Integrala definită

Diviziuni ale unui interval

Fie intervalul închis și mărginit format din numere reale și notat astfel [ a,b ].

Definiția CI15: Diviziunea și elementele sale

Un sistem finit de puncte, notat cu  \Delta =(x_0,x_1,x_2,\dotsc,x_{n-1},x_n), astfel încât  a=x_0< x_1< x_2< \dotsc< x_{n-1}< x_n=b se numește diviziune a intervalului [ a,b ]

Punctele  x_0, x_1,x_2, \dotsc, x_{n-1}, x_n  se numesc puncte de diviziune sau nodurile diviziunii \Delta, iar intervalele  \left [x_0, x_1 \right ],\left [x_1,x_2 \right ], \dotsc, \left [x_{n-1}, x_n \right ]  se numesc intervale de diviziune.

Definiția CI16: Sistem de puncte intermediare 

Se numește sistem de puncte intermediare asociat diviziunii \Delta sistemul de puncte notat cu  \xi =\left ( \xi _1,\xi _2,\dotsc, \xi _n\right ), cu \xi_i\in\left [ x_{n-1},x_n \right ].

Exemplu:

Fie intervalul \left [ 0,2 \right ].

Sistemele finite de puncte \Delta _1=(0,2),\ \Delta _2= (0,1,2),\ \Delta _3=\left ( 0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2 \right ),\dotsc sunt diviziuni ale intervalului \left [ 0,2 \right ].

Sistemele \xi _1=\left ( \frac{1}{2},\frac{5}{4} \right ) și \xi _2=\left ( \frac{7}{12},\frac{2}{3},1, \frac{7}{4} \right ) sunt sisteme de puncte intermediare asociate diviziunilor \Delta _2, respectiv diviziunii \Delta _3.

Observații:

  • Diviziunile din exemplul dat, ca mulțimi de puncte, au proprietatea că \Delta _1\subset \Delta _2\subset \Delta _3.
  • Dacă \Delta _i, \Delta _j sunt două diviziuni ale intervalului \left [ a,b \right ] și îndeplinesc condiția \Delta _i\subset \Delta _j, atunci se spune că diviziunea \Delta _j este mai fină decât diviziunea \Delta _i. Pentru exemplul dat se poate spune că diviziunea \Delta _2 este mai fină decât diviziunea \Delta _1, iar diviziunea \Delta _3 este mai fină decât diviziunea \Delta _2.

Definiția CI17: Norma unei diviziuni 

Fie  \Delta =(x_0,x_1,x_2,\dotsc,x_{n-1},x_n)  o diviziune a intervalului  [ a,b ].

Se numește norma diviziunii \mathit{\Delta } cea mai mare dintre lungimile intervalelor de diviziune  \left [x_0, x_1 \right ],\left [x_1,x_2 \right ], \dotsc, \left [x_{n-1}, x_n \right ].

Se notează cu \left \| \Delta \right \|\overset{def.}{=} \max_{1\leq i\leq n} \left ( x_i-x_{i-1} \right ).

Exemplu:

Pentru exemplul dat mai sus, avem \left \| \Delta_1 \right \|=2,\ \left \| \Delta _2 \right \|=1,\ \left \| \Delta _3 \right \|=\frac{1}{2}, etc.

Observație:

Diviziunea  \Delta =(x_0,x_1,x_2,\dotsc,x_{n-1},x_n) a intervalului  [ a,b ] se numește diviziune echidistantă dacă toate intervalele de diviziune  \left [x_0, x_1 \right ],\left [x_1,x_2 \right ], \dotsc, \left [x_{n-1}, x_n \right ] au aceeași lungime. Se notează cu  \left \| \Delta \right \|=\frac{b-a}{n}.

Sume Riemann

Fie obiectele matematice:

  1. intervalul închis și mărginit  \left [ a,b \right ]\subset \mathbb{R};
  2. funcția f:\left [ a,b \right ]\to \mathbb{R};
  3. diviziunea \Delta =(x_0,x_1,x_2,\dotsc,x_{n-1},x_n) a intervalului [ a,b ];
  4. sistemul de puncte intermediare \xi =\left ( \xi _1,\xi _2,\dotsc, \xi _n\right ) asociat diviziunii \Delta.

Definiția CI8: Sumă Riemann

Se numește sumă Riemann (sau sumă integrală) asociată funcției f, diviziunii \Delta și sistemului de puncte intermediare \xi, numărul real \sigma _\Delta \left ( f,\xi \right )=\sum_{i=1}^{n}f(\xi _i)\cdot (x_i-x_{i-1}).

Exemple:

  • Dacă avem funcția f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=c, atunci orice sumă Riemann asociată acestei funcții este egală cu c(b-a).
  • Dacă avem funcția f:\left [ 0,2 \right ]\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x+2, diviziunea \Delta =\left ( 0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2 \right ) și sistemul de puncte intermediare \xi =\left ( 0,\frac{2}{3},1, \frac{7}{4} \right ), atunci suma Riemann este:

\begin{align*} \sigma _\Delta (f,\xi )&=\sum_{i=1}^{4}f(\xi _i)\cdot (x_i-x_{i-1})\\\\ &=f(0)\cdot \left ( \frac{1}{2}-0 \right )+f\left ( \frac{2}{3} \right )\cdot \left ( 1-\frac{1}{2} \right )+f(1)\cdot \left ( \frac{3}{2}-1 \right )+f\left ( \frac{7}{4} \right )\cdot \left ( 2-\frac{3}{2} \right )\\\\ &=(0+2)\cdot \frac{1}{2}+\left ( \frac{2}{3}+2 \right )\cdot \frac{1}{2}+(1+2)\cdot \frac{1}{2}+\left ( \frac{7}{4}+2 \right )\cdot \frac{1}{2}\\\\ &=\frac{2}{2}+\frac{7}{3}\cdot \frac{1}{2}+\frac{3}{2}+\frac{15}{4}\cdot \frac{1}{2}\\\\ &=1+\frac{7}{6}+\frac{3}{2}+\frac{15}{8}\\\\ &=\displaystyle\frac{24\cdot 1+4\cdot 7+12\cdot 3+15\cdot 3}{24}\\\\ &=\frac{24+28+36+45}{24}\\\\&=\frac{133}{24} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \sigma _\Delta (f,\xi )&=\frac{133}{24}. \end{align*}

Integrabilitatea unei funcții pe un interval

Fie funcția continuă \begin{align*} f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \left [ 0,+\infty \right ), \ \Delta =(x_0,x_1,\dotsc,x_n) \end{align*} o diviziune a intervalului pe care funcția \begin{align*} f \end{align*} este definită, iar \xi =\left ( \xi _1,\xi _2,\dotsc, \xi _n\right ) un sistem de puncte intermediare asociat diviziunii \Delta.

Avem următoarea figură:

Definiția CI19: Subgraficul unei funcții 

Se numește subgraficul funcției fmulțimea de puncte din plan delimitată de curba y=f(x), axa Ox și dreptele x=a, respectiv x=b.

Această mulțime se notează cu: 

\Gamma _f=\left \{ (x,y)\in \mathbb{R}^2\ \big|\ a\leq x\leq b, 0\leq y\leq f(x) \right \}.

Pe graficul de mai sus, se observă că suma Riemann asociată funcției f, diviziunii \Delta și sistemului de puncte intermediare \xi reprezintă suma ariilor suprafețelor dreptunghiulare (hașurate cu gri), având baza (x_i-x_{i-1}) și înălțimea f(\xi_i), cu 1\leq i\leq n.

Cu alte cuvinte, numărul \begin{align*} \sigma _\Delta (f,\xi ) \end{align*} realizează o aproximare a ariei subgraficului \begin{align*} \Gamma _f \end{align*} al funcției \begin{align*} f \end{align*}.

