Subiectul II

Două incinte cu pereți rigizi sunt conectate printr-un tub de volum neglizabil prevăzut cu un robinet închis . Într-o incintă se află o masă de heliu $(\mu_1=4 \ \text{g}\cdot \text{mol}^{-1}; C_{v_1}=1,5 R)$ , iar în cealaltă incintă se găsește o masă egală de azot $(\mu_2=28 \ \text{g}\cdot \text{mol}^{-1}; C_{v_2}=2,5 R)$ . Întregul sistem este izolat adiabatic de mediul exterior. Heliul se află la $t_1=27^\circ C$ și $p_1=1,8\cdot 10^5 \ \text{Pa}$ , iar azotul se află la $t_2=7^\circ C$ și $p_2=1,2\cdot 10^5 \ \text{Pa}$ . Calculați:

raportul $\frac{V_1}{V_2}$ dintre volumul ocupat de heliu și cel ocupat de azot;
masa molară a amestecului de gaze obținut în urma deschiderii robinetului;
temperatura finală a amestecului de gaze obținut în urma deschiderii robinetului;
presiunea finală a amestecului de gaze obținut în urma deschiderii robinetului.

Rezolare:

Din ecuația de stare a gazului ideal avem:

$p\cdot V=\nu \cdot R\cdot T$ .

$\nu =\frac{m}{\mu }$

$\Rightarrow p\cdot V=\frac{m}{\mu }\cdot R\cdot T$ .

Deoarece masele celor două gaze sunt egale, avem:

$V_1=\frac{m\cdot R\cdot T_1}{\mu_1 \cdot p_1}$ ;

$V_2=\frac{m\cdot R\cdot T_2}{\mu_2 \cdot p_2}$ .

Împărțim cele două relații și avem:

$\frac{V_1}{V_2}=\frac{\dfrac{T_1}{\mu_1 \cdot p_1 }}{\dfrac{T_2}{\mu_2 \cdot p_2}}$

$\Leftrightarrow \frac{V_1}{V_2}=\frac{T_1\cdot \mu_2\cdot p_2}{T_2\cdot \mu_1\cdot p_1}$

Avem:

$T_{kelvin}=t_{celsius}+273$ .

Atunci:

T_1=27+273=300K

T_2=7+273=280K

$\Rightarrow \frac{V_1}{V_2}=\frac{300\cdot 1,2\cdot 10^{5}\cdot 28}{280\cdot 1,8\cdot 10^5\cdot 4}$

$\Leftrightarrow \frac{V_1}{V_2}=\frac{360}{72}$

$\Leftrightarrow \frac{V_1}{V_2}=5$ .

Gazele se amestecă astfel încât amândouă ocupă tot volumul ambelor incinte, astfel că într-un volum vom avea $\nu_1$ moli de heliu și $\nu_2$ moli de azot.

$\nu=\frac{m}{\mu} \Rightarrow \nu_{total}=\nu_1+\nu_2$

$\nu_{total}=\frac{m_{total}}{\mu_{amestec}}$

$\begin{align*} \Rightarrow \mu_{amestec}&=\frac{m_{total}}{\nu_{total}}\\\\ & =\frac{m+m}{\nu_1+\nu_2}\\\\ &=\frac{2\cdot m}{\dfrac{m}{\mu_1}+\dfrac{m}{\mu_2}}\\\\ &=\frac{2\cdot m}{m\cdot \left (\dfrac{1}{\mu_1}+\dfrac{1}{\mu_2} \right )}\\\\ & =\frac{2}{\dfrac{\mu_1+\mu_2}{\mu_1\cdot \mu_2}}\\\\ &=\frac{2\cdot \mu_1\cdot \mu_2}{\mu_1+\mu_2}\\\\ &= \frac{2\cdot 4\cdot 28}{4+28}\\\\ &= \frac{224}{32}\\\\ &=7 \end{align*}$

$\Rightarrow \mu_{amestec}=7\ \frac{g}{mol}$ .

Deoarece sistemul este izolat adiabatic, el nu face schimb de căldură cu mediul exterior.

Energia internă a unui gaz are expresia:

$U=\nu \cdot C_v\cdot T$

$\Rightarrow U_1=\nu_1 \cdot C_{v_{1}} \cdot T_1$

$U_2=\nu_2 \cdot C_{v_{2}} \cdot T_2$ .

Deoarece sistemul nu schimbă căldură cu mediul exterior, energia internă totală a gazelor rămâne constantă.

Deci suma dintre U_1 și U_2 înainte de deschiderea robinetului va fi egală cu suma dintre U'_1 și U'_2 după deschiderea robinetului.

$\Rightarrow U_1 + U_2 = U'_1 + U'_2$ .

După atingerea temperaturii de echilibru, gazele vor avea aceeași temperatură T_f .

