \int \frac{1}{x}\ \mathrm{dx}=\ln{x}+\mathcal{C}, oricare ar fi x\in(0,+\infty).

Primitive uzuale

Fie intervalul de numere reale notat cu I și funcția f:I\to\mathbb{R} care admite primitive pe intervalul I.

Definiția CI1: Admiterea primitivei pe intevalul I ne spune că dacă o primitivă a funcției f este o funcție de forma F:I\to\mathbb{R}, atunci funcția F este o funcție derivabilă și {F}'(x)=f(x), oricare ar fi x\in I.

Astfel, putem spune că definiția primitivei dă posibilitatea determinări acesteia în strânsă legătură cu folosirea formuleleor de derivare învățate în clasa a XI-a, formule pe care le poți găsi citind Ghidul | Funcții derivabile.

  1. Primitive deduse din derivatele funcțiilor elementare

Pentru a se înțelege acest procedeu, dăm următoarele exemple:

  • Avem că {x}'=1 sau {(x+3)}'=1, de unde obținem integrala nedefinită \int 1\ \mathrm{dx}=x+\mathcal{C} sau \int \mathrm{dx}=x+\mathcal{C}.
  • Fie funcția f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=\cos x. Derivata acestei funcții este {(\cos x)}'=-\sin x, de unde obținem că \int \sin x\ \mathrm{dx}=-\cos x+\mathcal{C}.
  • Derivata funcției f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=\ln x este {(\ln x)}'=\frac{1}{x}, de unde ne rezultă integrala nedefinită \int \frac{1}{x}\ \mathrm{dx}=\ln x+\mathcal{C}.

În mod analog, pentru alte funcții elementare construim următorul tabel cu integrale nedefinite:

Nr. crt.FuncțiaIntegrala nedefinită
1.f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\ f(x)=x^n,\ n\in\mathbb{N}\int x^n\ \mathrm{dx}=\displaystyle\frac{x^{n+1}}{n+1}+\mathcal{C}
2.f:I\to \mathbb{R},\ f(x)=x^r,\ I\subset (0,+\infty),\ r\in\mathbb{R}\setminus \left \{ -1 \right \}\int x^r\ \mathrm{dx}=\displaystyle\frac{x^{r+1}}{r+1}+\mathcal{C}
3.f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\ f(x)=a^x,\ a> 0,\ a\neq 1\int a^x\ \mathrm{dx}=\displaystyle\frac{a^x}{\ln a}+\mathcal{C}
4.f:I\to \mathbb{R},\ f(x)=\displaystyle\frac{1}{x},\ I\subset \mathbb{R}^\ast\int \displaystyle\frac{1}{x}\ \mathrm{dx}=\ln \left | x \right |+\mathcal{C}
5.f:I\to \mathbb{R},\ f(x)=\displaystyle\frac{1}{x^2-a^2},\ I\subset \mathbb{R}\setminus \left \{ \pm a \right \},\ a\neq 0\int \displaystyle\frac{1}{x^2-a^2}\ \mathrm{dx}=\displaystyle\frac{1}{2a}\ln \left | \displaystyle\frac{x-a}{x+a} \right |+\mathcal{C}
6.f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\ f(x)=\displaystyle\frac{1}{x^2+a^2},\ a\neq 0\int \displaystyle\frac{1}{x^2+a^2}\ \mathrm{dx}=\displaystyle\frac{1}{a}arctg \displaystyle\frac{x}{a} +\mathcal{C}
7.f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\ f(x)=\sin x\int \sin x\ \mathrm{dx}=-\cos x+\mathcal{C}
8.f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\ f(x)=\cos x\int \cos x\ \mathrm{dx}=\sin x+\mathcal{C}
9.f:I\to \mathbb{R},\ f(x)=tg\ x,\ I\subset\mathbb{R}\setminus \left \{ (2k+1)\displaystyle\frac{\pi}{2}\ \Big|\ k\in \mathbb{Z} \right \}\int tg\ x\ \mathrm{dx}=-\ln \left |\cos x \right |+\mathcal{C}
10.f:I\to \mathbb{R},\ f(x)=ctg\ x,\ I\subset\mathbb{R}\setminus \left \{ k\pi\ |\ k\in \mathbb{Z} \right \}\int ctg\ x\ \mathrm{dx}=\ln \left |\sin x \right |+\mathcal{C}
11.f:I\to \mathbb{R},\ f(x)=\displaystyle\frac{1}{\cos^2x},\ I\subset \mathbb{R}\setminus \left \{ (2k+1)\displaystyle\frac{\pi}{2}\ \Big|\ k\in \mathbb{Z} \right \}\int \displaystyle\frac{1}{\cos^2x}\ \mathrm{dx}=tg\ x+\mathcal{C}
12.f:I\to \mathbb{R},\ f(x)=\displaystyle\frac{1}{\sin^2x},\ I\subset \mathbb{R}\setminus \left \{ k\pi \ |\ k\in \mathbb{Z} \right \}\int \displaystyle\frac{1}{\sin^2x}\ \mathrm{dx}=-ctg\ x+\mathcal{C}
13.f:I\to \mathbb{R},\ f(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}},\ I\subset (-a,a),\ a> 0\int \displaystyle\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\ \mathrm{dx}=\arcsin\displaystyle\frac{x}{a}+\mathcal{C}
14.f:I\to \mathbb{R},\ f(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}},\ I\subset (-\infty,a) sau I\subset (a,+\infty)\int \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}\ \mathrm{dx}=\ln \left | x+\sqrt{x^2-a^2} \right |+\mathcal{C}
15.f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\ f(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}},\ a\neq 0\int \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\ \mathrm{dx}=\ln \left ( x+\sqrt{x^2+a^2} \right )+\mathcal{C}