  • Integrabilitatea unei funcții pe un interval închis

Fie intervalul închis \begin{align*} \left [ a,b \right ] \end{align*}, cu \begin{align*} a,b\in \mathbb{R} \end{align*} și \begin{align*} a< b \end{align*}.

Definiția CI20: Funcția integrabilă Riemann

Funcția \begin{align*}f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R} \end{align*} se numește funcție integrabilă Riemann (sau, mai simplu, funcție integrabilă) pe intervalul închis  \begin{align*}\left [ a,b \right ] \end{align*}, dacă există un număr real \begin{align*} I \end{align*} astfel încât pentru orice șir  \begin{align*} (\Delta _n) \end{align*} de diviziuni ale intervalului  \begin{align*}\left [ a,b \right ] \end{align*}, notat cu  \begin{align*} \Delta _n=\left ( x_0^{(n)},x_1^{(n)},\dotsc,x_{k_n-1}^{(n)},x_{k_n}^{(n)} \right ), \end{align*} având limita normei nulă \begin{align*} \left ( \lim_{n\to+\infty}\left \| \Delta _n \right \| =0\right ) \end{align*} și orice șir de puncte intermediare  \begin{align*} \xi ^{(n)}=\left ( \xi_1^{(n)},\xi_2^{(n)},\dotsc,\xi_{k_n-1}^{(n)},\xi_{k_n}^{(n)} \right ), \end{align*} cu proprietatea că  \begin{align*} x_{i-1}^{(n)}\leq \xi_{i}^{(n)}\leq x_{i}^{(n)} , \end{align*} \begin{align*} 1\leq i\leq k_n,\ n\in \mathbb{N}, \end{align*} șirul de sume integrale corespunzător este convergent către \begin{align*} I \end{align*}.

Definiția CI21: ( Integrala definită )

Numărul real \begin{align*} I \end{align*} se numește integrala definită (integrala) funcției \begin{align*} f \end{align*} pe intervalul  \begin{align*}\left [ a,b \right ] \end{align*}.

Se notează astfel \begin{align*} \int_{a}^{b} f(x)\ \mathrm{dx} \end{align*} și se citește „integrală de la \begin{align*} a \end{align*} la \begin{align*} b \end{align*} din \begin{align*} f(x)\ \mathrm{dx} \end{align*}”.

Atunci, avem că I=\lim_{n\to+\infty}\sigma _{\Delta _n}\left ( f,\xi ^{(n)} \right )=\int_{a}^{b}f(x)\ \mathrm{dx}.

Definiția CI22: Elementele integralei definite 

Simbolul  \intse numește semnul de integrare ( sau semnul integralei ), numerele \begin{align*} a \end{align*} și \begin{align*} b \end{align*} se numesc limite ( sau capete de integrare ), unde a este limita de integrare inferioară, iar \begin{align*} b \end{align*} este limita de integrare superioară. Intervalul  \begin{align*}\left [ a,b \right ] \end{align*} se numește interval de integrare. Funcția \begin{align*} f \end{align*} se numește funcția de integrat, iar x se numește variabila de integrare.

Observații:

  • Variabila de integrare se poate nota cu orice literă, de exemplu putem avea: \int_{a}^{b}f(x)\ \mathrm{dx}= \int_{a}^{b}f(t)\ \mathrm{dt}= \int_{a}^{b}f(u)\ \mathrm{du}=\int_{a}^{b}f(s)\ \mathrm{ds} etc.
  • Această variabilă de integrare este independentă de capetele de integrare, cu alte cuvinte este incorect să scriem \int_{a}^{b}f(a)\ \mathrm{da} sau \int_{a}^{b}f(b)\ \mathrm{db}.
  • Numărul \int_{a}^{b}f(x)\ \mathrm{dx} este unic determinat, limita unui șir convergent de numere reale fiind unică. 
  • Diferența dintre integrala nedefinită și integrala definită este aceea că integrala nedefinită a funcției f pe intervalul \begin{align*}\left [ a,b \right ] \end{align*} este o mulțime de funcții (mulțimea primitivelor funcției f pe intervalul \begin{align*}\left [ a,b \right ] \end{align*} ), pe când integrala definită a unei funcții integrabile pe un interval \begin{align*}\left [ a,b \right ] \end{align*} este un număr real.

Definiția CI23: Relații ale funcției integrabile 

Dacă funcția f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R} este o funcție integrabilă, atunci, prin definiție avem că \int_{a}^{b}f(x)\ \mathrm{dx}=-\int_{b}^{a}f(x)\ \mathrm{dx} și  \int_{a}^{b}f(x)\ \mathrm{dx}=0, dacă a=b.

Definiția CI24: Mărginirea funcției integrabile 

Orice funcție f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}  integrabilă pe intervalul  \begin{align*}\left [ a,b \right ] \end{align*} este mărginită, adică există  m,M\in \mathbb{R} astfel încât  m\leq f(x)\leq M, pentru orice  x\in\left [ a,b \right ].

Contrar, dacă funcția f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R} nu este mărginită, atunci funcția \begin{align*} f \end{align*} nu este integrabilă pe intervalul închis  \begin{align*}\left [ a,b \right ] \end{align*}.

Exemple:

  1. Funcția continuă de gradul întâi \begin{align*} f:\left [ -2,4 \right ]\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=5x-3 \end{align*} este mărginită și are zero puncte de discontinuitate, de unde ne rezultă că funcția \begin{align*} f \end{align*} este integrabilă pe intervalul \begin{align*}\left [ -2,4 \right ] \end{align*}.
  2. Funcția f:\left [ 0,2 \right ]\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\begin{cases} \displaystyle\frac{1}{x},\ x\in\left (0,2 \right ]\\ 2,\ x=0 \end{cases} este o funcție nemărginită, deoarece limita laterală la dreapta este:

\begin{align*} \lim_{\substack{x\to 0 \\ x> 0}}f(x) =\lim_{\substack{x\to 0 \\ x> 0}}\frac{1}{x}=+\infty .\end{align*}

De aici ne rezultă că funcția \begin{align*} f \end{align*} nu este integrabilă pe intervalul închis \begin{align*} \left [ 0,2 \right ] \end{align*}.

Exemplu de funcție integrabilă:

Funcția constantă \begin{align*} f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=c \end{align*} este o funcție integrabilă pe intervalul pe care funcția este definită și avem \begin{align*} \int_{a}^{b}f(x)\ \mathrm{dx}&=c(b-a). \end{align*}

Exemplu de funcție care nu este integrabilă:

Funcția lui Dirichlet \begin{align*} f:\left [ 0,2 \right ]\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\begin{cases} 1,\ x\in\left [ 0,2 \right ] \cap \mathbb{Q} \\ 0,\ x\in\left [ 0,2 \right ] \cap (\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})\end{cases} \end{align*} este o funcție mărginită, dar nu este integrabilă pe intervalul \begin{align*} \left [ 0,2 \right ] \end{align*} ( sau pe orice interval de forma \begin{align*} \left [ a,b \right ]\subset \mathbb{R} \end{align*} ), deoarece limitele laterale sunt diferite.

Următorul rezultat ne arată cum se poate construi sau demonstra că o funcție este integrabilă dacă se pornește de la o funcție integrabilă cunoscută:

Teorema CI25: 

Fie funcțiile  \begin{align*} f,g:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R} \end{align*} și mulțimea finită  \begin{align*} A\subset \left [ a,b \right ] \end{align*}, astfel încât:

  1. funcția \begin{align*} f \end{align*} este o funcție integrabilă pe intervalul închis  \begin{align*}\left [ a,b \right ] \end{align*};
  2. \begin{align*} f(x)=g(x), \end{align*} oricare ar fi \begin{align*} x\in\left [ a,b \right ]\setminus A . \end{align*}

Atunci funcția \begin{align*} g \end{align*} este integrabilă pe intervalul închis  \begin{align*}\left [ a,b \right ] \end{align*} și avem următoarea egalitate:

\begin{align*} \int_{a}^{b}g(x)\ \mathrm{dx}=\int_{a}^{b}f(x)\ \mathrm{dx}. \end{align*}

Exemplu:

Fie funcția \begin{align*} g:\left [ 1,2 \right ]\to \mathbb{R}, g(x)= \begin{cases} 2,\ x\in \left [ 1,2 \right )\\ 0, \ x=2 \end{cases} \end{align*} . Să se analizeze integrabilitatea acestei funcții pe intervalul \begin{align*} \left [ 1,2 \right ] \end{align*}.

