Subiectul III

Acestea sunt enunțurile problemelor de la Subiectul III al sesiunii speciale de Bacalaureat la disciplina matematică, profil științele naturii. Pentru a vedea rezolvările de nota 10 ale acestor probleme, pregătite de către profesorii de matematică din echipa noastră, consultă ghidul nostru și compară rezultatele obținute de tine în urma finalizării rezolvării problemelor cu cele propuse în această pagină.

Se consideră funcția $f:(-\infty,2)\to\mathbb{R}$ , $f(x)=\frac{\mathrm{e}^{-x}}{x-2}$ .

Calculați $\lim_{x\to 1}f(x)$ .
Arătați că ${f}'(x)=\frac{(1-x)\mathrm{e}^{-x}}{(x-2)^2}$ , $x\in(-\infty,2)$ .
Arătați că $f(x)\le -\frac{1}{\mathrm{e}}$ pentru orice $x\in(-\infty,2)$ .

Se consideră funcția $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ , $f(x)=\frac{\ln x}{x+1}$ .

Arătați că $\int_{1}^{2}(x+1)f(x)\mathrm{d}x=2\ln 2-1$ .
Arătați că $\int_{1}^{\mathrm{e}}\big(f(x)+(x+1){f}'(x)\big)\mathrm{d}x=1$ .
Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei a graficului funcției $g:[2,3]\to\mathbb{R}$ , $g(x)=\frac{\ln x}{f(x)}$ .