$\Rightarrow U'_1 =\nu_1 \cdot C_{v_{1}} \cdot T_f$

$U'_2 =\nu_2 \cdot C_{v_{2}} \cdot T_f$

$\Rightarrow \nu_1 \cdot C_{v_{1}} \cdot T_1 + \nu_2 \cdot C_{v_{2}}\cdot T_2 = \nu_1 \cdot C_{v_{1}} \cdot T_f + \nu_2 \cdot C_{v_{2}} \cdot T_f$

$\Rightarrow \nu_1 \cdot C_{v_{1}} \cdot T_1 + \nu_2 \cdot C_{v_{2}} \cdot T_2 = (\nu_1 \cdot C_{v_{1}} + \nu_2 \cdot C_{v_{2}})\cdot T_f$

$T_f = \frac{\nu_1 \cdot C_{v_{1}} \cdot T_1 + \nu_2 \cdot C_{v_{2}} \cdot T_2}{\nu_1 \cdot C_{v_{1}} + \nu_2 \cdot C_{v_{2}}}$

$\nu_1 = \frac{m}{\mu_1}$

$\nu_2 = \frac{m}{\mu_2}$

$\Rightarrow T_f =\frac{\dfrac{m}{\mu_1}\cdot 1,5\cdot R\cdot T_1 + \dfrac{m}{\mu_2}\cdot 3,5\cdot R\cdot T_2}{\dfrac{m}{\mu_1}\cdot 1,5\cdot R + \dfrac{m}{\mu_2}\cdot 3,5\cdot R}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow T_f&=\frac{1,5\cdot \mu_2\cdot T_1 + 3,5\cdot \mu_1\cdot T_2}{1,5\cdot \mu_2 + 3,5\cdot \mu_1} \\\\ &=\frac{1,5\cdot 28\cdot 300+3,5\cdot 4\cdot 280}{1,5\cdot 28+3,5\cdot 4}\\\\ &=\frac{280(1,5\cdot 30+3,5\cdot 4)}{42+14}\\\\ &=\frac{280(45+14)}{56}\\\\ &=\frac{280\cdot 59}{56}\\\\ &=\frac{16520}{56} \\\\ & =295K \end{align*}$

$\Leftrightarrow T_f=295K$ .

Amândouă gazele ocupă întreg volumul celor două incinte și au amândouă temperatura . Deci putem scrie ecuațiile de stare pentru ele astfel:

$p'_1\cdot (V_1 + V_2)=\nu_1\cdot R\cdot T_f$ ,

respectiv

$p'_2\cdot (V_1 + V_2)=\nu_2\cdot R\cdot T_f$ .

Presiunea totală exercitată de gaze este egală cu suma presiunilor exercitate de fiecare gaz în parte ( p'_1 , respectiv p'_2 ).

$\Rightarrow p = p'_1 + p'_2$

$p_1\cdot V_1 = \nu_1\cdot R\cdot T_1$

$p'_1\cdot (V_1+V_2) = \nu_1\cdot R\cdot T_f$ .

Prin împărțirea celor două relații, rezultă:

$\frac{p_1\cdot V_1}{p'_1\cdot (V_1+V_2)}=\frac{T_1}{T_f}$

$\Rightarrow p'_1=p_1\cdot \frac{V_1\cdot T_f}{(V_1+V_2)\cdot T_1}$ .

Analog, pentru gazul al doilea, avem:

$p'_2=p_2\cdot \frac{V_2\cdot T_f}{(V_1+V_2)\cdot T_2}$

$V_1=5\cdot V_2$

$\begin{align*} \Rightarrow p&=p_1\cdot \frac{5\cdot V_2\cdot T_f}{(5\cdot V_2+V_2)\cdot T_1}+p_2\cdot \frac{V_2\cdot T_f}{(5\cdot V_2+V_2)\cdot T_2} \\\\& =p_1\cdot \frac{5\cdot T_f}{6\cdot T_1}+p_2\cdot \frac{T_f}{6\cdot T_2} \\\\&=\frac{T_f}{6}\left ( \frac{5p_1}{T_1}+\frac{p_2}{T_2} \right )\\\\ &=\frac{295}{6}\left ( \frac{5\cdot 1,8\cdot 10^5}{300}+\frac{1,2\cdot 10^5}{280} \right )\\\\ &=\frac{295}{6}\left ( \frac{9}{300}+\frac{1,2}{280} \right )\cdot 10^5\\\\ &=\left (\frac{295}{6}\cdot \frac{9}{300}+\frac{295}{6}\cdot \frac{1,2}{280} \right )\cdot 10^5\\\\ &=\left ( 1,475+0,21 \right )\cdot 10^5\\\\ &=1,685\cdot 10^5 \\\\& \simeq 1,7\cdot 10^5 Pa \end{align*}$

$\Rightarrow p \simeq 1,7\cdot 10^5 Pa.$