Subiectul III

Acestea sunt problemele de la Subiectul III a Sesiunii speciale de Bacalaureat 2015, disciplina matematică, profilul matematică-informatică. Pentru a vedea rezolvările complete ale acestor probleme, puteți citi ghidul nostru.

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}, f(x)=\displaystyle\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$ .
Arătați că $f^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{2(x-1)(x+1)}{(x^2+x+1)^2}, x\in \mathbb{R}$ .
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă , situat pe graficul funcției .
Calculați $\lim_{x\to + \infty} \big(f(x)\big)^x.$
Se consideră funcția $\tiny f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=e^x-2x$ .
Arătați că $\tiny \int_0^1 (f(x)+2x)\,\mathrm{d}x=\mathrm{e}-1.$
Determinați primitiva $\tiny F$ a funcției $\tiny f$ pentru care $\tiny \tiny F(1)=e-3$ .
Arătați că volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $\tiny Ox$ a graficului funcției $\tiny g:[0,1]\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)$ , este egal cu $\tiny \displaystyle\frac{\pi}{6}(3e^2-19)$ .