Subiectul III

O cantitate $\nu=1$ mol de gaz ideal monoatomic (C_V = 3R /2) evoluează după ciclul termodinamic reprezentat în coordonate p -T în graficul alăturat.

Se dă $\ln 3 \cong 1,1$ .

Reprezentați ciclul termodinamic în coordonate .
Calculați lucrul mecanic schimbat de gaz cu mediul exterior în transformarea $\text{A}\longrightarrow \text{B}$ .
Determinați variația energiei interne a gazului în procesul $\text{C}\longrightarrow \text{A}$ .
Determinați căldura schimbată de gaz cu exteriorul în procesul $\text{B}\longrightarrow \text{C}$ .

Rezolvare:

În timpul transformării $\text{A}\longrightarrow \text{B}$ temperatura rămâne constantă. Rezultă că transformarea $\text{A}\longrightarrow \text{B}$ este izotermă. Atunci:

$\begin{align*} p\cdot v=ct \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow p_{A}\cdot V_{A}=p_{B}\cdot V_{B} \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow V_{B}=\frac{p_{A}}{p_{B}}\cdot V_{A}=\frac{1}{3}\cdot V_{A} \end{align*}$ .

În transformarea $\begin{align*} \text{B}\longrightarrow \text{C} \end{align*}$ presiunea rămâne constantă. Rezultă că transformarea $\begin{align*} \text{B}\longrightarrow \text{C} \end{align*}$ este izobară.

$\begin{align*} \Rightarrow p=ct \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow \frac{V}{T}=ct \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow \frac{V_{B}}{T_{B}}=\frac{V_{C}}{T_{C}}. \end{align*}$

Cum $\begin{align*} T_{A}=T_{B} \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow \frac{V_{B}}{T_{A}}=\frac{V_{C}}{T_{C}} \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow V_{C}&=V_{B}\cdot \frac{T_{C}}{T_{A}} \\\\&=V_{B}\cdot \frac{900}{300} \\\\& =3\cdot V_{B} \end{align*}$

$\begin{align*} V_{B}=\frac{1}{3}\cdot V_{A} \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow V_{C}=3\cdot \frac{1}{3}\cdot V_{A}=V_{A} . \end{align*}$

Transformarea $\begin{align*} \text{C}\longrightarrow \text{A} \end{align*}$ este o linie dreaptă care trece prin origine, deci reprezintă o funcţie de gradul I între presiune şi temperatură.

$\begin{align*} \Rightarrow p=\alpha\cdot T+\beta \end{align*}$

(unde $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ şi $\begin{align*} \beta \end{align*}$ constanţi)

Direcţia dreptei trece prin origine.

$\begin{align*} \Rightarrow \beta=0 \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow p=\alpha\cdot T \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow \frac{p}{T}=ct \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow \frac{T}{p}=ct \end{align*}$

$\begin{align*} p\cdot V=\nu\cdot R\cdot T \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow V=\frac{\nu\cdot R\cdot T}{p} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{T}{p}=ct \end{align*}$

$\begin{align*} \nu\cdot R=ct \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow V=ct \end{align*}$ .

Rezultă că transformarea este izocoră.

Astfel, avem următoarea reprezentare a ciclului termodinamic în coordonate p -V :

Transformarea $\text{A}\longrightarrow \text{B}$ este izotermă.

$\begin{align*} \Rightarrow L=\nu\cdot R\cdot t\cdot \ln \frac{V_{f}}{V_{i}} \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow L_{A\longrightarrow B}=\nu\cdot R\cdot T_{A}\cdot \ln \frac{V_{B}}{V_{A}} \end{align*}$

$\begin{align*} L_{A\longrightarrow B}&=18,31\cdot 300\cdot \ln \frac{\dfrac{1}{3}\cdot V_{A}}{V_{p}} \\\\& =8,31\cdot 300\cdot \ln \frac{1}{3} \\\\& =8\cdot 31\cdot 300\cdot \ln 3^{-1} \\\\& =8,31\cdot 300\cdot (-1)\cdot \ln 3 \\\\& =-8,31\cdot 300\cdot \ln 3 \\\\& =-2493\cdot 1,1 \\\\& =-2742 \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow L_{A\longrightarrow B}=-2742\text{ J} \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow L_{A\longrightarrow B}\cong -2,7\text{ kJ} \end{align*}$ .

Variaţia energiei interne a unui gaz in orice transformare are formula:

$\begin{align*} \Delta U=\nu\cdot C_{V}\cdot \Delta T \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow \Delta U_{C\longrightarrow A}&=\nu\cdot C_{V}\cdot (T_{A}-T_{C}) \\\\& =1\cdot \frac{3}{2}\cdot R\cdot (T_{A}-T_{C}) \\\\& =1,5\cdot 8,31\cdot (300-900) \\\\& =-1,5\cdot 8,31\cdot 600 \\\\& =-8,31\cdot 900 \\\\& =-7479 \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow \Delta U_{C\longrightarrow A} =-7479\text{ J} \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow \Delta U_{C\longrightarrow A} \cong -7,5\text{ kJ} \end{align*}$ .

Transformarea $\begin{align*} \text{B}\longrightarrow \text{C} \end{align*}$ este izobară.

$\begin{align*} \Rightarrow Q_{B\longrightarrow C}=\nu\cdot C_{p}\cdot \Delta T_{B\longrightarrow C} \end{align*}$

$\begin{align*} C_{p}&=C_{V}+R\\\\&=\frac{3}{2}\cdot R+R\\\\ & =\frac{5}{2}\cdot R \end{align*}$

$\begin{align*}\Leftrightarrow C_{p}&=\frac{5}{2}\cdot R \end{align*}$ .

$\begin{align*}\Rightarrow Q_{B\longrightarrow C}&=1\cdot \frac{5}{2}\cdot R\cdot (T_{C}-T_{B}) \\\\& =2,5\cdot 8,31\cdot (900-300) \\\\& =2,5\cdot 8,31\cdot 600 \\\\& =8,31\cdot 1500 \\\\&=12465 \end{align*}$

$\begin{align*}\Leftrightarrow Q_{B\longrightarrow C}&=12465\text{ J} \end{align*}$

$\begin{align*}\Leftrightarrow Q_{B\longrightarrow C}&\cong 12,5\text{ kJ} \end{align*}$ .