Subiectul I

Determinați partea reală a numărului complex .

$\begin{align*} &z =3+2-2\cdot i \\ &z= 5-2 i \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow Re(z)=5. \end{align*}$

Arătați că știind că și sunt soluțiile ecuației .

Folosim relațiile lui Viete:

$\begin{align*} &x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\\\ &x_1+x_2=-\frac{-3}{1}\\\\ & x_1+x_2=3 \end{align*}$

$\begin{align*} &x_1\cdot x_2= \frac{c}{a} \\\\ & x_1\cdot x_2 = \frac{10}{1}\\\\ & x_1\cdot x_2=10 \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow x_1+x_2+2\cdot x_1\cdot x_2&= 3+ 2\cdot 10\\ & = 3+ 20 \\ &= 23 \end{align*}$

$\Rightarrow x_1+x_2+2x_1x_2=23.$

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^2+x+1}=1$ .

$\begin{align*}& \sqrt{x^2+x+1}=1\Leftrightarrow \\&\Leftrightarrow x^2+x+1=1\\ &\Leftrightarrow x^2+x=0\\ &\Leftrightarrow x(x+1)=0\\ &\Leftrightarrow x=0 \quad sau\quad x+1=0\\ &\Leftrightarrow x=0 \quad sau\quad x=-1 \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow x\in\{-1, 0\} \end{align*}$ .

Determinați câte numere naturale impare de trei cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii $\{1, 2, 3\}$ .

Cifra unităților poate fi aleasă în $\begin{align*} 2 \end{align*}$ moduri (putem alege pe $\begin{align*} 1 \end{align*}$ sau pe $\begin{align*} 3 \end{align*}$ ).
Cum cifrele sunt distincte, cifra zecilor poate fi aleasă în $\begin{align*} 2 \end{align*}$ moduri, iar cifra sutelor poate fi aleasă într-un singur mod.
Se pot forma 2⋅2⋅1= 4 numere (respectiv numerele $\begin{align*} 123 \end{align*}$ , $\begin{align*} 321 \end{align*}$ , $\begin{align*} 213 \end{align*}$ și $\begin{align*} 231 \end{align*}$ ).

Determinați numărul real pentru care dreptele de ecuații și sunt paralele.

Fie d_1:y=(a-1)x+1 și d_2:y=2x-3 .

$d_1||d_2\Rightarrow m_{d_1}=m_{d_2}$

$\begin{align*} &m_{d_1}= \frac{a-1}{1} \\\\ &m_{d_1}=a-1 \end{align*}$

$\begin{align*} &m_{d_2}= \frac{2}{1} \\\\ &m_{d_2}=2\end{align*}$

$\begin{align*} & m_{d_1}=m_{d_2}\Leftrightarrow \\ &\Leftrightarrow a-1=2\\ &\Leftrightarrow a-1=2\\ & \Leftrightarrow a= 2+1 \\ &\Leftrightarrow a=3. \end{align*}$

Determinați raza cercului circumscris triunghiului în care , și .

$\begin{align*} &AB^2=3^2=9\\ &AC^2= 4^2=16 \\ &BC^2=5^2=25 \end{align*}$

$\begin{align*} &\Rightarrow BC^2=AC^2+CA^2\\ &\Leftrightarrow 25=16+9\\ &\Leftrightarrow 25=25 \end{align*}$

Rezultă că $\begin{align*} \Delta ABC \end{align*}$ este triunghi dreptunghic cu $\begin{align*} A= \frac{\pi}{2} \end{align*}$ .

$\begin{align*} &\mathcal{A}_{\Delta ABC} = \frac{AB\cdot BC\cdot CA}{4\cdot R}\Leftrightarrow \\\\ &\Leftrightarrow \frac{AB\cdot AC}{2} = \frac{AB\cdot AC\cdot BC}{4\cdot R}\\\\ & \Leftrightarrow \frac{3\cdot 4}{2} = \frac{3\cdot 4 \cdot 5}{4 \cdot R}\\\\& \Leftrightarrow 6=\frac{60}{4R} \\\\ &\Leftrightarrow 6\cdot 4R= 60 \\\\ &\Leftrightarrow R= \frac{ 60}{ 6 \cdot 4}\\\\ &\Leftrightarrow R= \frac{60}{24}\\\\ &\Leftrightarrow R=\frac{5}{2}. \end{align*}$