Bacalaureat Matematică 2015 | Științele naturii | Sesiunea specială

Știm că se aproprie Bacalaureatul și știm cât de important e să fii bine pregătit pentru acest examen important.

Printre cele mai dificile probe ale Bacalaureatului se numără proba la matematică, datorită complexității exercițiilor și a rigurozității limbajului matematic.

Pentru a-ți veni în ajutor, noi ți-am pregătit un eBook ce conține rezolvarea completă a subiectelor primite în sesiunea specială (Bacul olimpicilor), la profilul științele naturii, din data de 26.05.2015.

Probleme din Bacalaureat Matematică 2015 | Științele naturii | Sesiunea specială sunt rezolvate complet și conform baremului, deci te poți ghida cu încredere după rezolvările prezentate.

Așa cum probabil te-ai obișnuit, examenul va fi structurat în 3 părți: Subiectul I, Subiectul II și Subiectul III; la fiecare din cele trei subiecte vei putea primi maxim 30 de puncte.

La Subiectul I din acest ghid vei rezolva probleme cu progresii aritmetice, funcții, aplicații ale trigonometriei în geometrie, ecuații; problemele se rezolvă folosind noțiuni elementare învățate în clasele a IX-a și a X-a.

Calculați rația progresiei $\tiny \left ( a_n\right )_{n\geq 1}$ , știind că $\tiny a_3=6$ și $\tiny a_4=8$ .
Determinați valoarea minimă a funcției $\tiny f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}, f(x)=x^2-9$ .
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\tiny \sqrt{x^2+3}=x+1.$
Determinați numărul submulțimilor cu două elemente ale mulțimii $\tiny \left \{ 1,2,3,4,5,6,7 \right \}$ .
În reperul cartezian $\tiny xOy$ se consideră punctele $\tiny A(2,1)$ și $\tiny B(0,3)$ . Determinați ecuația dreptei $\tiny AB$ .
Calculați lungimea razei cercului circumscris triunghiului $\tiny ABC$ în care $\tiny AB=8$ și $\tiny C=\frac{\pi}{6}.$

La Subiectul II vei întâlni două probleme de algebră de clasa a XI-a, respectiv a XII-a: o problemă cu matrice (calculul determinantului unei matrice, ecuații matriceale) și o problemă cu legi de compoziție (definiție, proprietăți ale legilor de compoziție).

Se consideră matricele $\tiny A=\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 3& 4 \end{pmatrix}$ și $\tiny B=\begin{pmatrix} x &2 \\ 3& 6 \end{pmatrix}$ , unde $\tiny x$ este număr real.
Arătați că $\tiny \det A=-2$ .
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\tiny \det \big(B(x)+I_2\big)=8$ , unde $\tiny I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .
Determinați numărul real $\tiny x$ pentru care $\tiny A\cdot B(x)=B(x)\cdot A$ .
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\tiny x\ast y=xy-7x-7y+56$ .
Arătați că $\tiny (-7)\ast 7=7$ .
Arătați că $\tiny x\ast y=(x-7)(y-7)+7$ , pentru orice numere reale $\tiny x$ și $\tiny y$ .
Calculați $\tiny 1 \ast 2 \ast 3 \ast ...\ast 2015$ .

La Subiectul III, îți vei exersa noțiunile de analiză matematică învățate în clasa a XI-a (derivata I a unei funcții, ecuația tangentei la graficul unei funcții, rolul derivatei a II-a în studiul convexității unei funcții), respectiv în clasa a XII-a (calculul integralei unei funcții, aflarea volumului de rotație).

Se consideră funcția $\tiny f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=\mathrm{e}^x-\ln x+x$ .
Arătați că $\lim_{x\to 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=e$ .
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\tiny f$ în punctul de abscisă $\tiny x=1$ , situat pe graficul funcției $\tiny f$ .
Arătați că funcția $\tiny f$ este convexă pe intervalul $\tiny (0,+\infty)$ .
Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=\frac{1}{x+1}$ .
Arătați că $\int_{0}^{1}\frac{1}{f(x)}\mathrm{d}x=\frac{3}{2}$ .
Arătați că $\int_{0}^{1}x^2f(x)\mathrm{d}x=-\frac{1}{2}+\ln 2$ .
Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei a graficului funcției $g:\left [ 0,1 \right ]\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)$ .

Așadar, te sfătuim sa consulți ghidul nostru, Bacalaureat Matematică 2015 | Științele naturii | Sesiunea specială, și să continui să exersezi pentru un rezultat cât mai bun la examenul de Bacalaureat.

Spor la învățat!