Subiectul III

O cantitate $\nu =0,24 \left (\cong \frac{2}{8,31} \right )$ mol de gaz monoatomic (C_V=1,5 R) parcurge transformarea ciclică 1231 reprezentată în coordonate p-T în figura alăturată. În starea temperatura gazului este $t_1=127^\circ C$ , iar presiunea gazului în starea este p_2=2p_1 . Se cunoaște $\ln 2\cong 0,7$ .

Reprezentați ciclul în coordonate .
Determinați randamentul ciclului Carnot care ar funcționa între temperaturile extreme ale ciclului .
Calculați lucrul mecanic total schimbat de gaz cu mediul exterior în ciclul .
Determinați randamentul unui motor termic care ar funcționa după transformarea .

Rezolvare:

Reprezentarea ciclului în coordonate este următoarea:

Pentru ciclul Carnot, randamentul are următoarea expresie:

$\eta=1-\frac{T_{rece}}{T_{cald}}$ .

În cazul nostru, $T_{rece}=T_1$ și $T_{cald}=T_3$ .

$\Rightarrow \eta=1-\frac{T_1}{T_3}$

$\tan \alpha = \frac{p_2}{T_3}$ ( Din triunghiul mare O3T_3 )

$\tan \alpha = \frac{p_1}{T_1}$ ( Din triunghiul mic O1T_1 )

$\Rightarrow \frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_3}$

$\Leftrightarrow \frac{p_1}{p_2}=\frac{T_1}{T_3}$

$\Leftrightarrow \frac{p_1}{2p_1}=\frac{T_1}{T_3}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}=\frac{T_1}{T_3}$

$\Leftrightarrow T_3=2\cdot T_1$

$\begin{align*} \Rightarrow \eta&=1-\frac{1}{2}\\ &=1-0,5\\ & =0,5 \end{align*}$

În procente, $\begin{align*} \eta=50\% \end{align*}$ .

$L_{total}=L_{12}+L_{23}+L_{31}$

T_1=273+127=400K .

Transformarea $1\rightarrow 2$ este o transformare izotermă:

$\begin{align*} \Rightarrow L_{12}&=\nu\cdot R\cdot T_1\cdot \ln \frac{p_1}{p_2} \\\\& =\frac{2}{8,31}\cdot 8,31\cdot 400\cdot \ln \frac{1}{2} \\\\ &=800\cdot \ln 2^{-1}\\\\&=800\cdot (-\ln 2) \\ \\&= -800\cdot 0,7 \\\\&=-560 \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow L_{12}&=-560\ \text{J} \end{align*}$ .

Transformarea $\begin{align*} 2\rightarrow 3\end{align*}$ este o transformare izobară:

$\begin{align*} \Rightarrow L_{23}&=\nu\cdot R\cdot (T_3-T_1)\\\\ & =\frac{2}{8,31}\cdot 8,31\cdot (800-400)\\\\ &=800 \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow L_{23}=800\ \text{J} \end{align*}$ .

Pentru transformarea $\begin{align*} 3 \rightarrow 1\end{align*}$ avem:

$\begin{align*} \frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_3} \end{align*}$ ,

$\begin{align*}\Leftrightarrow \frac{p_1\cdot V_1}{T_1}=\frac{p_2\cdot V_3}{T_3}\end{align*}$

$\begin{align*}\Leftrightarrow \frac{p_1\cdot V_1}{T_1}=\frac{2p_1\cdot V_3}{2T_1}\end{align*}$

$\begin{align*}\Leftrightarrow \frac{p_1\cdot V_1}{T_1}=\frac{p_1\cdot V_3}{T_1}\ \Big| \cdot \dfrac{T_1}{p_1}\end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow V_1=V_3\end{align*}$ .

Avem o transformare izocoră, iar la transformările izocore, lucrul mecanic schimbat de gaz cu exteriorul este $\begin{align*} 0\end{align*}$ .

$\begin{align*} \Rightarrow L_{31}=0\end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow L_{total}&= L_{12}+L_{23}\\ &= -560+800\\ & =240 \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow L_{total}=240\ \text{J} \end{align*}$ .

Transformarea $1\rightarrow 2$ este o transformarea izotermă, deci $\begin{align*} L_{12}=Q_{12} \end{align*}$ .

$\begin{align*} L_{12}<0 \Rightarrow Q_{12}<0 \end{align*}$ (gazul cedează căldură).

Transformarea $\begin{align*} 2\rightarrow 3\end{align*}$ este o transformarea izobară:

$\begin{align*} \Rightarrow Q_{23}&=\nu\cdot C_p\cdot \Delta T\\ & =\nu\cdot C_p\cdot (T_3-T_1) \end{align*}$

$\begin{align*} C_p&=C_v+R\\ & =1,5\cdot R+R\\ &=2,5\cdot R \end{align*}$

$\begin{align*} Q_{23}=\frac{2}{8,31}\cdot 2,5\cdot 8,31\cdot 400 \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow Q_{23} =2000\ \text{J} \end{align*}$ (gazul primește căldură).

Transformarea $\begin{align*} 3 \rightarrow 1\end{align*}$ este o transformarea izocoră:

$\begin{align*} \Rightarrow Q_{31}&=\nu\cdot C_v\cdot \Delta T\\ & =\nu\cdot C_v\cdot (T_1-T_3) \end{align*}$

Deoarece $\begin{align*} T_1<T_3 \end{align*}$ , ne rezultă că $\begin{align*} T_1-T_3<0 \end{align*}$ .

$\begin{align*} \Rightarrow Q_{31}<0 \end{align*}$ (gazul cedează căldură).

Atunci:

$\begin{align*} \eta&=\frac{L_{total}}{Q_{primit}}\\\\ &= \frac{L_{total}}{Q_{23}} \\\\ &= \frac{240}{2000}\\\\ &=0,12 \end{align*}$

În procente, avem $\eta=12\%$ .