Subiectul II

Se consideră matricea $A(m)=\begin{pmatrix} -m &1 &1 \\ 1 &-m & 1\\ 1 & 1 & -m \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\left\{\begin{matrix} -mx+y+z=-1 \\ x-my+z=-1 \\ x+y-mz=m \end{matrix}\right.$ , unde este număr real.

Arătați că $\det \big(A(0)\big)=2$ .
Demonstrați că matricea este inversabilă, pentru orice număr real , $m \ne -1$ și $m \ne 2$ .
Pentru , determinați soluția a sistemului pentru care .

Rezolvare:

Scriem mai întâi matricea :

$\begin{align*} A(0)=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{align*}$ .

Calculăm acum $\det \big(A(0)\big)$ :

$\begin{align*} \det \left(A(0)\right)&=\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}\\ &=0\cdot 0\cdot 0+1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot 1-0\cdot 1\cdot 1-0\cdot 1\cdot 1-0\cdot 1\cdot 1\\ &=0+1+1-0-0-0\\ &=2\\ \end{align*}$

$\begin{align*} &\Leftrightarrow \det \left(A(0)\right)=2 \end{align*}$ .

Matricea $\begin{align*} A(m) \end{align*}$ este inversabilă dacă și numai dacă $\begin{align*} \det \left(A(m)\right)\neq 0 \end{align*}$ .

Calculăm $\begin{align*} \det \left(A(m)\right) \end{align*}$ :

$\begin{align*} \det \left(A(m)\right)=\begin{vmatrix} -m & 1 & 1\\ 1 & -m & 1\\ 1 & 1 & -m \end{vmatrix}\\ \end{align*}$

$\begin{align*} &=-m\cdot (-m)\cdot (-m)+1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot 1-1\cdot (-m)\cdot 1-1\cdot (-m)\cdot 1-1\cdot (-m)\cdot 1\\ &=-m^3+1+1+m+m+m\\ &=-m^3+3m+2\\ \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow \det(A(m))=-m^3+3m+2\\ \end{align*}$ .

Aflăm soluțiile ecuației:

$\begin{align*} &-m^3+3m+2=0\ \Big|\cdot (-1)\\\\ &\Leftrightarrow m^3-3m-2=0\\\\ &\Leftrightarrow m^3-m-2m-2=0\\\\ &\Leftrightarrow (m^3-m)-(2m+2)=0\\\\ &\Leftrightarrow m(m^2-1)-2(m+1)=0\\\\ &\Leftrightarrow m(m-1)(m+1)-2(m+1)=0\\\\ &\Leftrightarrow (m+1)\left[m(m-1)-2\right]=0\\\\ &\Leftrightarrow (m+1)(m^2-m-2)=0\\\\ &\Leftrightarrow m+1=0\text{ sau }m^2-m-2=0\\\\ &\Leftrightarrow m=-1\text{ sau }m^2-m-2=0\\ \end{align*}$

Luăm separat cea de-a doua ecuație și o rezolvăm:

$\begin{align*} &m^2-m-2=0\\ \end{align*}$

$\begin{align*} \Delta&= b^2-4ac\\ &=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-2)\\ &=1+8\\ &=9\\ \end{align*}$

$\begin{align*} &\Leftrightarrow \Delta=9 \end{align*}$

$\begin{align*} &\Rightarrow \sqrt{\Delta}=3 \end{align*}$

$\begin{align*} m_1&=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\ &=\frac{-(-1)+3}{2\cdot 1}\\\\ &=\frac{1+3}{2}\\\\ &=\frac{4}{2}\\\\ &=2\\ \end{align*}$

$\begin{align*} &\Leftrightarrow m_1=2 \end{align*}$ .

$\begin{align*} m_2&=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\ &=\frac{-(-1)-3}{2\cdot 1}\\\\ &=\frac{1-3}{2}\\\\ &=\frac{-2}{2}\\\\ &=-1\\ \end{align*}$

$\begin{align*} &\Leftrightarrow m_2=-1 \end{align*}$ .

Pentru $\begin{align*} m\in\mathbb{R}\setminus\{-1,2\} \end{align*}$ avem că $\begin{align*} \det \left(A(m)\right)\neq 0 \end{align*}$ , de unde ne rezultă că $\begin{align*} A(m) \end{align*}$ este o matrice inversabilă.