 

Exerciții rezolvate:

  1. Să se determine mulțimea primitivelor următoarelor funcții:
  1. f(x)=e^x, cu x\in \mathbb{R};
  2. f(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{(5-x)(5+x)}}, cu x\in(0,5).

Rezolvare:

  1. Pentru a rezolva acest exercițiu ne folosim de formula 3. din tabelul de mai sus. Astfel, avem că:

\begin{align*} \int f(x)\ \mathrm{dx}&=\int e^x\ \mathrm{dx}\\\\ &=\displaystyle\frac{e^x}{\ln e}+\mathcal{C}\\\\ &=\displaystyle\frac{e^x}{1}+\mathcal{C}\\\\ &=e^x+\mathcal{C} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \int f(x)\ \mathrm{dx}&=e^x+\mathcal{C}. \end{align*}

  1. Pentru a rezolva acest exercițiu ne folosim de formula 13. din tabelul de integrale nedefinite de mai sus. Obținem:

\begin{align*} \int f(x)\ \mathrm{dx}&=\int\displaystyle\frac{1}{\sqrt{(5-x)(5+x)}}\ \mathrm{dx}\\\\ &=\int\displaystyle\frac{1}{\sqrt{25-x^2}}\ \mathrm{dx}\\\\ &=\arcsin \displaystyle\frac{x}{5}+\mathcal{C} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \int f(x)\ \mathrm{dx}&=\arcsin \displaystyle\frac{x}{5}+\mathcal{C}. \end{align*}

  1. Primitive deduse din derivarea funcțiilor compuse

Pentru înțelegerea procedeului, avem următorul exemplu:

  • Derivăm funcția f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\ f(x)=\sin(x^2-3). Avem:

\begin{align*} {\left (\sin(x^2-3) \right )}'&=\cos (x^2-3)\cdot {(x^2-3)}'\\\\ &=2x\cdot \cos (x^2-3) \end{align*}

de unde obținem că \begin{align*} \int 2x\cdot \cos (x^2-3)\ \mathrm{dx}=\sin (x^2-3)+\mathcal{C}. \end{align*}

Generalizând exemplul de mai sus, pentru intervalul I\subset \mathbb{R} și funcția derivabilă pe intervalul I, notată cu f:I\to\mathbb{R}, f(x)=\sin u(x), avem că { f}'(x)={\left (\sin u(x) \right )}'=\cos u(x)\cdot {u}'(x). De aici obținem că funcția  \sin u(x)  este o primitivă pentru funcția compusă \cos u(x) \cdot {u}'(x), de unde obținem că \int \cos u(x) \cdot {u}'(x)\ \mathrm{dx}=\sin u(x)+\mathcal{C}.

