Subiectul III

Problemele de mai jos sunt problemele primite la Subiectul III al Sesiunii speciale de Bacalaureat 2015, disciplina matematică, profil tehnologic. Rezolvările complete ale acestora se găsesc în ghidul nostru.

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $\tiny f(x)=x^4-2x^2+1.$
Arătați că $\tiny {f}'(x)=4x(x-1)(x+1), x\in\mathbb{R}$ .
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă , situat pe graficul funcției .
Demonstrați că $0\le f(x) \le 1$ , pentru orice $x\in \left [ -1,1\right ]$ .
Se consideră funcția $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ , $f(x)=x^2+\sqrt{x}$ .
Arătați că $\int_{1}^{3}(f(x)-\sqrt{x})\mathrm{d}x=\frac{26}{3}$ .
Demonstrați că funcția $F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ , $F(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{2x\sqrt{x}}{3}+2015$ este o primitivă a funcției .
Arătați că suprafața delimitată de graficul funției $g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ , $g(x)=(f(x)-\sqrt{x})\mathrm{e}^x$ , axa și dreptele de ecuații și , are aria egală cu $\mathrm{e}(2\mathrm{e}-1)$ .