Subiectul II

Se consideră matricea $A(a)=\begin{pmatrix} a &3 \\ a-1 &2 \end{pmatrix}$ , unde este număr real.

Arătați că .
Determinați numărul real pentru care $\det \big(A(a)\big)=0$ .
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\det \big(A(2)+xA(3)\big)=0$ .

Calculăm .

$\begin{align*} &A(2014)+A(2016)=\\\\&= \left(\begin{matrix} 2014 & 3\\ 2014-1 & 2 \end{matrix}\right) + \left(\begin{matrix} 2016& 3\\ 2016-1 & 2 \end{matrix}\right)\\\\&= \left(\begin{matrix} 2014+2016 & 3+3 \\ 2013+2015 & 2+2 \end{matrix}\right) \\\\ &= \left(\begin{matrix} 4030 &6 \\ 4028 & 4 \end{matrix}\right) \end{align*}$

Rezultă că:

$\begin{align*} A(2014)+A(2016)= \left(\begin{matrix} 4030 &6 \\ 4028 & 4 \end{matrix}\right) \end{align*}$ .

Calculăm 2A(2015) .

$\begin{align*} &2\cdot A(2015) = \\\\&=2\cdot \left(\begin{matrix} 2015 & 3 \\ 2015-1 &2 \end{matrix}\right) \\ \\&= 2\cdot \left(\begin{matrix} 2015 &3\\ 2014 & 2 \end{matrix}\right) \\\\&= \left(\begin{matrix} 2\cdot 2015 & 2\cdot 3 \\ 2\cdot 2014 & 2\cdot 2 \end{matrix}\right) \\\\&= \left(\begin{matrix} 4030 & 6 \\ 4028 & 4 \end{matrix}\right) \end{align*}$

Rezultă:

$\begin{align*} 2\cdot A(2015) = \left(\begin{matrix} 4030 & 6 \\ 4028 & 4 \end{matrix}\right) \end{align*}$ .

Vom avea că:

A(2014)+A(2016)=2A(2015).

Avem că $\det \big(A(a)\big)=0$ .

Atunci:

$\begin{align*} &\det(A(a))=0 \Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow \left|\begin{matrix} a &3 \\ a-1 & 2 \end{matrix}\right|=0 \\ &\Leftrightarrow 2\cdot a-3 \cdot (a-1)=0 \\&\Leftrightarrow 2a-3a-3\cdot (-1)=0 \\ &\Leftrightarrow 2a-3a+3=0 \\&\Leftrightarrow -a+3=0 \\ &\Leftrightarrow -a=-3 |\cdot (-1) \\ &\Leftrightarrow a=3. \end{align*}$

Avem că $\det \big(A(2)+xA(3)\big)=0$ .

Calculăm $\begin{align*} A(2)+xA(3) \end{align*}$ .

$\begin{align*} &A(2)+xA(3)=\\\\&= \left(\begin{matrix} 2 & 3\\ 2-1 & 2 \end{matrix}\right) +x\cdot \left(\begin{matrix} 3 & 3\\ 3-1 & 2 \end{matrix}\right) \\ \\&= \left(\begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix}\right) + x\cdot \left(\begin{matrix} 3 & 3 \\ 2 & 2 \end{matrix}\right) \\\\&= \left(\begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix}\right) +\left(\begin{matrix} 3x & 3x \\ 2x & 2x \end{matrix}\right) \\\\&= \left(\begin{matrix} 2+3x & 3+3x \\ 1+2x & 2+2x \end{matrix}\right) \\ \end{align*}$

Atunci:

$\begin{align*} &\det(A(2)+xA(3))=\\&=\left|\begin{matrix} 2+3x & 3+3x \\ 1+2x & 2+2x \end{matrix}\right| \\&= (2+3x)\cdot (2+2x)-(3+3x)\cdot (1+2x)\\&= 2\cdot 2+2\cdot 2x+3x\cdot 2+3x\cdot 2x-(3\cdot 1+3x\cdot 1+3\cdot 2x+3x\cdot 2x) \\&= 4+4x+6x+6x^2 -(3+3x+6x+6x^2) \\&= 4+10x +6x^2-(3+9x+6x^2) \\&= 4+10x +6x^2-3-9x-6x^2\\&= 1+x\\ \end{align*}$

$\begin{align*} &\det \big(A(2)+xA(3)\big)=0\Leftrightarrow \\ &\Leftrightarrow 1+x=0\\ &\Leftrightarrow x=0-1\\ &\Leftrightarrow x=-1. \end{align*}$

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=-xy-x-y-2$ .

Arătați că $(-1)\ast 1=-1$ .
Arătați că $x\ast y=-(x+1)(y+1)-1$ , pentru orice numere reale și .
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $(x+2)\ast(2x-3)=5$ .

Calculăm $(-1)\ast 1$ .

$\begin{align*} (-1) * 1 &= -(-1)\cdot 1-(-1)-1-2\\&= 1+1-1-2\\&=1-2\\&=-1 \end{align*}$

Așadar,

$\begin{align*} (-1) * 1=-1 \end{align*}$ .

Fie $\begin{align*} x,y\in\mathbb{R} \end{align*}$ . Arătăm că $x\ast y=-(x+1)(y+1)-1$ .

$\begin{align*} x*y&= -xy-x-y-2 \\&= -xy-x-y-1-1 \\&= -x\cdot (y+1)-(y+1)-1 \\&= (y+1)\cdot (-x-1)-1 \\&= (-x-1)\cdot (y+1)-1\\ &= -(x+1)\cdot (y+1)-1 \end{align*}$

Deci:

$\begin{align*} x*y= -(x+1)\cdot (y+1)-1, \forall x,y\in\mathbb{R} \end{align*}$ .

Avem că $(x+2)\ast(2x-3)=5$ .

$\begin{align*} &(x+2)*(2x-3)=5\Leftrightarrow \\ &\Leftrightarrow -(x+2)\cdot (2x-3)-(x+2)-(2x-3)-2=5 \\&\Leftrightarrow -(2x\cdot x-3\cdot x+2\cdot 2x-2\cdot 3)-x-2-2x+3-2=5 \\&\Leftrightarrow -(2x^2-3x+4x-6)-3x-1=5\\&\Leftrightarrow -(2x^2+x-6)-3x=5+1 \\&\Leftrightarrow -2x^2-x+6-3x=6 \\&\Leftrightarrow -2x^2-4x=6-6\\&\Leftrightarrow -2x^2-4x=0 |:(-2) \\ &\Leftrightarrow x^2+2x=0 \\ &\Leftrightarrow x(x+2)=0 \\ &\Leftrightarrow x=0 \ sau \ x+2=0 \\ &\Leftrightarrow x=0 \ sau \ x=0-2\\ & \Leftrightarrow x=0 \ sau \ x=-2. \end{align*}$

Aceasta a fost rezolvarea problemelor date la Subiectul al II-lea al sesiunii august-septembrie 2015 de Bacalaureat, la proba obligatorie a profilului, matematică, pentru elevii ce urmează profilul științele naturii.