Subiectul III

O sursă de lumină monocromatică S_0 este așezată pe axa de simetrie a unui dispozitiv Young la distanța d=20 \ \text{cm} de planul fantelor S_1 și S_2. Sursa emite o radiație cu lungimea de undă \lambda _1=500 \ \text{nm}. Distanța dintre fante este 2\ell=1 \ \text{mm}, iar distanța de la planul fantelor la ecran este D=2 \ \text{m}.

  1. Determinați distața dintre maximele de ordinul al doilea ale sistemului de franje format pe ecran.
  2. În dreptul uneia dintre fantele dispozitivului se așază, paralel cu planul fantelor, o lamă cu fețe plane și paralele de grosime 2 \ \mu \text{m}. Se constată că maximul central s-a deplasat în locul celei de a doua franje luminoase în absența lamei. Calculați indicele de refracție al materialului din care este confecționată lama.
  3. Se îndepărtează lama. Se înlocuiește sursa de lumină monocromatică cu o altă sursă care emite simultan două radiații cu lungimile de undă  \lambda _1=500 \ \text{nm} și \lambda _2=450 \ \text{nm}. Determinați distanța față de maximul central la care se realizează prima suprapunere a maximelor celor două radiații.
  4. Se deplasează sursa de lumină perpendicular pe axa de simetrie cu distanța h=0,2\ \text{mm}. Determinați distanța \Delta x_0 pe care se deplasează maximul central.

Rezolvare:

  1. Pentru dispozitivul Young, calculul interfranjei (distanța dintre două maxime succesive) este dată de formula:

i=\frac{\lambda_1 \cdot D}{2\cdot l}.

Distanța dintre maximul de ordinul 2 și centru este 2\cdot i.

Deci, distanța dintre două maxime de ordinul doi va fi d=4\cdot i.

\begin{align*} \Rightarrow d&=4\cdot \frac{\lambda_1 \cdot D}{2\cdot l}\\\\ &=4\cdot \frac{500\cdot 10^{-9}\cdot 2}{1\cdot 10^{-3}}\\\\ &=4000\cdot 10^{-6}\\\\ &=4\cdot 10^{-3} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow d=4\cdot 10^{-3}\ m \end{align*}.

  1. Poziția maximului al doilea față de centru este \begin{align*} d'=2\cdot i \end{align*}.

\begin{align*} &\Rightarrow d=2\cdot \frac{\lambda_1\cdot D}{2\cdot l}\\\\ & \Leftrightarrow d=\frac{\lambda _1\cdot D}{l}. \end{align*}

Deplasarea sistemului de franje se calculează cu formula:

\begin{align*} \Delta x=\frac{e\cdot D\cdot (n-1)}{2\cdot l} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow n-1=\frac{\Delta x\cdot 2\cdot l}{e\cdot D} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow n=\frac{\Delta x\cdot 2\cdot l}{e\cdot D}+1 \end{align*}

\begin{align*} \Delta x=d' \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow n&=\frac{d'\cdot 2\cdot l}{e\cdot D}+1\\\\ &=\frac{\dfrac{\lambda \cdot D}{l}\cdot 2\cdot l}{e\cdot D}+1\\\\ &=\frac{2\cdot \lambda }{e}+1\\\\ & =\frac{2\cdot 500\cdot 10^{-9}}{2\cdot 10^{-6}}+1\\\\ & =500\cdot 10^{-3}+1\\\\ &=0,5+1\\\\ &=1,5 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow n=1,5 \end{align*}.

  1. Pentru a calcula distanța la care se află un maxim de interferență față de centru, folosim formula:

\begin{align*} x_k=\frac{k\cdot \lambda \cdot D}{2l} \end{align*}.

\begin{align*} \Rightarrow x_{k_1}=\frac{k_1\cdot \lambda_1 \cdot D}{2l} \end{align*}

\begin{align*} x_{k_2}=\frac{k_2\cdot \lambda_2 \cdot D}{2l} \end{align*}.

Pentru a se suprapune două maxime, trebuie ca \begin{align*} x_{k_1} \end{align*} să fie egal cu \begin{align*} x_{k_2} \end{align*}.

\begin{align*} \Rightarrow \frac{k_1\cdot \lambda_1 \cdot D}{2l}=\frac{k_2\cdot \lambda_2 \cdot D}{2l} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow k_1\cdot \lambda _1=k_2\cdot \lambda _2 \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow \frac{k_1}{k_2}&=\frac{\lambda _2}{\lambda _1}\\\\ & =\frac{450}{500}\\\\ & =\frac{9}{10} \end{align*}

Se observă că fracția nu se mai poate reduce, deci primele maxime care se suprapun sunt cele de ordinul \begin{align*} 9 \end{align*} și \begin{align*} 10 \end{align*} (sursa \begin{align*} 1 \end{align*}, respectiv sursa \begin{align*} 2 \end{align*}).

Maximul de ordinul \begin{align*} 10 \end{align*} pentru sursa \begin{align*} 2 \end{align*} se află la distanța x_{2_{10}} față de centru:


\begin{align*} x_{2_{10}} &=\frac{10\cdot D\cdot \lambda _2}{2\cdot l}\\\\ &=\frac{10\cdot 2\cdot 450\cdot 10^{-9}}{1\cdot 10^{-3}}\\\\ & =9\cdot 10^{-3}\ m \\\\&=9 \end{align*}

\begin{align*}\Leftrightarrow x_{2_{10}} =9 \ mm \end{align*}.

  1. Deplasarea sistemului de franje se calculează cu formula:

\begin{align*} \Delta x_0&=\frac{h\cdot D}{d}\\\\ & =\frac{0,2\cdot 10^{-3}\cdot 2}{0,2}\\\\ & =2\cdot 10^{-3}\ m\\\\ & =2 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \Delta x_0& =2\ mm \end{align*}.