Subiectul II

Un obiect liniar este plasat perpendicular pe axa optică principală la distanța de 40 \ \text{cm} față de o lentilă L_1. Pe un ecran așezat corespunzător se observă o imagine clară de 3 ori mai mare decât obiectul. Se alipește de lentila L_1 o lentilă L_2. Același obiect este plasat, perpendicular pe axa optică principală a sistemului de lentile, la distanța de 60 \ \text{cm} față de sistem. Imaginea obiectului este virtuală și de 4 ori mai mare decât obiectul.

  1. Determinați distanța focală a lentilei L_1.
  2. Determinați convergența sistemului optic format din lentilele L_1 și L_2 alipite.
  3. Determinați distanța focală a lentilei L_2.
  4. Știind că lentila L_2 este plan concavă, determinați indicele de refracție al materialului din care este confecționată lentila, aceasta fiind plasată în aer (n_{\text{aer}}\cong 1). Raza de curbură a suprafeței sferice a lentilei este |R|=24 \ \text{cm}.

Rezolvare:

  1. Calculăm distanța focală a lentilei L_1.

\beta =\frac{y_2}{y_1}=\frac{x_2}{x_1} .

Deoarece x_1<0 și x_2>0, rezultă că \beta<0.

|\beta |=3

\Rightarrow \beta=-3

\Rightarrow -3=\frac{x_2}{-0,4}

\Leftrightarrow x_2=(-3)\cdot (-0,4)

\Leftrightarrow x_2=1,2\ m.

Din formula fundamentală a lentilelor subțiri, avem:

\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}=\frac{1}{f}

\frac{x_1-x_2}{x_1\cdot x_2}=\frac{1}{f}

\frac{x_1\cdot x_2}{x_1-x_2}=f

\begin{align*} \Rightarrow f&=\frac{-0,4\cdot 1,2}{-0,4-1,2}\\\\ &=\frac{0,48}{1,6}\\\\ & =0,3\ m \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow f =0,3\ m \end{align*}.

  1. Pentru sistemul optic format din lentilele L_1 și L_2 alipite, avem:

\begin{align*} \beta '=\frac{y_2'}{y_1'}=\frac{x_2'}{x_1'} \end{align*}.

Deoarece \begin{align*} x_1<0 \end{align*} și \begin{align*} x_2<0 \end{align*}, rezultă că \begin{align*} \beta' >0 \end{align*}.

\begin{align*}\Rightarrow \beta' =4 \end{align*}

\begin{align*} &x_1=0,6\ m \\&\Rightarrow x_2=4\cdot 0,6\\&\Leftrightarrow x_2=2,4\ m. \end{align*}

Din formula fundamentală a lentilelor subțiri, avem:

\begin{align*} \frac{1}{x_2'}-\frac{1}{x_1'}=\frac{1}{f'} \end{align*}

\begin{align*} \frac{x_1'-x_2'}{x_1'\cdot x_2'}=\frac{1}{f'} \end{align*}

\begin{align*} \frac{x_1'\cdot x_2'}{x_1'- x_2'}=f' \end{align*}

\begin{align*} f'&= \frac{0,6\cdot 2,4}{2,4-0,6}\\\\ &=\frac{1,44}{1,8}\\\\ & =0,8 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow f'& =0,8\ m \end{align*}.

Atunci:

\begin{align*} C&=\frac{1}{f'}\\\\&=\frac{1}{0,8}\\\\& =1,25 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow C=1,25\ m^{-1} \end{align*}.

  1. Calculăm distanța focală a lentilei L_2.

C_{sistem}=C_1+C_2

C_{sistem}=\frac{1}{f}

\frac{1}{f}=\frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2}

\frac{1}{f_2}=\frac{1}{f_{sistem}}-\frac{1}{f_1}

\frac{1}{f_{2}}=\frac{f_{1}-f_{sistem}}{f_{sistem}\cdot f_1}

\begin{align*} f_2&=\frac{f_{sistem}\cdot f_1}{f_{1}-f_{sistem}}\\\\ & =\frac{0,3\cdot 0,8}{0,8-0,3}\\\\ &=\frac{0,24}{0,5}\\\\ &=0,48 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow f_2&=0,48\ m \end{align*}.

  1. Avem:

\begin{align*} \frac{1}{f}=\left (\frac{n_2}{n_1}-1 \right )\cdot \left (\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2} \right ) \end{align*}

\begin{align*} n_1=1 \end{align*}

\begin{align*} &R_1\rightarrow \infty\\& \Rightarrow \frac{1}{R_1}\rightarrow 0 \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow \frac{1}{f_2}=(n_2-1)\cdot \left (-\frac{1}{R_2} \right ) \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow n_2-1=-\frac{R_2}{f_2} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow n_2=1-\frac{R_2}{f_2} \end{align*}

\begin{align*} R_2<0\Rightarrow \frac{R_2}{f_2}<0 \end{align*}

\begin{align*} R_2=-0,24\ m \end{align*}

\begin{align*} n_2&=1-\frac{-0,24}{0,48}\\\\&=1+0,5\\\\&=1,5 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow n_2=1,5 \end{align*}.