Subiectul III

Se consideră funcția $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ , $f(x)=x+\ln x$ .

Arătați că $\lim_{x\to 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\frac{3}{2}$ .
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă .
Demonstrați că funcția este concavă pe $(0,+\infty)$ .

Calculăm $\lim_{x\to 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$ .

$\begin{align*} {f}'(x)&=\left(x+\ln x\right)'\\ &={x}'+{(\ln x)}'\\ &= 1+\displaystyle \frac{1}{x} \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow {f}'(x)= 1+\displaystyle \frac{1}{x} \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow {f}'(2)= 1+\displaystyle \frac{1}{2} \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow {f}'(2)= \displaystyle \frac{3}{2} \end{align*}$ .

Ecuația tangentei la graficul funcției $\begin{align*} f \end{align*}$ în punctul de abscisă $\begin{align*} x=x_0=1 \end{align*}$ este:

$\begin{align*}& y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0) \Leftrightarrow\\&\Leftrightarrow y-f(1)=f'(1)(x-1) \end{align*}$

$\begin{align*} f(1)&=1+\ln 1\\ &=1+0\\ &=1 \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow f(1)=1 \end{align*}$

$\begin{align*} {f}'(1)&=1 +\frac{1}{1}\\&=1+1\\ &=2 \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow {f}'(1)=2 \end{align*}$

Ecuația tangentei devine

$\begin{align*} &y-1=2(x-1)\Leftrightarrow \\&\Leftrightarrow y-1=2x-2 \\ &\Leftrightarrow y=2x-1. \end{align*}$

Calculăm ${f}''(x), x\in (0,+\infty)$ .

$\begin{align*} {f}''(x)&={ ({f}'(x))}'\\ \\ &={\Big(1+\displaystyle \frac{1}{x} \Big)}'\\\\ &=1'+{\Big(\displaystyle \frac{1}{x} \Big)}'\\\\ &=0+\Big(-\displaystyle \frac{1}{x^2} \Big)\\\\ &=-\displaystyle \frac{1}{x^2} \end{align*}$

$\begin{align*} {f}''(x)=-\displaystyle \frac{1}{x^2}, x\in(0,+\infty) \end{align*}$

$\begin{align*} -\frac{1}{x^2}<0,\forall x\in(0,+\infty) \end{align*}$

$\begin{align*}\Rightarrow {f}''(x)<0,\forall x\in(0,+\infty) \end{align*}$

Deci $\begin{align*}f \end{align*}$ este concavă pe $\begin{align*}(0,+\infty) \end{align*}$ .

Pentru fiecare număr natural nenul se consideră funcția $f_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , .

Calculați $\int_{0}^{1}f_1(x)\mathrm{d}x$ .
Arătați că funcția $f_{2011}$ este o primitivă a funcției $f_{2012}$ .
Demonstrați că $\int_{0}^{1}f_n(x)\mathrm{d}x\ge\frac{9n+5}{6}$ , pentru orice număr natural nenul , folosind eventual inegalitatea $e^x\ge x+1$ , adevărată pentru orice $x\in\mathbb{R}$ .

Calculăm $\int_{0}^{1}f_1(x)\mathrm{d}x$ .

$\begin{align*} \int_{0}^{1} f_1(x)\mathrm{d}x&= \int_{0}^{1} (x+1) \cdot e^x \mathrm{d}x \\\\ &= \int_{0}^{1} (x+1)(e^x)' \mathrm{d}x\\\\ & =(x+1) e^x\Big|_0^1 -\int_{0}^{1}{(x+1)}' e^x \mathrm{d}x\\\\ &=(1+1)e^1-(0+1)e^0-\int_{0}^{1} e^x \mathrm{d}x\\\\ &= 2e-1\cdot 1-e^x\Big|_0^1\\\\ &=2e-1-(e-1)\\\\ &=2e-1-e+1\\\\ &=e+0\\\\ &=e \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow \int_{0}^{1} f_1(x)\mathrm{d}x=e. \end{align*}$

Funcția $f_{2011}(x)=(x+2011)e^x$ este derivabilă (fiind compusa unor funcții elementare derivabile). Calculăm ${f}'_{2011}$ .

$\begin{align*} f'_{2011}&=((x+2011)\cdot e^x)' \\&= e^x{(x+2011)}'+(x+2011)\cdot {e^x}'\\ &=e^x(1+0)+(x+2011)e^x\\ &=e^x+(x+2011)e^x\\ &= e^x(x+2011+1)\\&=(x+2012)\cdot e^x\\&= f_{2012}(x) \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow f'_{2011}(x)= f_{2012}(x) \end{align*}$

Rezultă că $\begin{align*} f_{2011} \end{align*}$ este o primitivă pentru $\begin{align*} f_{2012} \end{align*}$ .

Fie $x\in\mathbb{R}$ .

$\begin{align*} &e^x\geq x+1|\cdot (x+n)\Leftrightarrow \\\\ &\Leftrightarrow (x+n)e^x\geq (x+n)(x+1) \\\\&\Leftrightarrow (x+n)e^x\geq x^2+(n+1)x+n \\\\ &\Leftrightarrow\int_{0}^{1} (x+n)e^n \mathrm{d}x\geq \int_{0}^{1}(x^2+(n+1)x+n)\mathrm{d}x \\\\ &\Leftrightarrow \int_{0}^{1} (x+n)e^x \mathrm{d}x \geq \left(\displaystyle \frac{x^3}{3}+(n+1)\displaystyle\frac{x^2}{2}+nx\right)\Big|_0^1 \\\\ &\Leftrightarrow \int_{0}^{1} (x+n)e^x\mathrm{d}x \geq \displaystyle \frac{1^3}{3}+(n+1)\displaystyle\frac{1^2}{2}+n\cdot 1- \Big(\displaystyle \frac{0^3}{3}+(n+1)\displaystyle\frac{0^2}{2}+n\cdot 0\Big)\\\\ &\Leftrightarrow \int_{0}^{1} (x+n)e^x\mathrm{d}x \geq \displaystyle \frac{1}{3}+\displaystyle\frac{n+1}{2}+n-0 \\\\ &\Leftrightarrow \int_{0}^{1} (x+n)e^x\mathrm{d}x\geq \displaystyle\frac{2+3n+3+6n}{6} \\\\ &\Leftrightarrow \int_{0}^{1} (x+n)e^x \mathrm{d}x \geq \displaystyle \frac{9n+5}{6}. \end{align*}$