Subiectul II

O baterie cu tensiunea electromotoare E = 9\ V și rezistența interioară r alimentează o grupare paralel formată din doi rezistori. Un rezistor are rezistența electrică R_1 = 12\ \Omega, iar celălalt are R_2 = 24\ \Omega.Tensiunea la bornele grupării paralel este U = 8\ V. Rezistorul R_2 este confecționat dintr-un fir de manganină cu secțiunea S = 0,4\ mm^2 şi lungimea \ell =20\ m. Determinați:

  1. rezistența echivalentă a grupării paralel;
  2. intensitatea curentului electric ce străbate rezistorul R_1
  3. rezistența interioară a bateriei; 
  4. rezistivitatea electrică a manganinei. 

Rezolvare:

  1. Calculăm rezistența echivalentă a grupării paralel.

\frac{1}{R_{p}}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}

\Leftrightarrow \frac{1}{R_{p}}=\frac{R_{2}+R_{1}}{R_{1}\cdot R_{2}}

\begin{align*} \Rightarrow R_{p}&=\frac{R_{1}\cdot R_{2}}{R_{1}+R_{2}} \\\\& =\frac{12\cdot 24}{12+24} \\\\& =\frac{12\cdot 2\cdot 12}{12+2\cdot 12} \\\\& =\frac{2\cdot 12^{2}}{3\cdot 12} \\\\& =\frac{2}{3}\cdot 12 \\\\& =\frac{24}{3} \\\\& =8 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow R_{p} =8 \ \Omega \end{align*}.

  1. Deoarece cei doi rezistori sunt legaţi în paralel, tensiunea pe gruparea lor este egală cu tensiunea pe fiecare rezistor în parte.

\begin{align*} \Rightarrow U_{R_{1}}&=U_{R_{2}} \\&=U \\&=8 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow U_{R_{1}}=8\ \text{V} \end{align*}.

Atunci:

\begin{align*} I_{R_{1}}&=\frac{U_{R_1}}{R_{1}} \\\\&=\frac{8}{12} \\\\& =\frac{2}{3} \\\\&\simeq 0,67 \end{align*}

\begin{align*}\Leftrightarrow I_{R_{1}}&\simeq 0,67\text{ A} \end{align*}.

  1. Avem:

E=U+u

\begin{align*} \Rightarrow u&=E-U \\& =9-8 \\& =1 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow u =1\text{ V} \end{align*}.

\begin{align*} r=\frac{u}{I} \end{align*}

\begin{align*} I&=I_{R_{1}}+I_{R_{2}} \\&=I_{R_{p}} \end{align*}

\begin{align*} I_{R_{p}}&=\frac{U}{R_{p}} \\\\& =\frac{8}{8} \\\\& =1 \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow I=1\ \text{ A} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow r&=\frac{1}{1} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow r&=1\ \Omega \end{align*}.

  1. Avem:

\begin{align*} R=\rho\cdot \frac{\ell}{S} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow R_{2}=\rho_{m}\cdot \frac{\ell}{S} \end{align*}

\Rightarrow \rho_{m}=\frac{R_{2}\cdot S}{\ell}

R_{2}=24\ \Omega

\ell=20\ \text{m}

\begin{align*} S&=0,4\ \text{mm}^{2} \\&=0,4\cdot 10^{-6}\ \text{m}^{2} \\&=4\cdot 10^{-7}\ \text{m}^{2} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow S=4\cdot 10^{-7}\ \text{m}^{2} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow \rho_{m}&=\frac{24\cdot 4\cdot 10^{-7}}{20} \\\\&=\frac{24}{5}\cdot 10^{-7} \\\\&=4,8\cdot 10^{-7} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \rho_{m}=4,8\cdot 10^{-7}\ \Omega \cdot \text{m} \end{align*}.