Fie atunci funcția \begin{align*}f: \left [ 1,2 \right ]\to\mathbb{R}, f(x)=2, \end{align*} oricare ar fi \begin{align*}x\in \left [ 1,2 \right ].\end{align*}

Funcția \begin{align*}f\end{align*} este integrabilă pe intervalul \begin{align*} \left [ 1,2 \right ] \end{align*}, deoarece este o funcție constantă și avem:

\begin{align*} \int_{1}^{2}f(x)\ \mathrm{dx}&=\int_{1}^{2}2\ \mathrm{dx}\\&=2(2-1)\\&=2\cdot 1\\&=2 \end{align*}.

Observăm că funcția \begin{align*} g \end{align*} s-a obținut din funcția \begin{align*} f \end{align*}, punându-se în plus condiția ca \begin{align*} g(x)=0 \end{align*}, pentru \begin{align*} x=2 \end{align*}.

Conform Teoremei CI25 obținem că funcția \begin{align*} g \end{align*} este o funcție integrabilă pe intervalul \begin{align*} \left [ 1,2 \right ] \end{align*} și \begin{align*} \int_{1}^{2}g(x)\ \mathrm{dx}=\int_{1}^{2}f(x)\ \mathrm{dx}=2. \end{align*}

Integrabilitatea funcțiilor continue

Conform Definiției CI24: Mărginirea funcției integrabile știm că orice funcție integrabilă pe un interval \left [ a,b \right ] este funcție mărginită. Am văzut că reciproca acesteia este o propoziție falsă.

Dar dacă pornim de la funcții mărginite pe un interval închis de forma \left [ a,b \right ]\subset \mathbb{R} și adăugând condiții suplimentare, se pot obține funcții integrabile pe intervalul închis \left [ a,b \right ].

Astfel, avem următorul rezultat (care reprezintă un caz particular al criteriului lui Lebesgue) :

Teorema CI26: Teorema lui Lebesgue 

Fie funcția mărginită f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}.

Dacă funcția f are un număr finit de puncte de discontinuitate, atunci putem spune că funcția f este o funcție integrabilă pe intervalul închis  \left [ a,b \right ].

Exercițiu rezolvat:

Să se arate că funcția f:\left [ -1,1 \right ]\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\begin{cases} 2x+3,\ x\in\left [ -1,0 \right )\\ 3x^2-x+2,\ x\in\left [ 0,1 \right ] \end{cases} este integrabilă pe domeniul său de definiție.

Rezolvare:

Studiem continuitatea funcției \begin{align*} f \end{align*}:

\begin{align*} l_s(0)&=\lim_{\substack{x\to 0 \\ x< 0}}f(x) \\\\ &=\lim_{\substack{x\to 0 \\ x< 0}}(2x+3)\\\\&=2\cdot 0+3\\\\&=0+3\\\\&=3 \end{align*}

\begin{align*} l_d(0)&=\lim_{\substack{x\to 0 \\ x> 0}}f(x) \\\\ &=\lim_{\substack{x\to 0 \\ x> 0}}(3x^2-x+2)\\\\&=3\cdot 0^2-0+2\\\\&=0+2\\\\&=2 \end{align*}

Cum \begin{align*} l_s(0)\ne l_d(0) \end{align*}, ne rezultă că funcția \begin{align*} f \end{align*} nu este continuă. 

Studiem mărginirea funcției \begin{align*} f \end{align*}, construind următorul tabel:

Observăm că funcția \begin{align*} f \end{align*} este mărginită și are un singur punct de discontinuitate, \begin{align*} x_0=0 \end{align*}, de unde, conform Teoremei CI26: ( Teorema lui Lebesgue ) ne rezultă că funcția \begin{align*} f \end{align*} este o funcție integrabilă.

Teorema CI27: Integrabilitatea funcțiilor continue 

Orice funcție continuă de forma f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R} este o funcție integrabilă pe intervalul închis  \left [ a,b \right ].

Exercițiu rezolvat:

Să se studieze dacă funcția f:\left [ 0,\pi \right ]\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\begin{cases} \displaystyle\frac{\sin 2x}{x},\ x\in\left (0,\pi \right ]\\\\ 2,\ x=0 \end{cases} este integrabilă pe intervalul închis \begin{align*} \left [ 0,\pi \right ]\end{align*}.

Rezolvare:

Studiem continuitatea funcției \begin{align*} f \end{align*}:

\begin{align*} \lim_{\substack{x\to0 \\ x> 0}}f(x) &=\lim_{\substack{x\to 0 \\ x> 0}}\displaystyle\frac{\sin 2x}{x}\\\\&=\lim_{\substack{x\to 0 \\ x> 0}}\displaystyle\frac{2 \sin x \cos x }{x}\\\\&=\lim_{\substack{x\to 0 \\ x> 0}}2\cdot 1\cdot \cos x\\\\&=2\cdot \cos0\\\\&=2\cdot 1\\\\&=2 \end{align*}

Pentru a calcula această limită, am folosit limita remarcabilă \begin{align*} \lim_{\substack{x\to 0}}\displaystyle\frac{ \sin x }{x}=1 \end{align*}, limită pe care o găsești accesând pagina Limitele funcțiilor elementare, din cadrul ghidului Limite de funcții.

Cum \begin{align*} f(0)=2 \end{align*} și limita laterală este \begin{align*} \lim_{\substack{x\to0 \\ x> 0}}f(x) &=2 \end{align*}, ne rezultă că funcția \begin{align*} f \end{align*} este continuă. Atunci, conform Teoremei CI27: Integrabilitatea funcțiilor continue avem că funcția \begin{align*} f \end{align*} este integrabilă pe intervalul închis \begin{align*} \left [ 0,\pi \right ]\end{align*}.

Formula lui Leibniz-Newton

Până acum, integrala definită s-a putut calcula folosind definiția integralei.

În cele ce urmează ți se va prezenta o teoremă care te va ajuta să calculezi mai ușor integrala definită pentru funcții integrabile pe un interval.

Teorema CI28: Formula lui Leibniz - Newton 

Fie funcția f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R} o funcție integrabilă pe intervalul închis  \left [ a,b \right ]care admite primitive pe acest interval.

Atunci, pentru orice primitivă \begin{align*} F \end{align*} a funcției \begin{align*} f \end{align*} are loc următoarea egalitate:

\begin{align*} \int_{a}^{b}f(x)\ \mathrm{dx}=F(b)-F(a), \end{align*} numită formula lui Leibniz - Newton.

Scrierea \begin{align*} F(b)-F(a) \end{align*} din formula lui Leibniz - Newton se înlocuiește frecvent cu relația \begin{align*}F(x)\Big|_a^b \end{align*} și se citește „\begin{align*}F(x) \end{align*} luat între \begin{align*}a \end{align*} și \begin{align*}b \end{align*}”.

