Subiectul III

O rază de lumină se propagă prin aer (n_1 = 1) și cade sub unghiul de incidenţă $i = 60^\circ$ pe faţa superioară a unei lame transparente cu feţe plan-paralele, ca în figura alăturată. Lama are grosimea $d = 3\ cm$ , iar indicele de refracţie al materialului din care este confecţionată este $n_2 = 1,73(\cong \sqrt{3} )$ . Faţa inferioară a lamei este argintată. Pe faţa superioară a lamei are loc atât fenomenul de reflexie cât şi cel de refracţie.

Realizați un desen în care să reprezentați raza reflectată și raza refractată în punctul de incidență , să marcați şi să notaţi unghiurile de incidență, de reflexie și de refracție.
Determinaţi viteza luminii în lamă.
Determinaţi unghiul dintre raza reflectată şi cea refractată.
Determinaţi distanţa dintre punctul şi punctul de pe faţa superioară a lamei prin care raza reflectată de faţa argintată va părăsi lama.

Rezolvare:

Reprezentarea celor două raze în punctul de incidență este redată în figura de mai jos:

Determinăm viteza luminii în lamă.

$n=\frac{c}{v}$

$\Rightarrow v=\frac{c}{n}$

$\Rightarrow v_{2}=\frac{c}{n_{2}}$

$\begin{align*} \Rightarrow v_{2}&=\frac{3\cdot 10^{8}}{\sqrt{3}} \\\\& =\frac{3\cdot \sqrt{3}}{3}\cdot 10^{8} \\\\& =\sqrt{3}\cdot 10^{8} \\\\& =1,73\cdot 10^{8} \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow v_{2} =1,73\cdot 10^{8}\ \frac{m}{s} \end{align*}$ .

Determinăm unghiul dintre raza reflectată şi cea refractată.

Din desen se observă că unghiul dintre raza reflectată şi cea refractată este $\begin{align*} \alpha={i}'+r \end{align*}$ .

$\begin{align*} {i}'=i=60^{\circ} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{\sin i}{\sin r}=\frac{n_{2}}{n_{1}} \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow \sin r&=\sin i\cdot\frac{n_{1}}{n_{2}} \\\\& =\sin 60^{\circ}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \\\\& =\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \\\\& =\frac{1}{2} \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow \sin r&=\frac{1}{2} \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow r =30^{\circ} \end{align*}$ .

$\begin{align*} \Rightarrow \alpha&=60^{\circ}+30^{\circ} \\& =90^{\circ} \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow \alpha&=90^{\circ} \end{align*}$ .

Determinăm distanţa dintre punctul şi punctul de pe faţa superioară a lamei prin care raza reflectată de faţa argintată va părăsi lama.

Din desen se observă ca $\begin{align*} x=2\cdot \ell \end{align*}$ .

$\begin{align*} \text{tg } r=\frac{\ell}{d} \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow \ell=\text{tg } r\cdot d \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow x&=2\cdot d\cdot \text{tg } r \\\\& =2\cdot 3\cdot \text{tg } 30^{\circ} \\\\& =6\cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \\\\& =2\cdot \sqrt{3} \\\\& \simeq 2\cdot 1,73 \\\\& =3,46 \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow x&=3,46\ \text{cm} \end{align*}$ .