Analog, dacă u:I\to J este o funcție derivabilă pe intervalul I, obținem următorul tabel cu integrale nedefinite ale funcțiilor compuse:

Nr. crt.Integrala nedefinită
1.\int u(x)\cdot {u}'(x)\ \mathrm{dx}=\displaystyle\frac{u^2(x)}{2}+\mathcal{C}
2.\int {u}^n(x)\cdot {u}'(x)\ \mathrm{dx}=\displaystyle\frac{u^{n+1}(x)}{n+1}+\mathcal{C}, \ n\in \mathbb{N}
3.\int {u}^r(x)\cdot {u}'(x)\ \mathrm{dx}=\displaystyle\frac{u^{r+1}(x)}{r+1}+\mathcal{C}, \ r\in \mathbb{R}\setminus \left \{ -1 \right \},\ u(I)\subset (0,+\infty)
4.\int a^{u(x)}\cdot {u}'(x)\ \mathrm{dx}=\displaystyle\frac{a^{u(x)}}{\ln a}+\mathcal{C}, \ a\in (0,+\infty)\setminus \left \{ -1 \right \}
5.\int \displaystyle\frac{{u}'(x)}{u(x)}\ \mathrm{dx}=\ln\left | u(x) \right |+\mathcal{C}, \ u(x)\neq 0,\ x\in I
6.\int \displaystyle\frac{{u}'(x)}{u^2(x)-a^2}\ \mathrm{dx}=\displaystyle\frac{1}{2a}\ln\left | \displaystyle\frac{u(x)-a}{u(x)+a} \right |+\mathcal{C}, \ u(x)\neq \pm a,\ \forall\ x\in I, \ a\neq 0
7.\int \displaystyle\frac{{u}'(x)}{u^2(x)+a^2}\ \mathrm{dx}=\displaystyle\frac{1}{a} arctg \displaystyle\frac{u(x)}{a}+\mathcal{C}, \ a\neq 0
8.\int \sin u(x)\cdot {u}'(x)\ \mathrm{dx}=-\cos u(x)+\mathcal{C}
9.\int \cos u(x)\cdot {u}'(x)\ \mathrm{dx}=\sin u(x)+\mathcal{C}
10.\int tg\ u(x)\cdot {u}'(x)\ \mathrm{dx}=-\ln\left | \cos u(x) \right |+\mathcal{C},\ u(x)\neq (2k+1)\displaystyle\frac{\pi}{2},\ k\in\mathbb{Z}, \ x\in I
11.\int ctg\ u(x)\cdot {u}'(x)\ \mathrm{dx}=\ln\left | \sin u(x) \right |+\mathcal{C},\ u(x)\neq k\pi,\ k\in\mathbb{Z}, \ x\in I
12.\int \displaystyle\frac{{u}'(x)}{\cos^2u(x)}\ \mathrm{dx}=tg\ u(x)+\mathcal{C}, \ u(x)\neq (2k+1)\displaystyle\frac{\pi}{2},\ k\in\mathbb{Z},\ x\in I
13.\int \displaystyle\frac{{u}'(x)}{\sin^2u(x)}\ \mathrm{dx}=-ctg\ u(x)+\mathcal{C}, \ u(x)\neq k\pi,\ k\in\mathbb{Z},\ x\in I
14.\int \displaystyle\frac{{u}'(x)}{\sqrt{a^2-u^2(x)}}\ \mathrm{dx}=\arcsin \displaystyle\frac{u(x)}{a}+\mathcal{C}, \ a> 0,\ u(I)\subset (-a,a)
15.\int \displaystyle\frac{{u}'(x)}{\sqrt{u^2(x)-a^2}}\ \mathrm{dx}=\ln\left | u(x)+\sqrt{u^2(x)-a^2} \right |+\mathcal{C}, \ a> 0,\ u(I)\subset (-\infty,a) sau u(I)\subset (a,+\infty)
16.\int \displaystyle\frac{{u}'(x)}{\sqrt{u^2(x)+a^2}}\ \mathrm{dx}=\ln \left [u(x)+\sqrt{u^2(x)+a^2} \right ]+\mathcal{C}, \ a\neq 0