Exerciții rezolvate:

  1. Să se calculeze următoarele integrale, folosind formula lui Leibniz - Newton:
  1. \begin{align*} \int_{1}^{2} (4x^3-2x+3)\ \mathrm{dx}; \end{align*}
  2. \begin{align*} \int_{1}^{3} \displaystyle\frac{1}{x^2-16}\ \mathrm{dx}; \end{align*}
  3. \begin{align*} \int_{0}^{4} \displaystyle\frac{1}{\sqrt{4x^2+25}}\ \mathrm{dx}; \end{align*}
  4. \begin{align*} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \displaystyle\frac{1}{4x^2+1}\ \mathrm{dx}. \end{align*}

Rezolvare:

Pentru a rezolva aceste exerciții, ne vom folosi de formule din tabelul de integrale nedefinite din secțiunea „Primitive uzuale” a acestui ghid:

  1. Calculăm \begin{align*} \int_{1}^{2} (4x^3-2x+3)\ \mathrm{dx}.\end{align*}

Funcția f:\left [ 1,2 \right ]\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=4x^3-2x+3 este o funcție continuă, fiind compusă din funcții elementare. Fiind continuă, putem spune că această funcție este integrabilă pe intervalul închis \left [ 1,2 \right ].

O primitivă a funcției \begin{align*} f \end{align*} este funcția F:\left [ 1,2 \right ]\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^4-x^2+3x.

Atunci, conform formulei lui Leibniz - Newton, avem că:

\begin{align*} \int_{1}^{2} (4x^3-2x+3)\ \mathrm{dx}&=F(x)\Big|_1^2\\\\&=F(2)-F(1)\\\\ &=(2^4-2^2+3\cdot 2)-(1^4-1^2+3\cdot 1)\\\\ &=(16-4+6)-(1-1+3)\\\\&=18-3\\\\&=15\end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \int_{1}^{2} (4x^3-2x+3)\ \mathrm{dx}&=15. \end{align*}

  1. Calculăm \begin{align*} \int_{1}^{3} \displaystyle\frac{1}{x^2-16}\ \mathrm{dx}. \end{align*}

Funcția \begin{align*} f:\left [ 1,3 \right ]\rightarrow \mathbb{R},f(x)=\frac{1}{x^2-16} \end{align*}  este o funcție integrabilă pe intervalul \begin{align*} \left [ 1,3 \right ] \end{align*}, deoarece este o funcție continuă, fiind compusă din funcții elementare.

Mulțimea primitivelor acestei funcții este:

\begin{align*} \int \displaystyle\frac{1}{x^2-16}\ \mathrm{dx} &=\frac{1}{2\cdot 4}\ln\left | \frac{x-4}{x+4} \right | +\mathcal{C}\\\\&=\frac{1}{8}\ln\left | \frac{x-4}{x+4} \right | +\mathcal{C} \end{align*}

Alegând primitiva \begin{align*} F(x)=\frac{1}{8}\ln\left | \frac{x-4}{x+4} \right | , \end{align*} pe intervalul \begin{align*} \left [ 1,3 \right ] \end{align*}, ne rezultă că vom avea:

\begin{align*} \int_{1}^{3} \displaystyle\frac{1}{x^2-16}\ \mathrm{dx} &=\left (\frac{1}{8}\ln\left | \frac{x-4}{x+4} \right | \right )\Big|_1^3\\\\ &=\frac{1}{8}\left ( \ln\left | \frac{3-4}{3+4} \right |-\ln\left | \frac{1-4}{1+4} \right | \right )\\\\ &=\frac{1}{8}\left ( \ln\left | \frac{-1}{7}\right | -\ln\left | \frac{-3}{5} \right | \right )\\\\ &=\frac{1}{8}\left [ \ln \left (\frac{1}{7} \right ) -\ln\left ( \frac{3}{5} \right ) \right ]\\\\ &=\frac{1}{8}\cdot \ln\left ( \frac{1}{7}:\frac{3}{5} \right )\\\\ &=\frac{1}{8}\cdot \ln\left ( \frac{1}{7}\cdot \frac{5}{3} \right )\\\\ &=\frac{1}{8}\cdot \ln\left ( \frac{5}{21} \right ) \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \int_{1}^{3} \displaystyle\frac{1}{x^2-16}\ \mathrm{dx} &=\frac{1}{8}\cdot \ln\left ( \frac{5}{21} \right ). \end{align*} 

  1. Calculăm \begin{align*} \int_{0}^{4} \displaystyle\frac{1}{\sqrt{4x^2+25}}\ \mathrm{dx}. \end{align*}

Fie funcția \begin{align*} f:\left [ 1,3 \right ]\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{1}{\sqrt{4x^2+25}}. \end{align*} Această funcție este integrabilă pe domeniul de definiție al funcției \begin{align*} f \end{align*}, adică pe intervalul închis \begin{align*} \left [ 1,3 \right ] \end{align*}, deoarece funcția \begin{align*} f \end{align*} este o funcție continuă, fiind compusă din funcții elementare.

Mulțimea primitivelor funcției \begin{align*} f \end{align*} este:

\begin{align*} \int \displaystyle\frac{1}{\sqrt{4x^2+25}}\ \mathrm{dx}&=\ln\left ( 2x+\sqrt{4x^2+25} \right )+\mathcal{C}. \end{align*}

Alegem primitiva \begin{align*} F(x)=\ln\left ( 2x+\sqrt{4x^2+25} \right ). \end{align*} 

Atunci, pe intervalul închis \begin{align*} \left [ 1,3 \right ] \end{align*}, obținem că: 

\begin{align*} \int_{0}^{4} \displaystyle\frac{1}{\sqrt{4x^2+25}}\ \mathrm{dx}&=\ln\left ( 2x+\sqrt{4x^2+25} \right )\Big|_0^4 \\\\&=\ln\left ( 2\cdot 4+\sqrt{4\cdot 4^2+25} \right )-\ln\left ( 2\cdot 0+\sqrt{4\cdot 0^2+25} \right )\\\\ &=\ln\left ( 8+\sqrt{64+25} \right )-\ln\left ( 0+\sqrt{0+25} \right )\\\\ &=\ln\left ( 8+\sqrt{89} \right )-\ln 5 \\\\ &=\ln\displaystyle\frac{8+\sqrt{89}}{5} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \int_{0}^{4} \displaystyle\frac{1}{\sqrt{4x^2+25}}\ \mathrm{dx}&=\ln\displaystyle\frac{8+\sqrt{89}}{5}. \end{align*}

  1. Calculăm \begin{align*} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \displaystyle\frac{1}{4x^2+1}\ \mathrm{dx}. \end{align*}

Funcția \begin{align*} f:\left [ 0,\frac{1}{2} \right ]\rightarrow \mathbb{R},f(x)=\frac{1}{4x^2+1} \end{align*} este o funcție integrabilă pe intervalul \begin{align*} \left [ 0,\frac{1}{2} \right ] \end{align*}, deoarece este o funcție continuă, fiind compusă din funcții elementare.

Mulțimea primitivelor acestei funcții este:

\begin{align*} \int \displaystyle\frac{1}{4x^2+1}\ \mathrm{dx}&=\int \frac{1}{(2x)^2+1^2}\\\\ &=\frac{1}{2}\int \frac{2}{(2x)^2+1^2}\\\\ &=\frac{1}{2}\cdot arctg\ \frac{2x}{1} +\mathcal{C}\\\\&=\frac{1}{2}\cdot arctg\ 2x +\mathcal{C} \end{align*}

Fie primitiva \begin{align*} F(x)=\frac{1}{2}\cdot arctg\ 2x. \end{align*}

Atunci, revenind la integrala dată, ne rezultă că:

\begin{align*} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \displaystyle\frac{1}{4x^2+1}\ \mathrm{dx} &=\frac{1}{2}\cdot arctg\ 2x\Big|_0^\frac{1}{2}\\\\ &=\frac{1}{2}\cdot \left ( arctg\ 2\cdot \frac{1}{2}-arctg\ 2\cdot0 \right )\\\\ &=\frac{1}{2}\cdot \left ( arctg\ 1-arctg\ 0 \right )\\\\ &=\frac{1}{2}\cdot \left ( \frac{\pi}{4} -0\right )\\\\ &=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{4}\\\\ &=\frac{\pi}{8} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \int_{0}^{\frac{1}{2}} \displaystyle\frac{1}{4x^2+1}\ \mathrm{dx}&=\frac{\pi}{8}. \end{align*}

