Subiectul II

Un obiect liniar este plasat perpendicular pe axa optică principală la distanța de $40 \ \text{cm}$ față de o lentilă L_1 . Pe un ecran așezat corespunzător se observă o imagine clară de ori mai mare decât obiectul. Se alipește de lentila L_1 o lentilă L_2 . Același obiect este plasat, perpendicular pe axa optică principală a sistemului de lentile, la distanța de $60 \ \text{cm}$ față de sistem. Imaginea obiectului este virtuală și de ori mai mare decât obiectul.

Determinați distanța focală a lentilei .
Determinați convergența sistemului optic format din lentilele și alipite.
Determinați distanța focală a lentilei .
Știind că lentila este plan concavă, determinați indicele de refracție al materialului din care este confecționată lentila, aceasta fiind plasată în aer $(n_{\text{aer}}\cong 1)$ . Raza de curbură a suprafeței sferice a lentilei este $|R|=24 \ \text{cm}$ .

Rezolvare:

Calculăm distanța focală a lentilei .

$\beta =\frac{y_2}{y_1}=\frac{x_2}{x_1}$ .

Deoarece x_1<0 și x_2>0 , rezultă că $\beta<0$ .

$|\beta |=3$

$\Rightarrow \beta=-3$

$\Rightarrow -3=\frac{x_2}{-0,4}$

$\Leftrightarrow x_2=(-3)\cdot (-0,4)$

$\Leftrightarrow x_2=1,2\ m$ .

Din formula fundamentală a lentilelor subțiri, avem:

$\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}=\frac{1}{f}$

$\frac{x_1-x_2}{x_1\cdot x_2}=\frac{1}{f}$

$\frac{x_1\cdot x_2}{x_1-x_2}=f$

$\begin{align*} \Rightarrow f&=\frac{-0,4\cdot 1,2}{-0,4-1,2}\\\\ &=\frac{0,48}{1,6}\\\\ & =0,3\ m \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow f =0,3\ m \end{align*}$ .

Pentru sistemul optic format din lentilele și alipite, avem:

$\begin{align*} \beta '=\frac{y_2'}{y_1'}=\frac{x_2'}{x_1'} \end{align*}$ .

Deoarece $\begin{align*} x_1<0 \end{align*}$ și $\begin{align*} x_2<0 \end{align*}$ , rezultă că $\begin{align*} \beta' >0 \end{align*}$ .

$\begin{align*}\Rightarrow \beta' =4 \end{align*}$

$\begin{align*} &x_1=0,6\ m \\&\Rightarrow x_2=4\cdot 0,6\\&\Leftrightarrow x_2=2,4\ m. \end{align*}$

Din formula fundamentală a lentilelor subțiri, avem:

$\begin{align*} \frac{1}{x_2'}-\frac{1}{x_1'}=\frac{1}{f'} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{x_1'-x_2'}{x_1'\cdot x_2'}=\frac{1}{f'} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{x_1'\cdot x_2'}{x_1'- x_2'}=f' \end{align*}$

$\begin{align*} f'&= \frac{0,6\cdot 2,4}{2,4-0,6}\\\\ &=\frac{1,44}{1,8}\\\\ & =0,8 \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow f'& =0,8\ m \end{align*}$ .

Atunci:

$\begin{align*} C&=\frac{1}{f'}\\\\&=\frac{1}{0,8}\\\\& =1,25 \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow C=1,25\ m^{-1} \end{align*}$ .

Calculăm distanța focală a lentilei .

$C_{sistem}=C_1+C_2$

$C_{sistem}=\frac{1}{f}$

$\frac{1}{f}=\frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2}$

$\frac{1}{f_2}=\frac{1}{f_{sistem}}-\frac{1}{f_1}$

$\frac{1}{f_{2}}=\frac{f_{1}-f_{sistem}}{f_{sistem}\cdot f_1}$

$\begin{align*} f_2&=\frac{f_{sistem}\cdot f_1}{f_{1}-f_{sistem}}\\\\ & =\frac{0,3\cdot 0,8}{0,8-0,3}\\\\ &=\frac{0,24}{0,5}\\\\ &=0,48 \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow f_2&=0,48\ m \end{align*}$ .

Avem:

$\begin{align*} \frac{1}{f}=\left (\frac{n_2}{n_1}-1 \right )\cdot \left (\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2} \right ) \end{align*}$

$\begin{align*} n_1=1 \end{align*}$

$\begin{align*} &R_1\rightarrow \infty\\& \Rightarrow \frac{1}{R_1}\rightarrow 0 \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow \frac{1}{f_2}=(n_2-1)\cdot \left (-\frac{1}{R_2} \right ) \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow n_2-1=-\frac{R_2}{f_2} \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow n_2=1-\frac{R_2}{f_2} \end{align*}$

$\begin{align*} R_2<0\Rightarrow \frac{R_2}{f_2}<0 \end{align*}$

$\begin{align*} R_2=-0,24\ m \end{align*}$

$\begin{align*} n_2&=1-\frac{-0,24}{0,48}\\\\&=1+0,5\\\\&=1,5 \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow n_2=1,5 \end{align*}$ .