În general are lor următoarea teoremă:

Teorema CI13: Formula de schimbare de variabilă 

Fie intervalele I,J\subset \mathbb{R} și funcțiile I\overset{u}{\longrightarrow} J\overset{f}{\longrightarrow}\mathbb{R} care îndeplinesc proprietățile:

  1. funcția u:I\to J este o funcție derivabilă pe intervalul I;
  2. funcția f:J\to\mathbb{R} este o funcție care admite primitive pe intervalul J.

Dacă funcția F este o primitivă a funcției f, atunci funcția compusă \left (f\circ u \right )\cdot {u}' este o funcție care admite primitive pe intervalul I și are loc următoarea egalitate:

\int f\big(u(x)\big)\cdot {u}'(x)\ \mathrm{dx}= F\circ u+\mathcal{C}.

Exerciții rezolvate:

Să se calculeze următoarele integrale nedefinite:

  1. \int x^4(1-x^5)^5\ \mathrm{dx}, oricare ar fi x\in\mathbb{R};
  2. \int \displaystyle\frac{2x-5}{x^2-5x+7}\ \mathrm{dx}, oricare ar fi x\in\mathbb{R};
  3. \int \displaystyle\frac{x}{x^2+9}\ \mathrm{dx}, oricare ar fi x\in\mathbb{R}.

Rezolvare:

  1. Calculăm \int x^4(1-x^5)^5\ \mathrm{dx}.

Observăm că dacă u(x)=1-x^5, atunci prin derivare se obține:

\begin{align*} {u}'(x)&= {\left(1-x^5 \right )}'\\\\ &={1}'-{(x^5)}'\\\\&=0-5x^4\\\\&=-5x^4 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow {u}'(x)&-5x^4 \end{align*}.

Pentru a calcula integrala nedefinită dată facem următorul artificiu de calcul: observăm că \begin{align*} {u}'(x)&=-5x^4 \end{align*}, dar în integrală avem doar \begin{align*} x^4 \end{align*}, așadar înmulțim integrala cu \begin{align*} -\frac{1}{5} \end{align*} și astfel obținem:

\begin{align*} \int x^4\left ( 1-x^5 \right )^5\ \mathrm{dx}&=-\frac{1}{5}\int {u}'(x)\cdot u^5(x)\ \mathrm{dx}\\\\&=-\frac{1}{5}\int (-5x^4)\cdot \left ( 1-x^5 \right )^5 \mathrm{dx}\\\\ &=-\frac{1}{5}\cdot \displaystyle\frac{(1-x^5)^{5+1}}{5+1}+\mathcal{C}\\\\ &=-\frac{1}{5}\cdot \displaystyle\frac{(1-x^5)^{6}}{6}+\mathcal{C}\\\\ &=-\displaystyle\frac{(1-x^5)^{6}}{30}+\mathcal{C} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \int x^4\left ( 1-x^5 \right )^5\ \mathrm{dx}&=-\displaystyle\frac{(1-x^5)^{6}}{30}+\mathcal{C}. \end{align*}

Pentru a rezolva acest exercițiu am folosit, din tabelul de mai sus, formula 2. \int {u}^n(x)\cdot {u}'(x)\ \mathrm{dx}=\displaystyle\frac{u^{n+1}(x)}{n+1}+\mathcal{C}, \ n\in \mathbb{N}, pentru n=5.

  1. Calculăm \int \displaystyle\frac{2x-5}{x^2-5x+7}\ \mathrm{dx}.

Dacă u(x)=x^2-5x+7, atunci:

\begin{align*} {u}'(x)&= {\left(x^2-5x+7 \right )}'\\ \\&={(x^2)}'-{(5x)}'+{7}'\\\\&=2x^{2-1}-5\cdot 1+0\\\\&=2x-5 \end{align*}

\begin{align*}\Leftrightarrow {u}'(x)&=2x-5 \end{align*}.