  1. Să se verifice egalitățile:
  1. \begin{align*} \int_{0}^{1} \displaystyle\frac{x}{x^2+1}\ \mathrm{dx}&=\ln\sqrt{2}; \end{align*}
  2. \begin{align*} \int_{0}^{\sqrt{2}} \displaystyle\frac{x}{\sqrt{16-x^4}}\ \mathrm{dx}&=\frac{\pi}{12}. \end{align*}

Rezolvare:

Pentru a rezolva aceste exercițiu vom folosi formulele din cel de-al doilea tabel al secțiunii Primitive uzuale, din cadrul capitolului anterior, Primitive:

  1.  Arătăm că \begin{align*} \int_{0}^{1} \displaystyle\frac{x}{x^2+1}\ \mathrm{dx}&=\ln\sqrt{2}. \end{align*}

Fie funcția continuă \begin{align*} f:\left [ 0,1 \right ] \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{x}{x^2+1}\end{align*}. Fiind o funcție continuă (este compusă din funcții elementare), este o funcție integrabilă pe intervalul \begin{align*} \left [ 0,1 \right ] .\end{align*}

Mulțimea primitivelor a acestei funcții este:

\begin{align*} \int \displaystyle\frac{x}{x^2+1}\ \mathrm{dx}&=\frac{1}{2}\int \displaystyle\frac{2x}{x^2+1}\ \mathrm{dx}\\\\&=\frac{1}{2}\ln\left | x^2+1 \right |+\mathcal{C}.\end{align*}

Fie o primitivă a acestei funcții de forma \begin{align*} F(x)=\frac{1}{2}\ln\left | x^2+1 \right |\end{align*}.  Atunci avem:

\begin{align*} \int_{0}^{1} \displaystyle\frac{x}{x^2+1}\ \mathrm{dx}&=\frac{1}{2}\ln\left | x^2+1 \right |\Big|_0^1\\\\ &=\frac{1}{2}\left ( \ln\left | 1^1+1\right | -\ln\left | 0^1+1 \right | \right )\\\\ &=\frac{1}{2}\left ( \ln\left | 2 \right |-\ln\left | 1 \right | \right )\\\\ &=\frac{1}{2}\left ( \ln2-0 \right )\\\\ &=\frac{1}{2}\cdot \ln2\\\\ &=\ln2^{\frac{1}{2}}\\\\ &=\ln\sqrt{2} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \int_{0}^{1} \displaystyle\frac{x}{x^2+1}\ \mathrm{dx}&=\ln\sqrt{2}. \end{align*}

  1. Calculăm \begin{align*} \int_{0}^{\sqrt{2}} \displaystyle\frac{x}{\sqrt{16-x^4}}\ \mathrm{dx}&=\frac{\pi}{12}. \end{align*}

Fie funcția continuă \begin{align*} f:\left [ 0,\sqrt{2} \right ] \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{x}{\sqrt{16-x^4}}\end{align*}. Fiind o funcție continuă (este compusă din funcții elementare), este o funcție integrabilă pe intervalul \begin{align*} \left [ 0,\sqrt{2} \right ] .\end{align*}

Mulțimea primitivelor acestei funcții este:

\begin{align*} \int \displaystyle\frac{x}{\sqrt{16-x^4}}\ \mathrm{dx}&=\int \displaystyle\frac{x}{\sqrt{4^2-(x^2)^2}}\ \mathrm{dx}\\\\&=\frac{1}{2}\int \displaystyle\frac{2x}{\sqrt{4^2-(x^2)^2}}\\\\&=\frac{1}{2}\arcsin \frac{x^2}{4}+\mathcal{C}.\end{align*}

Fie o primitivă a acestei funcții de forma \begin{align*} F(x)=&=\frac{1}{2}\arcsin \frac{x^2}{4}\end{align*}. Atunci avem:

\begin{align*} \int_{0}^{\sqrt{2}} \displaystyle\frac{x}{\sqrt{16-x^4}}\ \mathrm{dx}&=\frac{1}{2}\cdot \arcsin\frac{x^2}{4}\Big|_0^{\sqrt{2}}\\\\ &=\frac{1}{2}\left (\arcsin\frac{\left (\sqrt{2} \right )^2}{4}-\arcsin\frac{0^2}{4} \right )\\\\ &=\frac{1}{2}\left ( \arcsin\frac{2}{4}-\arcsin\frac{0}{4} \right )\\\\ &=\frac{1}{2}\left ( \arcsin\frac{1}{2}-\arcsin0 \right )\\\\ &=\frac{1}{2}\left ( \frac{\pi}{6}-0 \right )\\\\ &=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{6}\\\\ &=\frac{\pi}{12} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \int_{0}^{\sqrt{2}} \displaystyle\frac{x}{\sqrt{16-x^4}}\ \mathrm{dx}&=\frac{\pi}{12}. \end{align*}

Proprietăți ale integralei definite

Având în vedere definiția funcției integrabile pe un interval \left [ a,b \right ] (Definiția CI20: Funcția integrabilă Riemann) și operațiile cu șiruri convergente, se pot deduce câteva proprietăți ale funcțiilor integrabile și ale integralei definite.

Astfel, avem următoarele proprietăți: 

  • Proprietatea de liniaritate a integralei

Teorema CI29: Liniaritatea integralei 

Fie funcțiile f,g:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R} două funcții integrabile pe intervalul închis  \left [ a,b \right ] și scalarul k\in \mathbb{R}.

Atunci avem următoarele proprietăți:

  1. Funcția sumă, notată  f+g, este integrabilă pe intervalul închis  \left [ a,b \right ] și are loc relația:  \int_{a}^{b}\left [ f(x)+g(x) \right ]\mathrm{dx}=\int_{a}^{b}f(x)\ \mathrm{dx}+\int_{a}^{b}g(x)\ \mathrm{dx}, adică integrala sumei este egală cu suma integralelor.
  2. Funcția  kf este o funcție integrabilă pe intervalul închis  \left [ a,b \right ]  și avem relația:  \int_{a}^{b} \left ( kf \right )\mathrm{dx}=k\int_{a}^{b}f(x)\ \mathrm{dx}, adică constanta iese în fața integralei.

Observație:

Combinând cele două proprietăți, pentru funcția sumă \alpha f+\beta g, cu \alpha,\beta \in\mathbb{R}, obținem:

\int_{a}^{b}\left [\alpha f(x)+\beta g(x) \right ]\mathrm{dx}=\alpha \int_{a}^{b}f(x)\ \mathrm{dx}+\beta \int_{a}^{b}g(x)\ \mathrm{dx}. 

Exerciții rezolvate:

  1. Să se calculeze următoarea integrală \begin{align*} \int_{1}^{2} (5x^2-3x+2)\ \mathrm{dx}. \end{align*}

Rezolvare:

Pentru a rezolva acest exercițiu folosim simultan cele două proprietăți de mai sus (conform observației).

