Poziții relative ale unei drepte față de un cerc. Pozițiile relative a două cercuri

Capitolul patru al ghidului nostru începe cu pozițiile relative ale unei drepte față de un cerc și se încheie cu noțiunile de cerc înscris în triunghi și centrul cercului înscris în triunghi.

În primul rând, vom defini noțiunile de dreaptă secantă, dreaptă tangentă și dreaptă exterioară, enunțând apoi câteva observații care derivă din acestea. De asemenea definim noțiunile de triunghi circumscris unui cerc și centrul cercului înscris în triunghi.

Pozițiile relative a două cercuri se referă la felul în care sunt “așezate” două cercuri unul în raport cu celălalt: secante, tangente interioare sau tangente exterioare, interioare, exterioare și concentrice.

Teoria este însoțită de imagini și exemple cu ajutorul cărora asimilarea informațiilor este mult mai simplă și care clarifică diferențele dintre cazurile enumerate mai sus.

În finalul capitolului, profesorii noștri au pregătit o serie de probleme rezolvate care te vor ajuta să exersezi și să recapitulezi capitolele anterioare. Enunțurile acestor probleme le poți citi mai jos:

Problema 1

Să se stabilească poziția relativă a dreptei d față de $\mathcal{C}(O;r)$ știind că:

$d(O;d)=7 \text{ cm \c si }r=5\text{ cm}$ ;
$d(O;d)=\sqrt{3}\text{ cm \c si }r=2\sqrt{3}\text{ cm}\\$ ;
$d(O;d)=27\text{ cm \c si }r=0,27\text{ m}\\$ ;
$d(O;d)=31\text{ cm \c si }r=30\text{ cm}$ .

Problema 2

Știind că $\mathcal{C}(O;r=x+6)$ și $\mathcal{C}({O}';{r}'=2x-3)$ , r > {r}' au un punct comun și distanța dintre centre de 9 cm, să se determine raza fiecărui cerc.

Problema 3

Să se stabilească poziția relativă a cercurilor $\mathcal{C}(O;r)$ și $\mathcal{C}({O}';{r}')$ știind că (u.m.=cm):

r = 4, r' = 7, OO' = 11;

$r=\dfrac{1}{2}$ , r' = 2, OO' = 1,5;

$r=\sqrt{2}$ , ${r}'=2\sqrt{2}$ , $O{O}'=\sqrt{19}$ ;

r = 3, r' = 5,5 , OO' = 4;

r = 19, r' = 9, OO' = 7.

Problema 4

Fie M un punct exterior cercului de centru O și rază r = 25 cm și MN tangentă la cerc. Știind că OM = 50 cm, să se determine aria și perimetrul triunghiului MNO.

Problema 5

Fie [AB] diametru în cercul de centru O și rază r = 20 cm. Prin punctul B se construiește tangenta la cerc și prin punctul A o secantă, cele două intersectându-se în punctul M. Știind că OM = 30 cm, să se determine aria și perimetrul triunghiului MAB.

Problema 6

Fie $\mathcal{C}(O;20)$ . Din punctul exterior M se construiește tangenta [MN]. Știind că $m(\sphericalangle OMN)=\dfrac{m(\sphericalangle MNO)}{2}$ , să se determine aria și perimetrul triunghiului OMN.

Problema 7

Două cercuri de raze 6 cm și 10 cm sunt tangente exterioare. Să se calculeze lungimea tangentelor comune.

Problema 8

Două cercuri de raze r și R sunt secante în punctele A și B. Știind că punctele M și N sunt diametral opuse față de A și MN = 28 cm:

Să se arate că punctele M, B și N sunt coliniare:
Să se determine distanța dintre centre.

Problema 9

Din punctul A se duc tangentele [AB] și [AC] la cerc. Știind că $m(\sphericalangle BAC)=60^{\circ}$ și AB = 5 cm, să se determine lungimea lui [OA].

Problema 10

Considerăm $\mathcal{C}(O;5)$ și $\mathcal{C}(O;9)$ . Știind că [AB] este tangentă primului cerc și secantă celui de-al doilea, determinați lungimea lui [AB]. (u.m.=cm).

Problema 11

Știind că cercurile $\mathcal{C}(O;r)$ și $\mathcal{C}(O';r')$ , $O\in\mathcal{C}(O';r')$ sunt interioare cu distanța dintre centre de 4 cm, să se determine raza cercului mare.

Problema 12

Să se calculeze lungimile tangentelor [MA] și [MB] duse dintr-un punct M, știind că raza cercului este de 8 cm și $m(\overarc{AB})=120^{\circ}$ .

Problema 13

Fie triunghiul ABC și punctele M, N, P punctele de tangență ale laturilor triunghiului cu cercul înscris în triunghi. Dacă AB = 8 cm, BC = 7 cm și AC = 5 cm, să se determine suma AM + BN + CP.