Pentru $\begin{align*} m=2 \end{align*}$ avem:

$\begin{align*} \begin{cases} -2x+y+z=-1 \\ x-2y+z=-1 \\ x+y-2z=2 \end{cases} \end{align*}$ .

Matricea asociată sistemului este:

$\begin{align*} B=\begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix} \end{align*}$

$\bar{B}=\left( \begin{array}{cccc} -2 & 1 & 1 & \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{array} \right| \left. \begin{array}{c} -1\\ -1\\ 2 \end{array} \right)$ .

Calculăm $\det(B)$ :

$\begin{align*} \det (B)&=\begin{vmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix}\\ \end{align*}$

$\begin{align*} &=-2\cdot (-2)\cdot (-2)+1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot 1-1\cdot (-2)\cdot 1-1\cdot (-2)\cdot 1-1\cdot (-2)\cdot 1\\ &=-8+1+1+2+2+2\\ &=0\\ \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow \det(B)=0\\ \end{align*}$ .

Aflăm rangul matricii $\begin{align*} B \end{align*}$ .

Cum $\begin{align*} \det (B)&=0 \end{align*}$ , ne rezultă că $\begin{align*} rang \ B< 3 \end{align*}$ .

Pentru aceasta calculăm determinantul principal:

$\begin{align*} d_p&=\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix}\\ &=-2\cdot (-2)-1\cdot 1\\ &=4-1\\ &=3 \end{align*}$

$\begin{align*} d_p=3\neq 0 \Rightarrow \text { rang } B=2 \end{align*}$ .

Matricea $\overline{B}$ are un minor caracteristic:

$\begin{align*} d_c&=\begin{vmatrix} -2 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix}\\ &=-2\cdot (-2)\cdot (-2)+1\cdot 1\cdot (-1)+1\cdot 1\cdot (-1)-\\ &-1\cdot (-2)\cdot (-1)-1\cdot (-2)\cdot (-1)-1\cdot (-2)\cdot 1\\ &=-8-1-1-2-2+2\\ &=-12\\ \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow d_c=-12\neq 0 \end{align*}$ .

Sistemul este compatibil nedeterminat.

Notăm $\begin{align*} z=\alpha \end{align*}$ , $\begin{align*} \alpha\in\mathbb{R} \end{align*}$ .

Sistemul devine:

$\begin{align*} &\begin{cases} -2x+y+\alpha=-1\\ x-2y+\alpha =-1 \end{cases}\\ &\Leftrightarrow \begin{cases} -2x+y=-1-\alpha\\ x-2y=-1-\alpha\ \Big|\cdot 2 \end{cases}\\ &\Leftrightarrow \begin{cases} -2x+y=-1-\alpha\\ 2x-4y=-2-2\alpha \end{cases}\\ &\noindent\rule{5cm}{0.4pt} \ +\\ &\Rightarrow -3y=-3-3\alpha\ \Big|:(-3)\\ &\Leftrightarrow y=1+\alpha \end{align*}$

$\begin{align*} &\Rightarrow x-2(1+\alpha )=-1-\alpha\\ &\Leftrightarrow x-2-2\alpha=-1-\alpha\\ &\Leftrightarrow x=-1-\alpha+2+2\alpha\\ &\Leftrightarrow x=1+\alpha \end{align*}$

Am obținut soluția:

$S=\{\left(1+\alpha,1+\alpha,\alpha \right )\}$ .

Deoarece x_0 +2y_0 +3z_0 =9 , avem:

$\begin{align*} &1+\alpha+2(1+\alpha)+3\cdot\alpha=9\\\\ &\Leftrightarrow 1+\alpha+2+2\alpha+3\alpha=9\\\\ &\Leftrightarrow 6\alpha+3=9\\\\ &\Leftrightarrow 6\alpha=9-3\\\\ &\Leftrightarrow 6\alpha =6\ \Big|: 6\\\\ &\Leftrightarrow \alpha= 1 \end{align*}$

Așadar, sistemul are soluția:

$S=\{\left(2,2,1 \right )\}$ .

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de $x \ast y = -2 xy + 10 x + 10 y -45$ .

