Subiectul III

Acestea sunt enunțurile problemelor de la Subiectul III care s-au dat în sesiunea august - septembrie, din data de 29.08.2012, la disciplina matematică, pentru profilul matematică - informatică. Pentru a vedea rezolvările complete ale acestor probleme, accesați ghidul nostru. 

  1. Se consideră funcția f:\mathbb{R}\to(0, +\infty)f(x)=x+\sqrt{x^2+1}.
  1. Calculați \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-1}{x}.
  2. Determinați ecuația asimptotei oblice spre +\infty la graficul funcției f.
  3. Demonstrați că, pentru orice număr real m>0, ecuația f(x)=m are o soluție unică în \mathbb{R}.
  1. Pentru fiecare număr natural nenul p, se consideră numărul I_p=\int_{0}^{1}x^pe^{x^2}\mathrm{d}x.
  1. Calculați I_1.
  2. Arătați că 2I_p+(p-1)I_{p-2}=e, pentru orice p\ge 3.
  3. Calculați \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n^2}\Big(e^{\frac{1^2}{n^2}}+2e^{\frac{2^2}{n^2}}+\cdots+ne^{\frac{n^2}{n^2}}\Big).

Textul de mai sus este doar un extras. Numai membrii pot citi întregul conținut.

Obține acces la întregul eBook.

Ca membru al Liceunet.ro, beneficiezi de acces la întregul conținut.

Achiziționează un abonament acum

Deja membru? Log in