Subiectul I

Determinați al doilea termen al progresiei aritmetice $(a_n)_{n\ge 1}$ , știind că și rația .

$\begin{align*} a_2&= a_1+r \\ &= 1+2 \\ &=3 \end{align*}$

$\Rightarrow a_2&=3$ .

Determinați numărul real , știind că punctul aparține graficului funcției $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , .

$A(m,0)\in G_f\Rightarrow f(m)=0$

$\begin{align*} &\Leftrightarrow m+1=0 \\ &\Leftrightarrow m=0-1 \\ &\Leftrightarrow m=-1. \end{align*}$

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_2(x^2+4)=\log_2 8$ .

$\begin{align*} x^2+4>0, \forall \ x\in\mathbb{R} \Rightarrow x\in \mathbb{R} \end{align*}$

$\begin{align*} &\log_2 (x^2+4)=\log_2 8\Leftrightarrow \\ &\Leftrightarrow x^2+4=8 \\ &\Leftrightarrow x^2=8-4 \\ &\Leftrightarrow x^2=4 \\ &\Leftrightarrow x=\sqrt{4} \\ &\Leftrightarrow x=\pm 2 . \end{align*}$

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $M=\left \{ 1,2,3,4,5,6,7,8 \right \}$ , acesta să fie divizibil cu .

$p&=\displaystyle\frac{nr.\ cazuri\ favorabile}{nr.\ cazuri \ posibile}$

În mulțimea sunt elemente. Deci sunt cazuri posibile.
Numerele divizibile cu din mulțimea sunt în număr de ( și ). Deci sunt cazuri favorabile.
$\begin{align*} \Rightarrow p&=\displaystyle \frac{2}{8} \\\\ \Leftrightarrow p&=\displaystyle\frac{1}{4}. \end{align*}$

Determinați numărul real , știind că vectorii $\vec{u}=(a+1)\vec{i}+4\vec{j}$ și $\vec{v}=\vec{i}+2\vec{j}$ sunt coliniari.

$\begin{align*} \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \end{align*}$ coliniari $\begin{align*} \Leftrightarrow \end{align*}$

$\begin{align*} &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{a+1}{1}=\displaystyle\frac{4}{2} \\&\Leftrightarrow 2(a+1)=4\cdot 1 \\& \Leftrightarrow 2a+2=4\\ & \Leftrightarrow 2a=4-2 \\ &\Leftrightarrow 2a=2\\ &\Leftrightarrow a=\frac{2}{2}\\ &\Leftrightarrow a=1. \end{align*}$

Arătați că $\sin 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ , știind că $\sin x=\frac{1}{2}$ și $x\in\Big(0,\frac{\pi}{2}\Big)$ .

$\begin{align*} &\sin^2 x+\cos^2 x=1\Leftrightarrow \\\\ &\Leftrightarrow \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2+\cos^2 x=1 \\\\ &\Leftrightarrow \displaystyle\frac{1}{4}+\cos^2 x=1 \\\\ &\Leftrightarrow \cos^2 x=1-\displaystyle\frac{1}{4}\\\\ &\Leftrightarrow \cos^2 x= \displaystyle\frac{4-1}{4} \\ \\&\Leftrightarrow \cos^2 x= \displaystyle\frac{3}{4}\\\\ &\Leftrightarrow \cos x=\pm \sqrt{\displaystyle\frac{3}{4}}\\ \\ &\Leftrightarrow \cos x= \pm \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{align*}$

Dar $\begin{align*} \ & x\in \left(0,\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) \\ \end{align*}$ .

$\begin{align*} &\Rightarrow \cos x=\displaystyle\frac{\sqrt{ 3}}{2} \end{align*}$

$\begin{align*} \sin 2x&=2 \sin x\cos x\\\\ &= 2\cdot \displaystyle\frac{1}{2}\cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\\\\ &=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{align*}$

$\begin{align*} &\Rightarrow \sin 2x=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}. \end{align*}$