Aplicații ale integralei definite

Cuprins

Aria unei suprafețe plane
- Aria unei suprafețe plane
- Aria suprafețelor plane cuprinse între două curbe
Volumul unui corp de rotație
Calculul unor limite de șiruri folosind integrala definită

Aria unei suprafețe plane

În acest paragraf se va defini noțiunea de „mulțime care are arie” și se va arăta că dacă avem funcția continuă $f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}_+$ , atunci subgraficul ei $\Gamma _f=\left \{ (x,y)\in\mathbb{R}\times \mathbb{R} \ \big|\ a\leq x\leq b,\ 0\leq y\leq f(x) \right \}$ este o mulțime care are arie, iar aria acesteia se va calcula cu ajutorul unei integrale definite.

Aria unei suprafețe plane

Înainte de a vedea cum se află aceste noțiuni, introducem următoarea definiție:

Definiția CI43: Mulțime elementară

Se numește mulțime elementară, o mulțime $E\subset \mathbb{R}\times \mathbb{R}$ , dacă $E=\bigcup_{i=1}^{n}D_i \ (1)$ , unde D_i sunt reprezentate de suprafețele dreptunghiulare cu laturile respectiv paralele cu axele de coordonate, iar oricare două astfel de suprafețe, dar diferite, D_i, D_j , au interioarele disjuncte.

Prin definiție, vom avea că $aria(E)=\sum_{i=1}^{n}aria(D_i).$

Definiția CI44: Mulțime care are arie

Fie o mulțime mărginită din plan.

Spunem că mulțimea are arie, dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:

există două șiruri de mulțimi elementare, astfel încât să aibe loc incluziunile: $E_n\subset A\subset F_n,$ oricare ar fi $n\in\mathbb{N}$ ;
șirurile de numere reale pozitive $\big( aria(E_n) \big)$ și $\big( aria(F_n) \big)$ sunt convergente și are loc egalitatea: $\lim_{n\to+\infty} aria(E_n)=\lim_{n\to+\infty} aria(F_n).$

Putem astfel defini aria mulțimii astfel:

$aria(A)=\lim_{n\to+\infty} aria(E_n)=\lim_{n\to+\infty} aria(F_n).$

Având introduse aceste noțiuni, în cele ce urmează, ți se va putea arăta când o mulțimea plană mărginită oarecare are arie și cum se calculează aceasta.

Teorema CI45: Aria subgraficului unei funcții continue și pozitive

Fie funcția continuă și pozitivă $f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}.$

Atunci:

mulțimea $\Gamma _f=\left \{ (x,y)\in\mathbb{R}\times \mathbb{R} \ \big|\ a\leq x\leq b,\ 0\leq y\leq f(x) \right \}$ are arie;
$aria(\Gamma _f)=\int_{a}^{b}f(x)\ \mathrm{dx}.$

Exercițiu rezolvat:

Să se determine aria mulțimii $\Gamma _f_i,$ cu $i=\overline{1,3}$ , în cazurile:

$f_1(x)=3x-4,\ x\in\left [ 2,3 \right ];$
$f_2(x)=\cos x,\ x\in\left [ 0,\frac{\pi}{2} \right ];$
$f_3(x)=xe^x,\ x\in\left [ 0,1 \right ].$

Rezolvare:

Calculăm aria subgrafului funcției .

$\begin{align*} aria (\Gamma _f_1)&=\int_{2}^{3}f_1(x)\ \mathrm{dx}\\\\&=\int_{2}^{3}(3x-4)\ \mathrm{dx}\\\\&=3\int_{2}^{3}x\ \mathrm{dx}-4\int_{2}^{3}1\ \mathrm{dx}\\\\ &=3\cdot \frac{x^2}{2}\ \Big|_{2}^{3}-4\cdot x\ \Big|_{2}^{3}\\\\ &=3\cdot \left ( \frac{3^2}{2}-\frac{2^2}{2} \right )-4\cdot (3-2)\\\\&=3\cdot \frac{9-4}{2}-4\cdot 1\\\\&=\frac{3\cdot 5}{2}-4\\\\&=\frac{15-2\cdot 4}{2}\\\\&=\frac{15-8}{2}\\\\&=\frac{7}{2} \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow aria (\Gamma _f_1)&=\frac{7}{2}. \end{align*}$

Aria acestui subgraf este reprezent...