Subiectul II

Mai jos găsiți enunțurile problemelor de la Subiectul II, care s-au dat în sesiunea specială de Bacalaureat, în data de 29.05.2012, la disciplina matematică, profilul mate - info. Pentru a vedea rezolvările complete ale acestor probleme, consultați eBook-ul.

În $\mathcal{M}_3(\mathbb{C})$ se consideră matricele $I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0& 1 & 0\\ 0 &0 & 1 \end{pmatrix}$ și $A(x)=\begin{pmatrix} \cos x & 0 &i\sin x\\ 0& 1 & 0\\ i\sin x &0 &\cos x \end{pmatrix}$ , unde $x\in\mathbb{R}$ .

Calculați $\det \big(A(\pi)\big)$ .
Arătați că $A(x)\cdot A(y)=A(x+y)$ pentru orice $x, y\in\mathbb{R}$ .
Determinați numerele reale pentru care $\big(A(x)\big)^{2012}=I_3$ .

Pe mulțimea se definește legea de compoziție asociativă $x\circ y=\frac{xy}{2xy-x-y+1}$ .

Arătați că $e=\frac{1}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție $_"\circ"$ .
Arătați că orice element din mulțimea este simetrizabil în raport cu legea de compoziție $_"\circ"$ .
Demonstrați că $f:G\to\mathbb{R}^*_+$ , $f(x)=\frac{1}{x}-1$ este izomorfism de la grupul $\big(G,\circ\big)$ la grupul $\big(\mathbb{R}^*_+,\cdot\big)$ .