Subiectul III

Două rezistoare, cu rezistențele electrice R_1 și R_2, sunt conectate în serie la bornele unei baterii cu tensiunea electromotoare E = 12\ V și rezistență interioară neglijabilă. Într-un interval de timp \Delta t = 2\ min, energia disipată în cele două rezistoare este W = 1,44\ kJ. Știind că o fracțiune f_1 = 25\% din această energie se degajă în rezistorul R_1, determinați:

  1. puterea electrică furnizată de generator circuitului exterior; 
  2. rezistența electrică echivalentă corespunzătoare grupării serie a rezistoarelor; 
  3. intensitatea curentului electric debitat de generatorul electric;
  4. valoarea rezistenței electrice a rezistorului R_2.

Rezolvare:

  1. Determinăm puterea electrică furnizată de generator circuitului exterior.

\begin{align*} W=P\cdot \Delta t \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow P=\frac{W}{\Delta t} \end{align*}.

Avem:

\begin{align*} \Delta t&=2\ \text{min} \\&=2\cdot 60\ \text{s} \\&=120\ \text{s} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \Delta t&=120\ \text{s} \end{align*}

și

\begin{align*} W&=1,44\ \text{kJ} \\&=1,44\cdot 1000\text{ J} \\& =1440\ \text{J} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow W=1440\ \text{J} \end{align*}.

Atunci:

\begin{align*} \Rightarrow P&=\frac{1440}{120} \\\\&=\frac{144}{12} \\\\&=12 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow P=12 \text{ W} \end{align*}.

  1. Determinăm rezistența electrică echivalentă corespunzătoare grupării serie a rezistoarelor.

E=U+u

u=I\cdot r

r\simeq 0

\Rightarrow u=I\cdot 0=0

\Rightarrow E=U.

Atunci:

\begin{align*} P&=U\cdot I \\\\&=U\cdot \frac{U}{R_{s}} \\\\& =\frac{U^{2}}{R_{s}} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow P& =\frac{U^{2}}{R_{s}} \end{align*}.

\begin{align*} \Rightarrow R_{s}&=\frac{U^{2}}{P} \\\\& =\frac{12^{2}}{12} \\\\& =12 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow R_{s}& =12\ \Omega \end{align*}.

  1. Determinăm intensitatea curentului electric debitat de generatorul electric.

\begin{align*} P=U\cdot I \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow I&=\frac{P}{U} \\\\&=\frac{12}{12} \\\\&=1 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow I=1 \text{ A} \end{align*}.

  1. Determinăm valoarea rezistenței electrice a rezistorului R_2.

\begin{align*} W_{R_{1}}=25\%\cdot W \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow W_{R_{2}}=(100\%-25\%)\cdot W \end{align*}

sau

\begin{align*} W_{R_{2}}=(1-f)\cdot W \end{align*}.

\begin{align*} W_{R_{2}}=P_{R_{2}}\cdot \Delta t \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow P_{R_{2}}&=\frac{W_{R_{2}}}{\Delta t} \\\\&=\frac{(1-f)\cdot W}{\Delta t} \\\\&=\frac{(1-0,25)\cdot 1440}{120} \\\\&=0,75\cdot 12 \\\\&=\frac{3}{4}\cdot 12 \\\\&=9 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow P_{R_{2}}&=9\text{ W} \end{align*}.

\begin{align*} P_{R_{2}}=U_{R_{2}}\cdot I_{R_{2}} \end{align*}.

Rezistenţele \begin{align*} R_{1} \end{align*} şi \begin{align*} R_{2} \end{align*} sunt legate în serie.

Atunci, avem:

\begin{align*} I_{R_{2}}=I_{R_{1}}=I \end{align*}.

\begin{align*} \Rightarrow P_{R_{2}}&=U_{R_{2}}\cdot I \\&=I\cdot R_{2}\cdot I \\&=I^{2}\cdot R_{2} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow P_{R_{2}}=I^{2}\cdot R_{2} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow R_{2}&=\frac{P_{R_{2}}}{I^{2}} \\\\& =\frac{9}{1^{2}}\\\\&=9 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow R_{2}=9 \ \Omega \end{align*}.