Calculăm \begin{align*} \int_{1}^{2} (5x^2-3x+2)\ \mathrm{dx}.\end{align*}

\begin{align*} \int_{1}^{2} (5x^2-3x+2)\ \mathrm{dx}&=5\int_{1}^{2}x^2\ \mathrm{dx}-3\int_{1}^{2}x\ \mathrm{dx}+2\int_{1}^{2}1\ \mathrm{dx}\\ \\&=5\cdot \frac{x^3}{3}\Big|_1^2-3\cdot \frac{x^2}{2}\Big|_1^2+2\cdot x\Big|_1^2\\\\ &=5\left ( \frac{2^4}{3}-\frac{1^4}{3} \right )-3\left ( \frac{2^2}{2}-\frac{1^2}{2} \right )+2\left ( 2-1 \right )\\\\ &=5\cdot \frac{16-1}{3}-3\cdot \frac{4-1}{2}+2\cdot 1\\\\ &= \frac{5\cdot 15}{3}-\frac{3\cdot 3}{2}+2\\\\ &=25-\frac{9}{2}+2\\\\ &=27-\frac{9}{2}\\\\ &=\frac{27\cdot 2-9}{2}\\\\ &=\frac{54-9}{2}\\\\&=\frac{45}{2} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \int_{1}^{2} (5x^2-3x+2)\ \mathrm{dx}&=\frac{45}{2}. \end{align*}

  1. Să se determine \begin{align*}\alpha \in \mathbb{R} \end{align*}, astfel încât  \begin{align*} \int_{0}^{\alpha } (3x-4)\ \mathrm{dx}=\frac{3}{2}. \end{align*}

Rezolvare:

Calculăm \begin{align*} \int_{0}^{\alpha } (3x-4)\ \mathrm{dx}. \end{align*}

\begin{align*} \int_{0}^{\alpha } (3x-4)\ \mathrm{dx}&=3\int_{0}^{\alpha }x\ \mathrm{dx}-4 \int_{0}^{\alpha }1\ \mathrm{dx}\\\\ &=3\cdot \frac{x^2}{2}\Big|_0^a-4\cdot a\Big|_0^a\\\\ &=3\left ( \frac{a^2}{2}-\frac{0^2}{2} \right )-4\left ( a-0 \right )\\\\ &=3\cdot \frac{a^2}{2}-4a \end{align*}

Am obținut că  \begin{align*} \int_{0}^{\alpha } (3x-4)\ \mathrm{dx}&=3\cdot \frac{a^2}{2}-4a, \end{align*} dar  \begin{align*} \int_{0}^{\alpha } (3x-4)\ \mathrm{dx}=\frac{3}{2}, \end{align*} de unde ne rezultă că: \begin{align*} \frac{3a^2}{2}-4a=\frac{3}{2}. \end{align*}

Rezolvăm ecuația obținută, înmulțind-o cu \begin{align*} 2 \end{align*}, pentru a scăpa de fracții. 

Avem:

\begin{align*} &\frac{3a^2}{2}-4a=\frac{3}{2}\ \Big| \cdot 2\\\\ &\Leftrightarrow 2\cdot \frac{3a^2}{2}-2\cdot 4a=2\cdot\frac{3}{2} \\\\ &\Leftrightarrow 3a^2-8a=3\\\\ &\Leftrightarrow 3a^2-8a-3=0 \end{align*}

\begin{align*} \Delta &=b^2-4ac\\ &=(-8)^2-4\cdot 3\cdot (-3)\\ &=64+36\\&=100 \end{align*}

\begin{align*} \alpha _1&=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\\\\ &=\frac{-(-8)+\sqrt{100}}{2\cdot 3}\\\\ &=\frac{8+10}{6}\\\\&=\frac{18}{6}\\\\&=3 \end{align*}

\begin{align*} \alpha _2&=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\\\\ &=\frac{-(-8)-\sqrt{100}}{2\cdot 3}\\\\ &=\frac{8-10}{6}\\\\&=\frac{-2}{6}\\\\&=-\frac{1}{3} \end{align*}

Am obținut că integrala are loc pentru \begin{align*}\alpha \in \left \{ -\frac{1}{3},2 \right \}.\end{align*}

  • Proprietatea de aditivitate la interval a integralei

Teorema CI30: Aditivitatea la interval a integralei 

Fie funcția \begin{align*} f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R} \end{align*} și  \begin{align*} c\in\left [ a,b \right ]. \end{align*}

Dacă funcția \begin{align*} f \end{align*} este integrabilă pe intervalele  \begin{align*} \left [ a,c \right ] \end{align*} și  \begin{align*} \left [ c,b \right ], \end{align*} atunci funcția \begin{align*} f \end{align*} este integrabilă pe intervalul  \begin{align*} \left [ a,b \right ] \end{align*} și are loc următoarea egalitate:

\begin{align*} \int_{a}^{b}f(x)\ \mathrm{dx}=\int_{a}^{c}f(x)\ \mathrm{dx}+\int_{c}^{b}f(x)\ \mathrm{dx}. \end{align*}

Exercițiu rezolvat:

Fie funcția \begin{align*} f:\left [ -1,2 \right ]\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\begin{cases} 2x+3,\ x\in\left [ -1,1 \right ]\\ -3x^2+1,\ x\in\left (1,2 \right ] \end{cases} \end{align*}. Să se arate că această funcție este integrabilă pe intervalul \begin{align*} \left [ -1,2 \right ] \end{align*} și să se calculeze \begin{align*} \int_{-1}^{2}f(x)\ \mathrm{dx}. \end{align*}

Rezolvare:

  • Integrabilitatea funcției \begin{align*} f \end{align*}

Calculăm limitele latereale ale funcției \begin{align*} f \end{align*} :

\begin{align*} l_s(1)&=\lim_{\substack{x\to 1 \\ x< 1}}f(x) \\\\&=\lim_{\substack{x\to 1 \\ x< 1}}(2x+3)\\\\&=2\cdot 1+3\\\\&=5 \end{align*}

\begin{align*} l_d(1)&=\lim_{\substack{x\to 1 \\ x> 1}}f(x) \\\\&=\lim_{\substack{x\to 1 \\ x< 1}}(-3x^2+1)\\\\&=-3\cdot 1^2+1\\\\&=-3+1\\\\&=-2 \end{align*}

Observăm că limitele laterale ale funcției \begin{align*} f \end{align*} nu sunt egale, de unde ne rezultă că funcția \begin{align*} f \end{align*} nu este continuă pe intervalul \begin{align*} \left [ -1,2 \right ] \end{align*}, dar funcția \begin{align*} f \end{align*} este mărginită pe \begin{align*} \left [ -1,2 \right ] \end{align*} și are un singur punct de discontinuitate, \begin{align*} x_0=1 \end{align*}, iar conform Teoremei CI26: Teorema lui Lebesgue, avem că funcția \begin{align*} f \end{align*} este integrabilă pe intervalul închis \begin{align*} \left [ -1,2 \right ] \end{align*}.

  • Calcularea integralei

Conform Teoremei CI30: Aditivitatea la interval a integralei avem:

\begin{align*} \int_{-1}^{2}f(x)\ \mathrm{dx}&=\int_{-1}^{1}f(x)\ \mathrm{dx}+\int_{1}^{2}f(x)\ \mathrm{dx}\\\\ &=\int_{-1}^{1}(2x+3)\ \mathrm{dx}+\int_{1}^{2}(-3x^2+1)\ \mathrm{dx}\\\\ &=2\int_{-1}^{1}x\ \mathrm{dx}+3\int_{-1}^{1}1\ \mathrm{dx}-3\int_{1}^{2}x^2\ \mathrm{dx}+\int_{1}^{2}1\ \mathrm{dx}\\\\ &=2\cdot \frac{x^2}{2}\Big|_{-1}^1+3\cdot x\Big|_{-1}^1-3\cdot \frac{x^3}{3}\Big|_{1}^2+x\Big|_{1}^2\\\\ &=2\left ( \frac{1^2}{2}-\frac{(-1)^2}{2} \right )+3\left [ 1-(-1) \right ]-3\left ( \frac{2^3}{3}-\frac{1^3}{3} \right )+(2-1)\\\\ &=2\left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{2} \right )+3\left ( 1+1 \right )-3\left ( \frac{8}{3}-\frac{1}{3} \right )+1\\\\ &=2\cdot 0+3\cdot 2-3\cdot \frac{7}{3}+1\\\\ &=0+6-7+1\\\\ &=0 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \int_{-1}^{2}f(x)\ \mathrm{dx}&=0. \end{align*}

  • Proprietatea de monotonie a integralei

Teorema CI31: Monotonia integralei 

Fie funcțiile \begin{align*} f,g:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R} \end{align*} două funcții integrabile pe intervalul  \begin{align*}\left [ a,b \right ]\end{align*}.

