Bacalaureat Matematică 2014 | Pedagogic | Sesiunea august-septembrie

[0]

Subiectul I

Scrieți în ordine crescătoare numerele , $\sqrt{9}$ și .

2014^0=1

$\sqrt{9}=3$

$\begin{align*} &\Rightarrow 1<2<3\\ &\Leftrightarrow 2014^0<2<\sqrt{9}. \end{align*}$

Determinați coordonatele punctului de intersecție dintre graficul funcției $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , și axa .

$\begin{align*} &f(x)=0\Leftrightarrow \\ &\Leftrightarrow 2x-4=0\\ &\Leftrightarrow 2x=0+4\\ &\Leftrightarrow 2x=4\\ &\Leftrightarrow x=\frac{4}{2}\\ &\Leftrightarrow x=2 \end{align*}$

$\begin{align*} f(2)&=2\cdot 2-4\\ &=4-4\\ &=0 \end{align*}$

Coordonatele punctului de intersecție cu axa sunt $\begin{align*}x=2 \end{align*}$ și $\begin{align*}y=0 \end{align*}$ .

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2^{2x+1}=2^{-1}$ .

$\begin{align*} &2^{2x+1}=2^{-1}\Leftrightarrow \\&\Leftrightarrow 2x+1=-1\\ &\Leftrightarrow 2x=-1-1\\ &\Leftrightarrow 2x=-2\\ &\Leftrightarrow x=\frac{-2}{2}\\ &\Leftrightarrow x=-1 \end{align*}$

Rezultă că $\begin{align*} x=-1 \end{align*}$ verifică ecuația dată.

Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma cu cifrele și .

1, 3, 5, 7, 9 sunt cifre pare.

Cifra unităților se poate alege în moduri.

Cum cifrele sunt distincte, cifra zecilor poate fi aleasă în moduri, iar cifra sutelor poate fi aleasă în moduri.

De exemplu, dacă luăm pe pentru cifra unităților, pentru cifra zecilor rămân 3, 5, 7, 9 .

Apoi, fixăm pe ca cifra zecilor, iar pentru cifra sutelor rămân doar 5, 7 și 9.

Astfel se pot forma:

$5\cdot 4\cdot 3=60$ numere.

În reperul cartezian se consideră punctele , și . Arătați că triunghiul este isoscel.

$\begin{align*} AB&=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-x_A)^2}\\ &=\sqrt{(5-2)^2+(2-2)^2}\\ &=\sqrt{3^2+0^2}\\ &=\sqrt{9+0}\\ &=\sqrt{9}\\ &=3 \end{align*}$

$\begin{align*} AC&=\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-x_A)^2}\\ &=\sqrt{(2-2)^2+(5-2)^2}\\ &=\sqrt{0^2+3^2}\\ &=\sqrt{0+9}\\ &=\sqrt{9}\\ &=3 \end{align*}$

$\begin{align*} &\Rightarrow AB=AC=3\\ \end{align*}$

Rezultă că $\begin{align*} \Delta ABC \end{align*}$ este isoscel.

Calculați aria triunghiului dreptunghic în știind că și .

Cum $\begin{align*} \Delta ABC \end{align*}$ este dreptunghic în , avem că și sunt catete.

$\mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}$

Aplicăm teorema lui Pitagora în $\begin{align*} \Delta ABC \end{align*}$ dreptunghic în .

$\begin{align*} &BC^2=AB^2+AC^2\\ &AC^2=BC^2-AB^2\\ &AC^2=13^2-5^2\\ &AC^2=169-25\\ &AC^2=144\\ &AC=12 \end{align*}$

$\Rightarrow \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{5\cdot12}{2}$

$\Leftrightarrow \mathcal{A}_{\Delta ABC}=30$