Subiectul II

Mai jos, se pot vizualiza problemele din Bacalaureat Matematică 2015 | Științele naturii | Sesiunea specială, Subiectul II. Pentru rezolvările complete, realizate cu deosebită atenție de către profesorii de matematică ai echipei Liceunet, accesează această pagină a eBook-ului.

Se consideră matricele $\tiny A=\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 3& 4 \end{pmatrix}$ și $\tiny B=\begin{pmatrix} x &2 \\ 3& 6 \end{pmatrix}$ , unde $\tiny x$ este număr real.
Arătați că $\tiny \det A=-2$ .
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\tiny \det \big(B(x)+I_2\big)=8$ , unde $\tiny I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .
Determinați numărul real $\tiny x$ pentru care $\tiny A\cdot B(x)=B(x)\cdot A$ .
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\tiny x\ast y=xy-7x-7y+56$ .
Arătați că $\tiny (-7)\ast 7=7$ .
Arătați că $\tiny x\ast y=(x-7)(y-7)+7$ , pentru orice numere reale $\tiny x$ și $\tiny y$ .
Calculați $\tiny 1 \ast 2 \ast 3 \ast ...\ast 2015$ .