  1. Dacă funcția \begin{align*}f(x)\geq 0,\end{align*} oricare ar fi  \begin{align*}x\in\left [ a,b \right ]\end{align*}, atunci  \begin{align*} \int_{a}^{b}f(x)\ \mathrm{dx}\geq 0 \end{align*} ( pozitivitatea integralei ).
  2. Dacă \begin{align*} f(x)\leq g(x), \end{align*} pentru orice  \begin{align*}x\in\left [ a,b \right ]\end{align*}, atunci  \begin{align*} \int_{a}^{b}f(x)\ \mathrm{dx}\leq \int_{a}^{b}g(x)\ \mathrm{dx}\end{align*}  ( monotonia integralei ).

Exercițiu rezolvat:

Folosind proprietatea de monotonie a integralei, să se arate că: \begin{align*} \int_{0}^{e-1}\ln(1+x)\ \mathrm{dx}\leq \int_{0}^{e-1}x\ \mathrm{dx}.\end{align*}

Rezolvare:

Fie funcțiile \begin{align*} f,g:\left [ 0,e-1 \right ]\rightarrow \mathbb{R} \end{align*}\begin{align*} f(x)=\ln(1+x) \end{align*} și \begin{align*} g(x)=x. \end{align*}

Arătăm că \begin{align*} f(x)\leq g(x), \end{align*} oricare ar fi \begin{align*} x\in\left [ 0,e-1 \right ] \end{align*}.

Avem:

\begin{align*} &\ln(1+x)\leq x\\ &\Leftrightarrow \ln(1+x)-x\leq0 \end{align*}

Notăm cu \begin{align*} h(x)=\ln(1+x)-x, \end{align*} \begin{align*} h:\left [ 0,e-1 \right ]\rightarrow \mathbb{R} \end{align*} și arătăm că  \begin{align*} h(x)\leq 0, \end{align*} oricare ar fi \begin{align*} x\in\left [ 0,e-1 \right ] \end{align*}.

Pentru a arăta acest lucru, studiem funcția cu ajutorul derivatei întâi. Atunci:

\begin{align*}{h}'(x)&={\left [\ln(1+x)-x \right ]}'\\\\ &={\left [\ln(1+x) \right ]}'-{x}'\\\\ &=\frac{{(1+x)}'}{1+x}-1\\\\ &=\frac{{1}'+{x}'}{1+x}-1\\\\ &=\frac{0+1}{1+x}-\frac{1+x}{1+x}\\\\ &=\frac{1-\left (1+x \right )}{1+x}\\\\ &=\frac{1-1-x}{1+x}\\\\ &=-\frac{x}{1+x} \end{align*}

\begin{align*}{h}'(x)&=-\frac{x}{1+x}\leq 0, \forall \ x\in\left [ 0,e-1 \right ] \end{align*}

\begin{align*}{h}'(0)&=0\Leftrightarrow x=0 \end{align*}

\begin{align*}h(0)&=\ln(1-0)-0\\&=\ln1\\&=0 \end{align*}

\begin{align*}h(e-1)&=\ln(1+e-1)-(e-1)\\&=\ln e-e+1\\&=1-e+1\\&=2-e \end{align*}

Avem următorul tabel:

Observăm că \begin{align*} Im\ h=\left [ 0,2-e \right ] \end{align*}, de unde avem că  \begin{align*} {h}'(x)\leq 0, \end{align*} pentru orice \begin{align*} x\in \left [ 0,e-1 \right ] \end{align*}. În acest caz, funcția \begin{align*} h \end{align*} este descrescătoare pe intervalul \begin{align*} \left [ 0,e-1 \right ] \end{align*} și avem relația \begin{align*} h(x)\leq h(0)=0. \end{align*} 

Atunci \begin{align*} h(x)\leq 0, \end{align*} oricare ar fi \begin{align*} x\in\left [ 0,e-1 \right ] \end{align*}.

Ne rezultă că:

\begin{align*} &\ln(1+x)-x\leq 0\\\\ &\Leftrightarrow \ln(1+x)\leq x\\\\ &\Leftrightarrow \int_{0}^{e-1}\ln(1+x)\ \mathrm{dx}\leq \int_{0}^{e-1}x\ \mathrm{dx}. \end{align*}

Consecința CI32: Proprietatea de medie a integralei 

Fie funcția \begin{align*} f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R} \end{align*} o funcție integrabilă pe intervalul  \left [ a,b \right ] și  m,M\in \mathbb{R} astfel încât  m\leq f(x)\leq M, oricare ar fi  x\in\left [ a,b \right ].

Atunci avem relația:

m(b-a)\leq \int_{a}^{b}f(x)\ \mathrm{dx}\leq M(b-a).

Exercițiu rezolvat:

Fără a calcula integrala, să se arate că: \sqrt{3}\leq \int_{4}^{7}\sqrt{\displaystyle\frac{x-3}{x-1}}\ \mathrm{dx}\leq \sqrt{6}\ .

Rezolvare:

Fie funcția f:\left [ 4,7 \right ]\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\sqrt{\frac{x-3}{x-1}}.

Studiem această funcție cu ajutorul derivatei de ordinul întâi:

\begin{align*} {f}'(x)&={\left (\sqrt{\frac{x-3}{x-1}} \right )}'\\\\&=\frac{1}{2\sqrt{\displaystyle\frac{x-3}{x-1}}}\cdot {\left ( \frac{x-3}{x-1} \right )}'\\\\ &=\frac{1}{2\sqrt{\displaystyle\frac{x-3}{x-1}}}\cdot\displaystyle\frac{{(x-3)}'(x-1)-(x-3){(x-1)}'}{(x-1)^2}\\\\ &=\frac{1}{2\sqrt{\displaystyle\frac{x-3}{x-1}}}\cdot\displaystyle\frac{1\cdot (x-1)-(x-3)\cdot 1}{(x-1)^2}\\\\ &=\frac{1}{2\sqrt{\displaystyle\frac{x-3}{x-1}}}\cdot\displaystyle\frac{x-1-x+3}{(x-1)^2}\\\\ &=\frac{1}{2\sqrt{\displaystyle\frac{x-3}{x-1}}}\cdot\displaystyle\frac{2}{(x-1)^2}\\\\ &=\frac{1}{\sqrt{\displaystyle\frac{x-3}{x-1}}}\cdot\displaystyle\frac{1}{(x-1)^2}\\ \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow {f}'(x)&=\frac{1}{\sqrt{\displaystyle\frac{x-3}{x-1}}}\cdot\displaystyle\frac{1}{(x-1)^2}> 0 \end{align*}.

De aici ne rezultă că funcția \begin{align*} f \end{align*} este strict crescătoare pe intervaul \begin{align*} \left [ 4,7 \right ]. \end{align*}

Calculăm valorile funcției \begin{align*} f \end{align*} în extremitățile intervalului:

\begin{align*} f(4)&=\sqrt{\frac{4-3}{4-1}}\\\\&=\sqrt{\frac{1}{3}}\\\\&=\frac{1}{\sqrt{3}}\\\\&=\frac{\sqrt{3}}{3} \end{align*}

\begin{align*} f(7)&=\sqrt{\frac{7-3}{7-1}}\\\\&=\sqrt{\frac{4}{6}}\\\\&=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{6}}\\\\&=\frac{2}{\sqrt{6}}\\\\&=\frac{2\sqrt{6}}{6}\\\\&=\frac{\sqrt{6}}{3} \end{align*}

Avem următorul tabel:

Fie  \begin{align*} m=\frac{\sqrt{3}}{3} \end{align*} și  \begin{align*} M=\frac{\sqrt{6}}{3} \end{align*}. Atunci, conform Consecinței CI32: Proprietatea de medie a integralei avem:

\begin{align*} &m(b-a)\leq \int_{a}^{b}f(x)\ \mathrm{dx}\leq M(b-a)\\\\ &\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{3}\left ( 7-4 \right )\leq \int_{4}^{7}\sqrt{\frac{x-3}{x-1}}\ \mathrm{dx}\leq \frac{\sqrt{6}}{3}(7-4)\\\\ &\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 3\leq \int_{4}^{7}\sqrt{\frac{x-3}{x-1}}\ \mathrm{dx}\leq \frac{\sqrt{6}}{3}\cdot 3\\\\ &\Leftrightarrow \sqrt{3}\leq \int_{4}^{7}\sqrt{\frac{x-3}{x-1}}\ \mathrm{dx}\leq \sqrt{6} .\end{align*}

Consecința CI33: Modulul integralei

Fie funcția \begin{align*} f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R} \end{align*} o funcție continuă.