Integrala nedefinită dată devine:

\begin{align*} \int \displaystyle\frac{2x-5}{x^2-5x+7}\ \mathrm{dx}&=\int \displaystyle\frac{{u}'(x)}{u(x)}\ \mathrm{dx}\\\\&=\ln\left | u(x) \right |+\mathcal{C}\\\\ &=\ln\left | x^2-5x+7 \right |+\mathcal{C} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \int \displaystyle\frac{2x-5}{x^2-5x+7}\ \mathrm{dx}&=\ln\left | x^2-5x+7 \right |+\mathcal{C}. \end{align*}

Am folosit, așa cum ai putut observa, formula 5. din tabelul de mai sus.

  1. Calculăm \int \displaystyle\frac{x}{x^2+9}\ \mathrm{dx}.

Fie u(x)=x^2+9.

Dacă derivăm se obține:

\begin{align*} {u}'(x)&= {\left(x^2+9 \right )}'\\\\ &={(x^2)}'+{9}'\\\\&=2x^{2-1}+0\\\\&=2x \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow {u}'(x)&=2x \end{align*}.

Pentru a calcula integrala nedefinită dată facem următorul artificiu de calcul: observăm că \begin{align*} {u}'(x)&=2x \end{align*}, dar în integrală avem doar \begin{align*} x \end{align*}, așadar înmulțim integrala cu \begin{align*}\frac{1}{2} \end{align*}.

Se obține:

\begin{align*} \int \displaystyle\frac{x}{x^2+9}\ \mathrm{dx}&=\frac{1}{2}\int \displaystyle\frac{{u}'(x)}{u^2(x)+a^2}\ \mathrm{dx}\\\\&=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{a}\cdot arctg\ \frac{u(x)}{a} +\mathcal{C}\\\\ &=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot arctg\ \frac{x^2+9}{3} +\mathcal{C}\\\\ &=\frac{1}{6}\cdot arctg\ \frac{x^2+9}{3} +\mathcal{C}\\ \end{align*}

\begin{align*}\Leftrightarrow \int \displaystyle\frac{x}{x^2+9}\ \mathrm{dx}&=\frac{1}{6}\cdot arctg\ \frac{x^2+9}{3} +\mathcal{C}. \end{align*}

Am folosit, așa cum ai putut observa, formula 7. din tabelul de mai sus.

  • Primitive deduse din formula de derivare a produsului a două funcții

Fie intervalul \begin{align*} I\subset \mathbb{R} \end{align*} și funcțiile derivabile \begin{align*}f,g:I\to\mathbb{R} \end{align*}, care au derivatele continue. 

Din secțiunea Operații cu funcții derivabile, din cadrul ghidului Funcții derivabile  avem că {f\cdot g}'={f}'\cdot g+f\cdot {g}'.

Din această relație ne rezultă că f\cdot g este o primitivă a funcției {f}'\cdot g+f\cdot {g}', iar mulțimea primitivelor verifică egalitatea:

\int \big[ {f}'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot {g}'(x) \big] \mathrm{dx}=f(x)\cdot g(x)+\mathcal{C}

sau

\int {f}'(x)\cdot g(x)\ \mathrm{dx} +\int f(x)\cdot {g}'(x)\ \mathrm{dx}=f(x)\cdot g(x)+\mathcal{C},

de unde obținem că:

\int f(x)\cdot {g}'(x)\ \mathrm{dx}=f(x)\cdot g(x)-\int {f}'(x)\cdot g(x)\ \mathrm{dx}.

Definiția CI14: Formula de integrare prin părți 

Formula \int f(x)\cdot {g}'(x)\ \mathrm{dx}=f(x)\cdot g(x)-\int {f}'(x)\cdot g(x)\ \mathrm{dx} se numește formula de integrare prin părți.

Pentru a folosi această formulă trebuie să ții cont de următoarele:

1) Formulele se utilizează pentru aflarea primitivelor unor funcții produs.

2) Alegerea ”părților”: f,{g}' sau {f}',g.

3) Integrala de după egal trebuie să fie mai simplă decât integrala de la care s-a pornit (cea de dinainte de egal).

