Subiectul II

În figura alăturată este reprezentată schema unui circuit electric. Generatoarele au aceeași tensiune electromotoare E_1=E_2=15 \ V și rezistențele interioare r_1=1 \Omega, respectiv r_2=2 \Omega. Rezistența electică a rezistorului 3 este  R_3=3 \Omega, iar rezistența internă a ampermetrului este R_A=2 \Omega. Intensitatea curentului indicată de ampermetru este I_A=1 A. Determinați:

  1. valoarea electrică U_{MN} dintre nodurile M și N;
  2. valoarea rezistenței electrice a rezistorului R_2;
  3. indicația unui voltmetru ideal \left (R_V\rightarrow \infty \right ) conectat la bornele generatorului cu tensiunea electromotoare E_1;
  4. intensitatea curentului electric prin sursa cu tensiunea electromotoare E_2 dacă sursa având tensiunea electromotoare E_1 se înlocuiește cu un fir cu rezistența neglijabilă.

Rezolvare:

  1. Aplicăm legea lui Ohm pentru o porțiune de circuit:

U_{MN}=I_3\cdot R_3.

Aplicăm apoi a doua lege a lui Kirchhoff:

E_1=I_A\cdot (r_1+R_A)+I_3\cdot R_3.

\Rightarrow E_1=I_A\cdot (r_1+R_A)+U_{MN}

\begin{align*} \Rightarrow U_{MN}&=E_1-I_A\cdot (r_1+R_A)\\ &=15-1\cdot (1+2)\\ &=12\ V \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow U_{MN}=12\ V. \end{align*}

  1. Alegem sensul curentului pe latura \begin{align*} MN\end{align*} din dreapta în stânga și aplicăm prima lege a lui Kirchhoff pentru nodul \begin{align*} M \end{align*}:

\begin{align*} I_A+I_2=I_3 \end{align*}

\Rightarrow I_2=I_3-I_A.

Aplicăm apoi a doua lege a lui Kirchhoff:

E_2= I_2\cdot (r_2+R_2)+I_3\cdot R_3

E_2=E_1

I_3\cdot R_3= U_{MN}

\Rightarrow E_1=I_2\cdot (r_2+R_2)+U_{MN}

\Leftrightarrow E_1=( I_3-I_A) \cdot (r_2+R_2)+U_{MN}

I_3=\frac{U_{MN}}{R_3}

\Rightarrow E_1=\left (\frac{U_{MN}}{R_3} -I_A \right )\cdot (r_2+R_2)+U_{MN}

\Rightarrow E_1-U_{MN}=\left (\frac{U_{MN}}{R_3} -I_A \right )\cdot r_2+\left (\frac{U_{MN}}{R_3} -I_A \right ) \cdot R_2

\begin{align*} \Rightarrow R_2&=\frac{E_1-U_{MN}-\left (\dfrac{U_{MN}}{R_3} -I_A \right )\cdot r_2}{\dfrac{U_{MN}}{R_3} -I_A} \\\\&=\frac{15-12-\left (\dfrac{12}{6}-1 \right )\cdot 2}{\dfrac{12}{6}-1}\\\\ &=\frac{3-2}{1}\\\\ &=1\ \Omega \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow R_2&=1\ \Omega \end{align*}.

  1. Scriem a doua lege a lui Kirchhoff:

\begin{align*} &E_1-U_V=I_A\cdot r_1\\ &U_V=E_1-I_A\cdot r_1\\ &U_V=15-1\cdot1\\ &U_V=15-1\\ &U_V=14\ V. \end{align*}

  1. Dacă se înlocuiește sursa E_1 cu un fir, atunci R_A va fi în paralel cu R_3, iar ansamblul celor două va fi în serie cu R_2 și cu r_2.

\Rightarrow \frac{1}{R_{echivalentA3}}=\frac{1}{R_A}+\frac{1}{R_3}

\begin{align*} \Rightarrow R_{echivalentA3}&=\frac{R_A\cdot R_3}{R_A+R_3}\\\\ & =\frac{2\cdot 6}{2+6}\\\\ &=\frac{12}{8}\ \Omega \end{align*}

\begin{align*} R_{echivalent}&=r_2+R_2+R_{echivalentA3}\\\\ &=2+1+\frac{12}{8}\\\\ &=\frac{24+12}{8}\\\\ &=\frac{36}{8}\ \Omega \end{align*}

\begin{align*} I'&=\frac{E_2}{R_{echivalent}}\\\\ &=\frac{15}{\dfrac{36}{8}}\\\\ & \simeq 3,3A \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow I' \simeq 3,3A \end{align*}.