Atunci funcția  \begin{align*} \left | f \right | \end{align*} este o funcție integrabilă pe intervalul  \left [ a,b \right ] și are loc inegalitatea următoare:

\begin{align*} \left | \int_{a}^{b}f(x)\ \mathrm{dx} \right |\leq \int_{a}^{b}\left | f \right | \mathrm{dx} . \end{align*}

Teorema de medie. Teorema de existență a primitivelor unei funcții continue

Anterior s-a stabilit că orice funcție continuă pe un interval este integrabilă pe acel interval.

În cele ce urmează ți se vor prezenta câteva rezultate proprii clasei de funcții continue.

  • Teorema de medie

Teorema CI34: Teorema de medie 

Dacă funcția f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R} este o funcție continuă, atunci există  \xi \in \left [ a,b \right ], astfel încât  \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\ \mathrm{dx}=f(\xi).

Definiția CI35: Valoarea integrală medie 

Numărul  f(\xi)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\ \mathrm{dx} se numește valoarea integrală medie a funcției f pe intervalul  \left [ a,b \right ].

  • Interpretarea geometrică a teoremei de medie

Avem următorul grafic:

În graficul de mai sus se poate observa că pentru o funcție f pozitivă pe intervalul \left [ a,b \right ]în condițiile Teoremei CI34: Teorema de medie, există \xi \in \left [ a,b \right ] astfel încât aria subgraficului \Gamma _f să fie egală cu aria suprafeței dreptunghiulare cu dimensiunile (b-a) și f(\xi).

Exercițiu rezolvat:

Să se determine valoarea integrală medie și punctul \xi în care se obține valoarea integrală medie pentru funcția f:\left [ 1,\sqrt{3} \right ]\rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}.

Rezolvare:

Se aplică Teorema CI34: ( Teorema de medie ) funcției continue \begin{align*} f \end{align*} pe intervalul \begin{align*} \left [ 1,\sqrt{3} \right ]. \end{align*}

Atunci, există  \begin{align*} \xi\in\left [ 1,\sqrt{3} \right ] \end{align*}  astfel încât:

\begin{align*} f(\xi)&=\frac{1}{\sqrt{3}-1}\int_{1}^{\sqrt{3}}\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\ \mathrm{dx}\\\\ &=\frac{1}{\sqrt{3}-1}\cdot \arcsin \ \frac{x}{2}\Big|_1^{\sqrt{3}}\\\\ &=\frac{1}{\sqrt{3}-1}\cdot \left (\arcsin \ \frac{\sqrt{3}}{2}-\arcsin \ \frac{1}{2} \right )\\\\ &=\frac{1}{\sqrt{3}-1}\cdot \left ( \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{2} \right )\\\\ &=\frac{1}{\sqrt{3}-1}\cdot \frac{2\pi-\pi}{6}\\\\ &=\frac{1}{\sqrt{3}-1}\cdot \frac{\pi}{6}\\\\ &=\frac{\pi\left ( \sqrt{3}+1 \right )}{6\cdot (\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}\\\\ &=\frac{\pi\left ( \sqrt{3}+1 \right )}{6\cdot (3-1)}\\\\ &=\frac{\pi\left ( \sqrt{3}+1 \right )}{6\cdot 2}\\\\ &=\frac{\pi}{12}\cdot (\sqrt{3}+1)\\\\ \end{align*}

Numărul \begin{align*} \xi \end{align*} se poate calcula din ecuația \begin{align*} f(\xi)&=\frac{\pi}{12}\cdot (\sqrt{3}+1) \end{align*} și obținem că:

\begin{align*} & f(\xi)=\frac{\pi}{12}\cdot (\sqrt{3}+1) \\\\ &\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{4-\xi ^2}}=\frac{\pi}{12}\cdot (\sqrt{3}+1)\\\\ &\Leftrightarrow \sqrt{4-\xi ^2}=\frac{1}{\displaystyle\frac{\pi}{12}\cdot (\sqrt{3}+1)}\\\\ &\Leftrightarrow \sqrt{4-\xi ^2}=\frac{12}{\pi\cdot (\sqrt{3}+1)}\ \Big|^2\\\\ &\Leftrightarrow 4-\xi ^2=\frac{12^2}{\pi^2\cdot (\sqrt{3}+1)^2}\\\\ &\Leftrightarrow \xi ^2=4-\frac{144}{\pi^2\cdot (\sqrt{3}+1)^2}\\\\ &\Leftrightarrow \xi ^2=\frac{4\cdot\pi^2\cdot (\sqrt{3}+1)^2- 144}{\pi^2\cdot (\sqrt{3}+1)^2}\\\\ &\Leftrightarrow \xi =\sqrt{\frac{4\cdot\pi^2\cdot (\sqrt{3}+1)^2- 144}{\pi^2\cdot (\sqrt{3}+1)^2}}\\\\ &\Leftrightarrow \xi =\frac{2}{\pi\cdot (\sqrt{3}+1)}\cdot \sqrt{\pi^2\cdot (\sqrt{3}+1)^2- 36}\in\left [ 1,\sqrt{3} \right ]. \end{align*}

  • Teorema de existență a primitivelor unei funcții continue

Teorema CI36: Existența primitivelor unei funcții continue 

Fie funcția continuă f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}

Atunci, funcția  F:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}, F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\ \mathrm{dt}, cu x\in\left [ a,b \right ], este o primitivă a funcției f, care se anulează în punctul x=a.

Exercițiu rezolvat:

Să se verifice egalitatea {\left (\int_{0}^{\sin x}\arcsin t \mathrm{dt} \right )}'=x\cos x, fără a calcula integrala.

Rezolvare:

Fie funcția f(t)=\arcsin t,\ f:\left [ -1,1\right ]\rightarrow \mathbb{R}.

Funcția f este continuă pe intervalul \left [ -1,1 \right ], de unde ne rezultă că funcția f admite primitive.

Fie funcția F o primitivă a funcției f. Funcția F este o funcție derivabilă și astfel avem relațiile: {F}'(t)=f(t) și \int_{a}^{b}f(t)\ \mathrm{dx}=F(t)\Big|_a^b=F(b)-F(a).

Atunci:

\begin{align*} \int_{0}^{\sin x}f(t)\ \mathrm{dx}=F(t)\Big|_0^{\sin}=F(\sin x)-F(0) \end{align*}

Derivăm această relație și obținem:

\begin{align*} {\left (\int_{0}^{\sin x}f(t)\ \mathrm{dx} \right )}'&={\left [F(\sin x)-F(0) \right ]}'\\\\ &={\left [ F(\sin x) \right ]}'-{\left [ F(0) \right ]}'\\\\ &={F}'(\sin x)-{F}'(0)\\\\ &={F}'(\sin x)\cdot {(\sin x)}'-0\\\\ &=f(\sin x)\cdot \cos x\\ \\&=\arcsin(\sin x)\cdot \cos x\\\\ &=x\cdot \cos x \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow {\left (\int_{0}^{\sin x}f(t)\ \mathrm{dx} \right )}'&=x\cdot \cos x. \end{align*}