Arătați că $x\ast y=-2(x-5)(y-5)+5$ , pentru orice numere reale și .
Arătați că $1\ast2\ast3\ast4\ast5\ast6\ast7\ast8\ast9\ast10=5$ .
Determinaţi numerele naturale și , pentru care $m \ast n = 27$ .

Rezolvare:

Scriem sub o formă mai restrânsă legea dată:

$\begin{align*} x\ast y&=-2xy+10x+10y-45\\ \\&=-2xy+10x+10y-50+5\\\\ &=-2x(y-5)+10(y-5)+5\\\\ &=(y-5)(-2x+10)+5\\\\ &=(y-5)\cdot (-2)\cdot (x-5)+5\\\\ &=-2(x-5)(y-5)+5\\ \end{align*}$

$\begin{align*} &\Leftrightarrow x\ast y=-2(x-5)(y-5)+5, \forall\ x,y\in\mathbb{R} \end{align*}$ .

Calculăm $x\ast 5$ și $5\ast y$ , folosind formula de la punctul a) pentru orice și numere reale:

$\begin{align*} x\ast5&=-2(x-5)(5-5)+5\\ &=-2\cdot (x-5)\cdot 0+5\\ &=0+5\\ &=5\\ \end{align*}$

$\begin{align*} &\Leftrightarrow x\ast 5=5, \forall\ x\in\mathbb{R}\ (\lozenge ) \end{align*}$

$\begin{align*} 5\ast y&=-2(5-5)(y-5)+5\\ &=-2\cdot 0\cdot (y-5)+5\\ &=0+5\\ &=5\\ \end{align*}$

$\begin{align*} &\Leftrightarrow 5\ast y=5, \forall\ y\in\mathbb{R}\ (\lozenge\lozenge ) \end{align*}$

Notăm $\begin{align*} 1\ast 2\ast 3\ast 4=a \end{align*}$ și $\begin{align*} 6\ast 7\ast 8\ast 9\ast 10=b \end{align*}$ , cu $\begin{align*} a,b\in\mathbb{R} \end{align*}$ .

Atunci, folosind faptul că legea „ $\begin{align*} \ast \end{align*}$ ” este asociativă, obținem:

$\begin{align*} 1\ast 2\ast 3\ast4\ast5\ast6\ast7\ast8\ast9\ast10&=a\ast 5\ast b\\ &=(a\ast 5)\ast b\\ &\overset{(\lozenge )}{=}5\ast y\\ &\overset{(\lozenge\lozenge )}{=}5\\ \end{align*}$

$\begin{align*} &\Leftrightarrow 1\ast 2\ast 3\ast4\ast5\ast6\ast7\ast8\ast9\ast10=5 \end{align*}$ .

Rezolvăm ecuația $m \ast n = 27$ :

$\begin{align*} &m\ast n=27\\\\ &\Leftrightarrow -2(m-5)(n-5)+5=27\\\\ &\Leftrightarrow -2(m-5)(n-5)=27-5\\\\ &\Leftrightarrow -2(m-5)(n-5)=22\ \Big|:(-2)\\\\ &\Leftrightarrow (m-5)(n-5)=-11 \end{align*}$

Cum $\begin{align*} m,n\in\mathbb{N} \end{align*}$ , avem:

$\begin{align*} (m-5)(n-5)=-1\cdot 11 \end{align*}$

și obținem următoarele cazuri:

$\begin{align*} m-5=-1 \end{align*}$ și $\begin{align*} n-5=11 \end{align*}$

$\begin{align*} &\Leftrightarrow m=-1+5 \text{ \c si } n=11+5\\ &\Leftrightarrow m=4\in\mathbb{N} \text{ \c si } n=16\in\mathbb{N} \end{align*}$

$\begin{align*} m-5=-11 \end{align*}$ și $\begin{align*} n-5=1 \end{align*}$

$\begin{align*} &\Leftrightarrow m=-11+5 \text{ \c si } n=1+5\\ &\Leftrightarrow m=-6\notin\mathbb{N} \text{ \c si } n=6\in\mathbb{N}\\ \end{align*}$

$\begin{align*} m-5=1 \end{align*}$ și $\begin{align*} n-5=-11 \end{align*}$

$\begin{align*} &\Leftrightarrow m=1+5 \text{ \c si } n=-11+5\\ &\Leftrightarrow m=-6\in\mathbb{N} \text{ \c si } n=-6\notin\mathbb{N}\\ \end{align*}$