Subiectul III

Se consideră funcția $f:(0,+\infty)\to \mathbb{R}$ , $f(x)= x\ln x-x+1$ .

Arătați că $\lim_{x\to e} f(x)=1$ .
Arătați că $f'(x)=\ln x, x \in (0, + \infty )$ .
Arătați că $f(x)\geq 0$ pentru orice $x\in (0, + \infty)$ .

Calculăm $\lim_{x\to e} f(x).$

$\begin{align*} \lim_{x\to \mathrm{e}}f(x)&=\lim_{x\to \mathrm{e}}(x\ln x-x+1)\\ &=\mathrm{e} \ln \mathrm{e}-\mathrm{e}+1\\ &=\mathrm{e}\cdot 1-\mathrm{e}+1\\ &=\mathrm{e}-\mathrm{e}+1\\ &=0+1\\ &=1 \end{align*}$

Rezultă că:

$\lim_{x\to e} f(x)=1.$

Calculăm pentru orice număr $x \in (0, + \infty )$ .

$\begin{align*} f'(x)&= (x\ln x -x+1)' \\ & = x' \ln x + x (\ln x)'-x' +1'\\ &= 1\cdot \ln x+x\cdot \frac{1}{x}-1+0 \\& = \ln x + 1-1 \\& = \ln x \end{align*}$

Rezultă că:

$f'(x)=\ln x, x \in (0, + \infty ).$

Am văzut, la punctul b., că:

$f'(x)=\ln x, x \in (0, + \infty )$

Rezolvăm ecuația f'(x)=0 .

$\begin{align*} &{f}'(x)=0\Leftrightarrow\\&\Leftrightarrow \ln x=0\\& \Leftrightarrow x=1 \end{align*}$

Atunci:

$\ln x<0,\forall x\in (0,1)\Leftrightarrow {f}'(x)<0, \forall x\in (0,1)$

$\ln x>0,\forall x\in (1,+\infty)\Leftrightarrow {f}'(x)>0, \forall x\in (1,+\infty)$

Deci:

$f(x)\geq f(1) \Leftrightarrow f(x)\geq 0, \forall x\in (0,+\infty).$

Se consideră funcția $f:(-3,+ \infty ) \to \mathbb{ R}$ , $f(x)=\frac{ 1}{x^2+8x+15}$ .

Arătați că $\int_{0}^{2014} (x+3)(x+5)f(x)\mathrm{d}x=2014$ .
Arătați că $\int_{-1}^{1} f(x) \cdot f'(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{144}$ .
Determinați numărul real , știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției , axa și dreptele de ecuații și , are aria egală cu $\frac{1}{2}\ln \frac{10}{9}$ .

Calculăm $\int_{0}^{2014} (x+3)(x+5)f(x)\mathrm{d}x.$

$\begin{align*} &\int_{0}^{2014} (x+3)(x+5)f(x) \mathrm{d}x=\\\\&=\int_{0}^{2014} \frac{(x+3)(x+5)}{x^2+8x+15} \mathrm{d}x \\\\& =\int_{0}^{2014} \frac{x^2+5x+3x+3\cdot5}{x^2+8x+15} \mathrm{d}x\\\\&= \int_{0}^{2014}\frac{x^2+8x+15}{x^2+8x+15} \mathrm{d}x \\\\ &= \int_{0}^{2014} 1 \mathrm{d}x \\\\&= x\Big|_0^{2014}\\\\&= 2014-0 \\\\&= 2014 \end{align*}$

Rezultă că:

$\int_{0}^{2014} (x+3)(x+5)f(x)\mathrm{d}x=2014.$

Arătăm că $\int_{-1}^{1} f(x) \cdot f'(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{144}$ .

$\begin{align*} \int_{-1}^{1} f(x)\cdot f'(x) dx &=\int_{-1}^{1} \frac{1}{(x+3)(x+5)} \cdot \Big(-\frac{[(x+3)(x+5)]'}{(x+3)^2(x+5)^2}\Big)dx\\\\&= -\int_{-1}^{1} \frac{x+5+x+3}{(x+3)^3(x+5)^3}dx\\\\ &=-\int_{-1}^{1} \frac{2x+8}{(x+3)^3(x+5)^3}dx \end{align*}$

Observăm că

$\begin{align*} \frac{1}{2}f^2(x)&=\frac{1}{2} {\Big[\frac{1}{(x+3)^2(x+5)^2}\Big]}'\\\\ &=\frac{1}{2}\cdot \frac{{1}'(x+3)^2(x+5)^2-1\cdot{[(x+3)^2(x+5)^2]}'}{(x+3)^4(x+5)^4}\\\\ &=\frac{1}{2}\cdot \frac{0\cdot(x+3)^2(x+5)^2-[2(x+3)(x+5)^2+(x+3)^2\cdot2(x+5)]}{(x+3)^4(x+5)^4}\\\\ &=\frac{1}{2}\cdot \frac{0-[2(x+3)(x+5)^2+(x+3)^2\cdot2(x+5)]}{(x+3)^4(x+5)^4}\\\\ &=-\frac{1}{2}\cdot \frac{2(x+3)(x+5)^2+(x+3)^2\cdot2(x+5)}{(x+3)^4(x+5)^4}\\\\ &=-\frac{1}{2}\cdot \frac{2(x+3)(x+5)(x+5+x+3)}{(x+3)^4(x+5)^4}\\\\ &=-\frac{2x+8}{(x+3)^3(x+5)^3}\\ \end{align*}$

Obținem:

$\begin{align*} \int_{-1}^{1} f(x)\cdot f'(x) dx &=\frac{1}{2} f^2(x)\Big|_{-1}^{1}\\\\&=\frac{1}{2}(f^2(1)-f^2(-1))\\\\&=\frac{1}{2}\Big(\frac{1}{16\cdot 36}- \frac{1}{4\cdot 16}\Big)\\\\&=\frac{1}{2}\Big(\frac{1}{576}-\frac{1}{64}\Big)\\\\&=\frac{1}{2}\cdot \frac{1-9}{576}\\\\&= \frac{1}{2}\cdot \frac{-8}{576}\\\\&=-\frac{1}{144} \end{align*}$

Rezultă că:

$\int_{-1}^{1} f(x) \cdot f'(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{144}.$

Din enunț, avem că $\mathcal{A}=\frac{1}{2}\ln \frac{10}{9}$ .

Dar, din formula ariei suprafaței plane delimitată de graficul funcției , axa și dreptele de ecuații x=0 și x=a

$\begin{align*} \mathcal{A}&=\int_{0}^{a} |f(x)|dx\\\\ &=\int_{0}^{a} \frac{1}{(x+4)^2-1} dx\\\\ &= \frac{1}{2}\ln \frac{x+3}{x+5}\Big|_0^a\\\\ &=\frac{1}{2}\ln \frac{5(a+3)}{3(a+5)} \end{align*}$

Rezultă că:

$\begin{align*} & \frac{5(a+3)}{3(a+5)}=\frac{10}{9}\Leftrightarrow\\ & \Leftrightarrow (5a+15)\cdot 9= 10\cdot(3a+15) \\ &\Leftrightarrow 45a+135=30a+150 \\ &\Leftrightarrow 45a-30a=150-135\\ &\Leftrightarrow 15 a= 15\\ &\Rightarrow a=1. \end{align*}$