Exerciții rezolvate:

  1. Să se calculeze \int x^3\ln x\ \mathrm{dx}.

Rezolvare:

Alegem ”părțile”: f(x)=\ln x, iar {g}'(x)=x^3.

Atunci avem:

\rightarrow din f(x)=\ln x, prin derivare se obține: {f}'(x)={(\ln x)}'=\frac{1}{x};

\rightarrow din {g}'(x)=x^3, prin integrare se obține: g(x)=\int x^3\ \mathrm{dx}=\frac{x^4}{4}+\mathcal{C}.

Calculăm integrala nedefinită, folosind formula de integrare prin părți:

\begin{align*} \int x^3\ln x\ \mathrm{dx}&=f(x)\cdot g(x)-\int {f}'(x)\cdot g(x)\ \mathrm{dx}\\\\ &=\frac{x^4}{4}\cdot \ln x-\int \displaystyle\frac{1}{x}\cdot \frac{x^4}{4}\ \mathrm{dx}\\\\&= \frac{x^4}{4}\cdot \ln x-\int \displaystyle\frac{x^3}{4}\ \mathrm{dx}\\\\&= \frac{x^4}{4}\cdot \ln x-\frac{1}{4}\int x^3\ \mathrm{dx}\\ \\&=\frac{x^4}{4}\cdot \ln x-\frac{1}{4}\cdot \frac{x^4}{4}+\mathcal{C}\\ \\&=\frac{x^4}{4}\left ( \ln x-\frac{1}{4}\ \right )+\mathcal{C} \end{align*}

\begin{align*}\Leftrightarrow \int x^3\ln x\ \mathrm{dx}&=\frac{x^4}{4}\left ( \ln x-\frac{1}{4}\ \right )+\mathcal{C}. \end{align*}

Verificare:

\begin{align*} {\left [\frac{x^4}{4}\left ( \ln x-\frac{1}{4}\ \right ) \right ]}'&=\frac{4x^3}{4}\left ( \ln x-\frac{1}{4}\ \right ) +\frac{x^4}{4}\cdot \frac{1}{x}\\\\ &=\frac{4x^3}{4}\cdot \ln x-\frac{4x^3}{x}\cdot\frac{1}{4}+\frac{x^3}{4}\\\\ &=x^3\ln x-\frac{x^3}{4}+\frac{x^3}{4}\\\\ &=x^3\ln x \end{align*}

  1. Să se calculeze integrala nedefinită \begin{align*} \int (x+1)\cos x\ \mathrm{dx}, \end{align*} cu \begin{align*} x\in\mathbb{R} \end{align*}, folosind formula de integrare prin părți.

Rezolvare:

Stabilim care sunt părțile:

\begin{align*}f(x)=(x+1)\overset{{}'}{\Rightarrow} {f}'(x)=1 \end{align*};

\begin{align*}{g}'(x)=\cos x \overset{\int }{\Rightarrow} g(x)=\sin x\end{align*}.

Calculăm acum integrala nedefinită dată:

\begin{align*} \int (x+1)\cos x\ \mathrm{dx}&=(x+1)\cdot \sin x-\int 1\cdot \sin x\ \mathrm{dx}\\\\ &=(x+1)\cdot \sin x+\cos x+\mathcal{C} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \int (x+1)\cos x\ \mathrm{dx}&=(x+1)\cdot \sin x+\cos x+\mathcal{C}. \end{align*}

Verificare:

\begin{align*} { \big[(x+1)\cdot \sin x+\cos x \big]}'&={(x+1)}'\cdot \sin x+(x+1)\cdot {(\sin x)}'+{(\cos x)}'\\\\&=1\cdot \sin x+(x+1)\cdot \cos x-\sin x\\\\ &=(x+1)\cos x \end{align*}

Proprietăți ale integralei nedefinite

În cele ce urmează ți se vor prezenta câteva proprietăți ale integralei nedefinite.

  • Proprietatea de aditivitate a integralei nedefinite

Fie intervalul I\subset \mathbb{R} și două funcții f,g:I\to \mathbb{R} care admit primitive pe intervalul I.

