Subiectul II

Un bloc de beton (B) cu masa m=300 \ \text{kg} este ridicat cu viteza constantă v=0,4 \ \text{m/s} de-a lungul unei rampe ce formează un unghi \alpha \cong 37^\circ (\sin \alpha =0,6) cu orizontala. Forța de tracțiune exercitată asupra blocului de beton prin intermediul unui cablu inextensibil acționat de către un motor (M), fixat în vârful rampei. Cablul este trecut peste un scripete fix (S), ca în figura alăturată. Scripetele este fără frecări și lipsit de inerție, iar masa cablului este neglijabilă în raport cu masa blocului de beton. La un moment t_1, cablul formează cu suprafața rampei unghiul \beta =\alpha, iar forța de tracțiune are valoarea F=2,5 \ \text{kN}.

  1. Reprezentați forțele care acționează asupra blocului de beton (B).
  2. Determinați valoarea forței de apăsare a blocului de beton pe suprafața rampei la momentul t_1.
  3. Determinați valoarea coeficientului de frecare la alunecare dintre blocul de beton și rampă.
  4. Determinați puterea dezvoltată de motor la momentul t_1.

Rezolvare:

  1. Forțele care acționează asupra blocului de beton sunt:

  1. Tensiunea din fir este egală cu forța dezvoltată de motor: T=F.

Valoarea forței de apăsare a blocului este valoarea lui \vec{N}

N+F_{\text{n}}=G_{\text{n}}

\Leftrightarrow N+F\cdot \sin \beta =G\cdot \cos \alpha

\Leftrightarrow N+F\cdot \sin \beta =m\cdot g\cdot \cos \alpha

\Rightarrow N=m\cdot g\cdot \cos \alpha-F\cdot \sin \beta.

Din formula fundamentală a trigonometriei avem:

\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha=1   

\begin{align*} \Rightarrow \cos \alpha &=\sqrt{1-\sin^{2}\alpha }\\ & =\sqrt{1-0,6^{2}}\\ & =\sqrt{1-0,36}\\&=\sqrt{0,64}\\&=0,8\\ \end{align*}

\begin{align*} &\alpha =\beta \\ &\Rightarrow \cos \alpha =\cos \beta \end{align*}

\begin{align*} 2,5 kN=2500N \end{align*}.

Înlocuim în formulă și avem :

\begin{align*} N&=300\cdot 10\cdot 0,8-2500\cdot 0,6 \\&=2400-1500\\&=900\ N \end{align*}

\begin{align*} N&=900N \end{align*}.

  1. Din desen avem că:  

\begin{align*} &\Rightarrow F_{\texttt{t}}=G_{\text{t}}+F_{\text{f}}\\\\ & \Rightarrow F\cdot \cos \beta =m\cdot g\cdot \sin \alpha +\mu \cdot N\\\\ & \Rightarrow \mu =\frac{F\cdot \cos \beta -m\cdot g\cdot \sin \alpha}{N} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \mu &=\frac{2500\cdot 0,8-300\cdot 10\cdot 0,6}{900}\\\\ & =\frac{2000-1800}{900}\\\\ & =\frac{200}{900}\\\\&=\frac{2}{9} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \mu =\frac{2}{9} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \mu \cong 0,22 \end{align*}.

  1. Puterea este definită ca raportul dintre lucrul mecanic efectuat și timpul necesar efectuării lui.

\Rightarrow P=\frac{L}{t}.

Deoarece direcția deplasării se face de-a lungul ipotenuzei planului înclinat, doar componenta tangențială a forței motorului (F_{\text{t}}) produce lucru mecanic (componenta F_{\text{n}} este perpendiculară pe direcția deplasării, deci nu produce lucru mecanic ( din definiția lucrului mecanic avem L=\vec{F}\cdot \vec{d}=F\cdot d\cdot \cos \beta =F_{\texttt{t}}\cdot d ).


\begin{align*} \Rightarrow P&=\frac{F_{\texttt{t}}\cdot d}{t}\\ &=F\cdot \cos \beta \cdot \frac{d}{t} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow P&=F\cdot \cos \beta \cdot \frac{d}{t} \end{align*}.


Prin definiție, viteza este raportul dintre distanța parcursă și timpul necesar parcurgerii:

\begin{align*} v=\frac{d}{t} \end{align*}.

Atunci:

\begin{align*} &\Rightarrow P=F\cdot \cos \beta \cdot v\\ &\Leftrightarrow P =2500\cdot 0,8\cdot 0,4 \\ &\Leftrightarrow P =800 W. \end{align*}