Subiectul II

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=xy-x-y+5$ .

Calculați $0\ast 1$ .

$\begin{align*} 0\ast 1&=0\cdot 1-0-1+5\\ &=0-0-1+5\\ &=4 \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow 0\ast 1=4 \end{align*}$ .

Arătați că legea de compoziție $_"\ast"$ este comutativă.

Calculăm $\begin{align*} y\ast x \end{align*}$ .

$\begin{align*} y\ast x=yx-y-x+5 \end{align*}$

Cum adunarea(scăderea) și înmulțirea numerelor reale sunt operații comutative $\begin{align*} \Rightarrow \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow y\ast x=xy-x-y+5 \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow y\ast x=x\ast y \end{align*}$

Rezultă că legea de compoziție $\begin{align*} _"\ast" \end{align*}$ este comutativă.

Arătați că $x\ast y=(x-1)(y-1)+4$ pentru orice numere reale și .

Fie $\begin{align*} x, y\in\mathbb{R} \end{align*}$ .

$\begin{align*} x\ast y&= xy-x-y+5\\ &=xy-x-y+1+4\\ &=x(y-1)-(y-1)+4\\ &=(y-1)(x-1)+4 \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow x\ast y=(y-1)(x-1)+4, \forall x,y\in\mathbb{R} \end{align*}$ .

Verifcați dacă $x\ast 1=4$ pentru orice număr real .

Metoda I (folosim expresia legii dată în enunț)

$\begin{align*} x\ast 1&=x\cdot 1-x-1+5\\ &=x-x-1+5\\ &=-1+5\\ &=4 \end{align*}$

Metoda II (folosim relația găsită la punctul 3.)

$\begin{align*} x\ast 1&=(x-1)(1-1)+4\\ &=(x-1)\cdot 0+4\\ &=0+4\\ &=4 \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow x\ast 1=4, \forall x\in\mathbb{R} \end{align*}$ .

Determinați numerele reale știind că $x\ast x=8$ .

Metoda I (folosim expresia legii dată în enunț)

$\begin{align*} x\ast x=8&\Leftrightarrow x\cdot x-x-x+5=8\\ &\Leftrightarrow x^2-2x+5-8=0\\ &\Leftrightarrow x^2-2x-3=0 \end{align*}$

$\begin{align*} &\Delta=(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-3)\\ &\Delta=4+12\\ &\Delta=16 \end{align*}$

$\begin{align*} x_1&=\frac{-(-2)-\sqrt{16}}{2\cdot 1}\\\\ &=\frac{2-4}{2}\\\\ &=\frac{-2}{2}\\\\ &=-1 \end{align*}$

$\begin{align*} x_2&=\frac{-(-2)+\sqrt{16}}{2\cdot 1}\\\\ &=\frac{2+4}{2}\\\\ &=\frac{6}{2}\\\\ &=3 \end{align*}$

Metoda II (folosim relația găsită la punctul 3.)

$\begin{align*} x\ast x=8&\Leftrightarrow (x-1)(x-1)+4=8\\ &\Leftrightarrow (x-1)^2=8-4\\ &\Leftrightarrow (x-1)^2=4\\ &\Leftrightarrow x-1=\pm 2\\ \end{align*}$

$\begin{align*} x-1=-2&\Leftrightarrow x=-2+1\\ &\Leftrightarrow x=-1 \end{align*}$

$\begin{align*} x-1=2&\Leftrightarrow x=2+1\\ &\Leftrightarrow x=3 \end{align*}$

Soluțiile ecuației sunt $\begin{align*} x_1=-1\end{align*}$ și $\begin{align*} x_2=3\end{align*}$ .

Determinați numărul perechilor de numere întregi știind că $m\ast n=5$ .

$\begin{align*} m\ast n=5&\Leftrightarrow (m-1)(n-1)+4=5\\ &\Leftrightarrow (m-1)(n-1)=5-4\\ &\Leftrightarrow (m-1)(n-1)=1 \end{align*}$

Observăm că $\begin{align*} 1\cdot 1=(-1)\cdot (-1)=1 \end{align*}$ .

$\Rightarrow \begin{cases} &m-1=1\\ &n-1=1 \end{cases} \quad sau \quad \begin{cases} &m-1=-1\\ &n-1=-1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} &m=1+1\\ &n=1+1 \end{cases} \quad sau \quad \begin{cases} &m=-1+1\\ &n=-1+1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} &m=2\\ &n=2 \end{cases} \quad sau \quad \begin{cases} &m=0\\ &n=0 \end{cases}$

Rezultă că sunt perechi de numere întregi care verifică relația dată.