Teorema CI7: Proprietatea de aditivitate 

Dacă funcțiile f,g:I\to \mathbb{R} admit primitive pe intervalul I, atunci funcția sumă f+g:I\to \mathbb{R} admite primitive pe intervalul I și are loc următoarea egalitate:

\int \big[ f(x)+g(x) \big] \mathrm{dx}=\int f(x)\ \mathrm{dx}+\int g(x)\ \mathrm{dx}.

Teorema CI8:

Dacă avem funcția f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} care admite primite pe intervalul I și scalarul \lambda \in\mathbb{R}, atunci funcția \lambda f admite primitive pe intervalul I, iar pentru \lambda \neq 0 are loc egalitatea:

\int (\lambda f)\ \mathrm{dx}=\lambda \int f(x)\ \mathrm{dx}.

Observații:

  1. Dacă \lambda =0 în Teorema CI8, atunci egalitatea din această teoremă nu este adevărată. Într-adevăr, în acest caz, pentru \lambda =0, egalitatea se va scrie astfel: \int (\lambda f)(x)\ \mathrm{dx}=\int 0\ \mathrm{dx}=\mathcal{C}, iar \lambda \int f(x)\ \mathrm{dx}=0\cdot \int f(x)\ \mathrm{dx}=\left \{ 0 \right \}, de unde se observă că acestea nu sunt egale.
  2. Dacă \lambda \in \mathbb{R}\setminus\left \{ 0 \right \}, atunci are loc egalitatea: \int (\lambda f)\ \mathrm{dx}=\lambda \int f(x)\ \mathrm{dx}+\mathcal{C}.
  • Proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite

Fie funcțiile f,g:I\to \mathbb{R} care admit primitive pe intervalul I și numerele nesimultan nule \alpha ,\beta \in\mathbb{R} (adică \alpha și \beta nu pot lua valoarea 0 în același timp).

Teorema CI9: Proprietatea de liniaritate 

Dacă funcțiile f,g:I\to \mathbb{R} admit primitive pe intervalul I, atunci funcția  \alpha f+\beta g admite primitive pe intervalul I și are loc egalitatea:

\int (\alpha f+\beta g)\ \mathrm{dx}=\alpha \int f(x)\ \mathrm{dx}+\beta \int g(x)\ \mathrm{dx}.

Exercițiu rezolvate:

Să se determine mulțimea primitivelor următoarelor funcții, folosind proprietățile integralei nedefinite și tabelul de integrale nedefinite:

  1. f(x)+g(x), unde f(x)=x^2 și g(x)=\frac{1}{x}, pentru x\in \mathbb{R}^\ast;
  2. f(x)=-7x^6, cu x\in \mathbb{R};
  3. f(x)=3x^2+2x-5, cu x\in \mathbb{R}.

Rezolvare:

  1. Pentru a rezolva acest exercițiu ne folosim de Teorema CI7: Proprietatea de aditivitate și formulele 1. și 4. din primul tabel de integrale nedefinite din pagina anterioară.

Avem:

\begin{align*} \int \left ( f(x)+g(x) \right )\mathrm{dx}&=\int \left ( x^2+\frac{1}{x} \right )\mathrm{dx}\\\\&=\int x^2\mathrm{dx}+\int \frac{1}{x}\mathrm{dx}\\\\&=\frac{x^{2+1}}{2+1}+\ln\left | x \right |+\mathcal{C}\\\\&=\frac{x^{3}}{3}+\ln\left | x \right |+\mathcal{C} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \int \left ( f(x)+g(x) \right )\mathrm{dx}\&=\frac{x^{3}}{3}+\ln\left | x \right |+\mathcal{C}. \end{align*}

  1. Acest exercițiu se rezolvă folosind Teorema CI9: Proprietatea de liniaritate a integralei și formula numărul 1. din primul tabel de integrale nedefinite al paginii anterioare .

