Subiectul III

O cantitate \nu =0,24 \left (\cong \frac{2}{8,31} \right ) mol de gaz monoatomic (C_V=1,5 R) parcurge transformarea ciclică 1231 reprezentată în coordonate p-T în figura alăturată. În starea 1 temperatura gazului este t_1=127^\circ C, iar presiunea gazului în starea 2 este p_2=2p_1. Se cunoaște \ln 2\cong 0,7.

  1. Reprezentați ciclul 1231 în coordonate p-T.
  2. Determinați randamentul ciclului Carnot care ar funcționa între temperaturile extreme ale ciclului 1231.
  3. Calculați lucrul mecanic total schimbat de gaz cu mediul exterior în ciclul 1231.
  4. Determinați randamentul unui motor termic care ar funcționa după transformarea 1231.

Rezolvare:

  1. Reprezentarea ciclului 1231 în coordonate p-T este următoarea:

  1. Pentru ciclul Carnot, randamentul are următoarea expresie: 

\eta=1-\frac{T_{rece}}{T_{cald}}.

În cazul nostru, T_{rece}=T_1 și T_{cald}=T_3.

\Rightarrow \eta=1-\frac{T_1}{T_3}

\tan \alpha = \frac{p_2}{T_3} ( Din triunghiul mare O3T_3 )

\tan \alpha = \frac{p_1}{T_1} ( Din triunghiul mic O1T_1 )

\Rightarrow \frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_3}

\Leftrightarrow \frac{p_1}{p_2}=\frac{T_1}{T_3}

\Leftrightarrow \frac{p_1}{2p_1}=\frac{T_1}{T_3}

\Leftrightarrow \frac{1}{2}=\frac{T_1}{T_3}

\Leftrightarrow T_3=2\cdot T_1

\begin{align*} \Rightarrow \eta&=1-\frac{1}{2}\\ &=1-0,5\\ & =0,5 \end{align*}

În procente, \begin{align*} \eta=50\% \end{align*}.

  1. L_{total}=L_{12}+L_{23}+L_{31}

T_1=273+127=400K.

Transformarea 1\rightarrow 2 este o transformare izotermă:

\begin{align*} \Rightarrow L_{12}&=\nu\cdot R\cdot T_1\cdot \ln \frac{p_1}{p_2} \\\\& =\frac{2}{8,31}\cdot 8,31\cdot 400\cdot \ln \frac{1}{2} \\\\ &=800\cdot \ln 2^{-1}\\\\&=800\cdot (-\ln 2) \\ \\&= -800\cdot 0,7 \\\\&=-560 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow L_{12}&=-560\ \text{J} \end{align*}.

Transformarea \begin{align*} 2\rightarrow 3\end{align*} este o transformare izobară:

\begin{align*} \Rightarrow L_{23}&=\nu\cdot R\cdot (T_3-T_1)\\\\ & =\frac{2}{8,31}\cdot 8,31\cdot (800-400)\\\\ &=800 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow L_{23}=800\ \text{J} \end{align*}.

Pentru transformarea \begin{align*} 3 \rightarrow 1\end{align*} avem: 

\begin{align*} \frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_3} \end{align*}

\begin{align*}\Leftrightarrow \frac{p_1\cdot V_1}{T_1}=\frac{p_2\cdot V_3}{T_3}\end{align*}

\begin{align*}\Leftrightarrow \frac{p_1\cdot V_1}{T_1}=\frac{2p_1\cdot V_3}{2T_1}\end{align*}

\begin{align*}\Leftrightarrow \frac{p_1\cdot V_1}{T_1}=\frac{p_1\cdot V_3}{T_1}\ \Big| \cdot \dfrac{T_1}{p_1}\end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow V_1=V_3\end{align*}.

Avem o transformare izocoră, iar la transformările izocore, lucrul mecanic schimbat de gaz cu exteriorul este \begin{align*} 0\end{align*}.

\begin{align*} \Rightarrow L_{31}=0\end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow L_{total}&= L_{12}+L_{23}\\ &= -560+800\\ & =240 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow L_{total}=240\ \text{J} \end{align*}.

  1. Transformarea 1\rightarrow 2 este o transformarea izotermă, deci \begin{align*} L_{12}=Q_{12} \end{align*}.

\begin{align*} L_{12}<0 \Rightarrow Q_{12}<0 \end{align*} (gazul cedează căldură).

Transformarea \begin{align*} 2\rightarrow 3\end{align*} este o transformarea izobară:

\begin{align*} \Rightarrow Q_{23}&=\nu\cdot C_p\cdot \Delta T\\ & =\nu\cdot C_p\cdot (T_3-T_1) \end{align*}

\begin{align*} C_p&=C_v+R\\ & =1,5\cdot R+R\\ &=2,5\cdot R \end{align*}

\begin{align*} Q_{23}=\frac{2}{8,31}\cdot 2,5\cdot 8,31\cdot 400 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow Q_{23} =2000\ \text{J} \end{align*} (gazul primește căldură).

Transformarea \begin{align*} 3 \rightarrow 1\end{align*} este o transformarea izocoră:

\begin{align*} \Rightarrow Q_{31}&=\nu\cdot C_v\cdot \Delta T\\ & =\nu\cdot C_v\cdot (T_1-T_3) \end{align*}

Deoarece \begin{align*} T_1<T_3 \end{align*}, ne rezultă că \begin{align*} T_1-T_3<0 \end{align*}.

\begin{align*} \Rightarrow Q_{31}<0 \end{align*} (gazul cedează căldură).

Atunci:

\begin{align*} \eta&=\frac{L_{total}}{Q_{primit}}\\\\ &= \frac{L_{total}}{Q_{23}} \\\\ &= \frac{240}{2000}\\\\ &=0,12 \end{align*}

În procente, avem \eta=12\%.