Subiectul II

Un bloc de beton (B) cu masa $m=300 \ \text{kg}$ este ridicat cu viteza constantă $v=0,4 \ \text{m/s}$ de-a lungul unei rampe ce formează un unghi $\alpha \cong 37^\circ$ $(\sin \alpha =0,6)$ cu orizontala. Forța de tracțiune exercitată asupra blocului de beton prin intermediul unui cablu inextensibil acționat de către un motor (M) , fixat în vârful rampei. Cablul este trecut peste un scripete fix (S) , ca în figura alăturată. Scripetele este fără frecări și lipsit de inerție, iar masa cablului este neglijabilă în raport cu masa blocului de beton. La un moment t_1 , cablul formează cu suprafața rampei unghiul $\beta =\alpha$ , iar forța de tracțiune are valoarea $F=2,5 \ \text{kN}$ .

Reprezentați forțele care acționează asupra blocului de beton .
Determinați valoarea forței de apăsare a blocului de beton pe suprafața rampei la momentul .
Determinați valoarea coeficientului de frecare la alunecare dintre blocul de beton și rampă.
Determinați puterea dezvoltată de motor la momentul .

Rezolvare:

Forțele care acționează asupra blocului de beton sunt:

Tensiunea din fir este egală cu forța dezvoltată de motor: .

Valoarea forței de apăsare a blocului este valoarea lui $\vec{N}$ .

$N+F_{\text{n}}=G_{\text{n}}$

$\Leftrightarrow N+F\cdot \sin \beta =G\cdot \cos \alpha$

$\Leftrightarrow N+F\cdot \sin \beta =m\cdot g\cdot \cos \alpha$

$\Rightarrow N=m\cdot g\cdot \cos \alpha-F\cdot \sin \beta$ .

Din formula fundamentală a trigonometriei avem:

$\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha=1$

$\begin{align*} \Rightarrow \cos \alpha &=\sqrt{1-\sin^{2}\alpha }\\ & =\sqrt{1-0,6^{2}}\\ & =\sqrt{1-0,36}\\&=\sqrt{0,64}\\&=0,8\\ \end{align*}$

$\begin{align*} &\alpha =\beta \\ &\Rightarrow \cos \alpha =\cos \beta \end{align*}$

$\begin{align*} 2,5 kN=2500N \end{align*}$ .

Înlocuim în formulă și avem :

$\begin{align*} N&=300\cdot 10\cdot 0,8-2500\cdot 0,6 \\&=2400-1500\\&=900\ N \end{align*}$

$\begin{align*} N&=900N \end{align*}$ .

Din desen avem că:

$\begin{align*} &\Rightarrow F_{\texttt{t}}=G_{\text{t}}+F_{\text{f}}\\\\ & \Rightarrow F\cdot \cos \beta =m\cdot g\cdot \sin \alpha +\mu \cdot N\\\\ & \Rightarrow \mu =\frac{F\cdot \cos \beta -m\cdot g\cdot \sin \alpha}{N} \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow \mu &=\frac{2500\cdot 0,8-300\cdot 10\cdot 0,6}{900}\\\\ & =\frac{2000-1800}{900}\\\\ & =\frac{200}{900}\\\\&=\frac{2}{9} \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow \mu =\frac{2}{9} \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow \mu \cong 0,22 \end{align*}$ .

Puterea este definită ca raportul dintre lucrul mecanic efectuat și timpul necesar efectuării lui.

$\Rightarrow P=\frac{L}{t}$ .

Deoarece direcția deplasării se face de-a lungul ipotenuzei planului înclinat, doar componenta tangențială a forței motorului $(F_{\text{t}})$ produce lucru mecanic (componenta $F_{\text{n}}$ este perpendiculară pe direcția deplasării, deci nu produce lucru mecanic ( din definiția lucrului mecanic avem $L=\vec{F}\cdot \vec{d}=F\cdot d\cdot \cos \beta =F_{\texttt{t}}\cdot d$ ).

$\begin{align*} \Rightarrow P&=\frac{F_{\texttt{t}}\cdot d}{t}\\ &=F\cdot \cos \beta \cdot \frac{d}{t} \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow P&=F\cdot \cos \beta \cdot \frac{d}{t} \end{align*}$ .

Prin definiție, viteza este raportul dintre distanța parcursă și timpul necesar parcurgerii:

$\begin{align*} v=\frac{d}{t} \end{align*}$ .

Atunci:

$\begin{align*} &\Rightarrow P=F\cdot \cos \beta \cdot v\\ &\Leftrightarrow P =2500\cdot 0,8\cdot 0,4 \\ &\Leftrightarrow P =800 W. \end{align*}$