Subiectul III

Un circuit electric este format dintr-o sursă cu tensiune electromotoare E=24 V și rezistența interioară r=0,5 \Omega la bornele căreia se conectează un rezistor cu rezistența R legat în serie cu o grupare paralel a două becuri. Puterile consumate de cele două becuri sunt P_1=24W, respectiv P_2=36W. Intensitatea curentului electric prin rezistorul de rezistență R are valoarea I=5 A.

  1. Reprezentați schema circuitului descris.
  2. Determinați valoarea intensității curentului electric care străbate becul 1.
  3. Determinați valoarea rezistenței electrice R.
  4. Becul 1 se arde. Pentru ca becul 2 să consume aceeași putere P_2 se înlocuiește rezistorul având rezistența R cu un alt rezistor. Determinați valoarea R{}' a rezistenței electrice a noului rezistor.

Rezolvare:

  1. Circuitul descris are următoarea schemă:

  1. Deoarece becurile sunt legat în paralel, tensiunea la care sunt supuse acestea este egală.

Prin definiție, P=U\cdot I. Rezultă că U= \frac{P}{I}.

\Rightarrow U=\frac{P_1}{I_1}

U=\frac{P_2}{I_2}

\Rightarrow \frac{P_1}{I_1}=\frac{P_2}{I_2}

\begin{align*} \Rightarrow I_2&=I_1\cdot \frac{P_2}{P_1}\\\\ &=I_1\cdot \frac{36 }{24}\\\\ &= I_1\cdot 1,5 \end{align*}

Scriem prima lege a lui Kircchoff:

\begin{align*} I=I_1+I_2 \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow 5=I_1+1,5\cdot I_1 \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow 5=2,5\cdot I_1 \end{align*}

\begin{align*} I_1=\frac{5}{2,5} \end{align*}

\begin{align*} I_1=2\ A \end{align*}.

  1. Dacă \begin{align*} I_1=2A \end{align*}, rezultă că: 

\begin{align*} I_2&=1,5\cdot I_1\\ &=1,5\cdot 2\\&=3 \end{align*}

\begin{align*}\Leftrightarrow I_2&=3\ A \end{align*}.

Dacă \begin{align*} I_1=2A \end{align*}rezultă că: 

\begin{align*} U&=\frac{P_1}{I_1}\\\\ & =\frac{24}{2}\\\\ & =12 \end{align*}

\begin{align*}\Leftrightarrow U&=12\ V \end{align*}.

Aplicăm a doua lege a lui Kircchoff pentru un ochi de rețea și avem:

\begin{align*} E=I\cdot (r+R)+I_1\cdot R_{1} \end{align*}

\begin{align*} E=I\cdot (r+R)+U \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow R+r=\frac{E-U}{I} \end{align*}

\begin{align*} R&=\frac{E-U}{I}-r\\\\ & =\frac{24-12}{5}-0,5\\\\ &=\frac{12}{5}-0,5\\\\ &=2,4-0,5\\\\ &=1,9\ \Omega \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow R=1,9\ \Omega. \end{align*}

  1. Pentru ca becul să funcționeze la aceeași putere, trebuie ca intensitatea care trece prin ele sa fie aceeași ca la punctele anterioare (3A).

Intensitatea curentului care trece prin becul al doilea este aceeași cu intensitatea curentului care trece prin întregul circuit.

Scriem legea lui Ohm pentru întregul circuit:

E=I'\cdot (r+R'+R_2)

\Rightarrow I'\cdot R'=E-I'\cdot (r+R_2)

\Leftrightarrow R'=\frac{E-I'\cdot (r+R_2)}{I'}

I'=I_2=3\ A

U=I_2\cdot R_2

\begin{align*} \Rightarrow R_2&=\frac{U}{I_2}\\\\&=\frac{12}{3}\\\\&=4\ \Omega \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow R'&=\frac{24-3\cdot (0,5+4)}{3}\\\\ & =\frac{24-3\cdot 4,5}{3}\\\\ & =\frac{24-13.5}{3}\\\\ & =\frac{10,5}{3}\\\\ & =3,5\ \Omega \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow R' =3,5\ \Omega \end{align*}.