Astfel, avem:

\begin{align*} \int f(x)\mathrm{dx}&=\int \left ( -7x^6 \right )\mathrm{dx}\\\\&=-7\int x^6\mathrm{dx}\\\\&=-7\cdot \frac{x^{6+1}}{6+1}+\mathcal{C} \\\\ &=-7\cdot \frac{x^7}{7}+\mathcal{C} \\\\ &=-x^7+\mathcal{C} \end{align*}

\begin{align*}\Leftrightarrow \int f(x)\mathrm{dx}&=-x^7+\mathcal{C} .\end{align*}

  1. Rezolvarea acestui exercițiu se face folosind simultan Teorema CI7: Proprietatea de aditivitate, Teorema CI9: Proprietatea de liniaritate a integralei și formula numărul 1. din primul tabel de integrale nedefinite al paginii anterioare .

Avem:

\begin{align*} \int f(x)\ \mathrm{dx}&=\int \left ( 3x^2+2x-5 \right ) \mathrm{dx}\\ \\&=\int 3x^2\ \mathrm{dx}+\int 2x\ \mathrm{dx}-\int 5\ \mathrm{dx}\\\\ &=3\int x^2\ \mathrm{dx}+2\int x\ \mathrm{dx}-5\int 1\ \mathrm{dx}\\\\ &=3\cdot \displaystyle\frac{x^{2+1}}{2+1}+2\cdot \displaystyle\frac{x^{1+1}}{1+1}-5\cdot x+\mathcal{C}\\\\ &=3\cdot \displaystyle\frac{x^{3}}{3}+2\cdot \displaystyle\frac{x^{2}}{2}-5\cdot x+\mathcal{C}\\\\ &=x^3+x^2-5x+\mathcal{C} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \int f(x)\ \mathrm{dx}&=x^3+x^2-5x+\mathcal{C}. \end{align*}

  • Condiții ca o funcție să admită primitive

Corolar CI10: Continuitate și primitive 

Dacă funcția f:I\to \mathbb{R} este o funcție continuă pe intervalul I, atunci putem spune că funcția f admite primitive pe intervalul I. (nu și reciproc)

Corolar CI11: Puncte de discontinuitate de prima speță și primitive 

O funcție care are puncte de discontinuitate de prima speță nu admite primitive.

Reamintim din secțiunea Puncte de discontinuitate, din cadrul ghidul Funcții continue, că un punct x_0 este un punct de discontinuitate de prima speță, dacă limitele laterale ale funcției date în punctul x_0 sunt finite și diferite.

Corolar CI12: Proprietatea lui Darboux și primitive 

Dacă o funcție nu are proprietatea lui Darboux pe un interval, atunci acea funcție nu admite primitive pe acel interval.

Reamintim din secțiunea Proprietăți ale funcțiilor continue, din cadrul ghidul Funcții continue, că o funcție are proprietatea lui Darboux dacă duce un interval într-un interval.

Avem următoarea diagramă, care arată relația dintre continuitate, proprietatea lui Darboux și primitivabilitate:

Exemple:

  1. Funcția f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\begin{cases} \displaystyle\frac{5x-2}{3},\ x\geq 0\\\\- \displaystyle\frac{2}{3}, \ x< 0 \end{cases} este continuă pe intervalele (-\infty,0) și (0,+\infty), fiind compusă din funcții elementare. Funcția f este continuă în punctul x_0=0, deoarece l_s(0)=l_d(0)=f(0)=-\displaystyle\frac{2}{3}

Ne rezultă că funcția f este continuă pe \mathbb{R}. Atunci, conform Corolarului CI10: ( Continuitate și primitive ), ne rezultă că funcția f admite primitive pe \mathbb{R}.

  1. Avem funcția f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\begin{cases} 2x+2,\ x\leq 2\\ 3x-2,\ x> 2 \end{cases}, care are ca și punct de discontinuitate de prima speță punctul \begin{align*} x_0=2 \end{align*} (acest lucru este demonstrat în secțiunea Puncte de discontinuitate, din cadrul ghidul Funcții continue). Conform Corolarului CI11: ( Puncte de discontinuitate de prima speță și primitive ) ne rezultă că funcția dată nu dmite primitive.
  2. Fie funcția f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\left [ x \right ]. Avem că f(\mathbb{R})=\mathbb{Z}\neq \mathbb{R}, de unde obținem că funcția f nu are proprietatea lui Darboux, de unde, conform Corolarului CI12: Proprietatea lui Darboux și primitive, ne rezultă că funcția f nu admite primitive.