Subiectul I

Arătați că numărul $\begin{align*} a&=3(2+5i)-5(1+3i)\end{align*}$ este real.

$\begin{align*} a&=3(2+5i)-5(1+3i)\\ &=3\cdot2+3\cdot5i-5\cdot1-5\cdot3i\\ &=6+15i-5-15i\\ &=1 \end{align*}$

$\begin{align*}\Leftrightarrow a&=1\in\mathbb{R}. \end{align*}$

Determinați coordonatele punctului de intersecție cu axa a graficului funcției $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=x^2+10x+25.$

$G_f\cap Ox \Rightarrow y=0$

$\begin{align*} &\Leftrightarrow f(x)=0\\ &\Leftrightarrow x^2+10x+25=0\\ &\Leftrightarrow (x+5)^2=0\\ &\Leftrightarrow \sqrt{(x+5)^2}=0\\ &\Leftrightarrow x+5=0\\ &\Leftrightarrow x=-5 \end{align*}$

Coordonatele punctului de intersecție cu axa a graficului funcției sunt x=-5 și y=0.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_3{\big(x^2+x+1\big)}=\log_3{\big(x+2\big)}$ .

Punem condițiile de existență:

$\begin{align*}&\begin{cases} 3>0,\ 3\neq1\\ x^2+x+1>0\\ x+2>0 \end{cases} \\& \Leftrightarrow \begin{cases} 3>0,\ 3\neq1\\ x^2+x+1>0\\ x>-2 \end{cases}\end{align*}$

$\begin{align*} & \log_3{\big(x^2+x+1\big)}=\log_3{\big(x+2\big)} \\ &\Leftrightarrow x^2+x+1=x+2\\ &\Leftrightarrow x^2+x+1-x-2=0\\ &\Leftrightarrow x^2-1=0\\ &\Leftrightarrow (x-1)(x+1)=0\\ &\Leftrightarrow x-1=0 \text{\ sau\ } x+1=0\\ &\Leftrightarrow x=1 \text{\ sau \ } x=-1 \end{align*}$

Soluțiile $\begin{align*} x=1 \end{align*}$ și $\begin{align*} x=-1 \end{align*}$ verifică ecuația dată.

După o ieftinire cu $10\%$ prețul unui produs este de lei. Calculați prețul produsului înainte de ieftinire.

Se notează cu prețul înainte de ieftinire. Atunci:

$\begin{align*} & x-10\% \cdot x=90 \\\\ &\Leftrightarrow x-\frac{10}{100}\cdot x=90\\\\ &\Leftrightarrow 100\cdot x-10\cdot x=90\cdot 100\\\\ &\Leftrightarrow 100x-10x=9000\\\\ &\Leftrightarrow 90x=9000\\\\ &\Leftrightarrow x=\frac{9000}{90}\\\\ &\Leftrightarrow x=100 \end{align*}$

Prețul produsului înainte de ieftinire este $\begin{align*} 100 \end{align*}$ de lei.

În reperul cartezian se consideră dreapta de ecuație și punctul . Determinați ecuația dreptei care trece prin și este paralelă cu .

Cele două drepte sunt paralele. Matematic se scrie astfel:

$\begin{align*} d\parallel h \Rightarrow m_d=m_h=1. \end{align*}$

Ecuația dreptei este:

$\begin{align*}& d: y-2=1\cdot(x-2)\\ &\Leftrightarrow d: y-2=x-2\\ &\Leftrightarrow d: y=x \end{align*}$

Ecuația dreptei care trece prin și este paralelă cu este $\begin{align*} d: y=x \end{align*}$ .

Calculați cosinusul unghiului al triunghiului în care $AB=5,\ AC=6$ și .

$\begin{align*} \cos{A}&=\displaystyle\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}\\\\ &=\displaystyle\frac{5^2+6^2-7^2}{2\cdot5\cdot6}\\\\ &=\displaystyle\frac{25+36-49}{2\cdot5\cdot6}\\\\ &=\displaystyle\frac{12}{2\cdot5\cdot6}\\\\ &=\displaystyle\frac{1}{5}\\ \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow \cos{A}&=\displaystyle\frac{1}{5}. \end{align*}$