Subiectul III

Un elev aflat într-un turn de înălțime h = 15 m aruncă vertical în jos, cu viteza v_0= 10 m/s , un corp de dimensiuni mici, având masa m = 0,2 kg. Se neglijează interacțiunea corpului cu aerul, iar energia potențială gravitațională a sistemului corp-Pământ se consideră nulă la nivelul solului. Calculați:

energia cinetică a corpului în momentul aruncării acestuia;
lucrul mecanic efectuat de greutatea corpului din momentul aruncării acestuia și până la atingerea solului;
viteza corpului în momentul imediat anterior atingerii solului;
energia potențială în momentul în care viteza corpului are valoarea m/s .

Rezolvare:

Calculăm energia cinetică a corpului în momentul aruncării acestuia.

$\begin{align*} E_{c_{0}}&=m\cdot \frac{{v_{0}}^{2}}{2} \\\\&=0,2\cdot \frac{10^{2}}{2} \\\\& =0,1\cdot 100 \\\\& =10 \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow E_{c_{0}}&=10\ \text{J} \end{align*}$ .

Calculăm lucrul mecanic efectuat de greutatea corpului din momentul aruncării acestuia și până la atingerea solului.

$\begin{align*} L=F\cdot d \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow L_{G}&=G\cdot h \\& =m\cdot g\cdot h \\&=0,2\cdot 10\cdot 15 \\& =2\cdot 15 \\&=30 \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow L_{G}&=30 \text{ J} \end{align*}$ .

În momentul atingerii solului, energia potenţială a corpului este 0, iar energia cinetică a corpului este maximă.

Conform legii conservării energiei avem:

$\begin{align*} E_{i}=E_{f} \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow E_{c_{i}}+E_{p_{i}}=E_{c_{f}}+E_{p_{f}} \end{align*}$

$\begin{align*} \left.\begin{matrix} E_{p_{f}=0}\\ E_{c_{i}=E_{c_{0}}}\\ E_{p_{i}=E_{p_{0}}}\end{matrix}\right\} \Rightarrow E_{c_{0}}+E_{p_{0}}=E_{c_{f}} \end{align*}$

$\begin{align*} E_{p_{0}}&=m\cdot g\cdot h \\&=0,2\cdot 10\cdot 15 \\&=30 \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow E_{p_{0}}=30\ \text{J} \end{align*}$ .

$\begin{align*} \Rightarrow E_{c_{f}}&=E_{c_{0}}+E_{p_{0}} \\&=10+30 \\&=40 \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow E_{c_{f}}&=40\ \text{J} \end{align*}$ .

$\begin{align*} E_{c_{f}}=m\cdot \frac{{v_{f}}^{2}}{2} \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow {v_{f}}^{2}=\frac{2\cdot E_{c_{f}}}{m} \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow v_{f}&=\sqrt{\frac{2\cdot E_{c_{f}}}{m}} \\\\& =\sqrt{\frac{2\cdot 40}{0,2}} \\\\& =\sqrt{10\cdot 40} \\\\& =\sqrt{400} \\\\& =20 \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow v_{f} =20\ \frac{\text{m}}{\text{s}} \end{align*}$ .

Conform legii conservării energiei, energia totală a corpului (cinetică+potențială) este aceeaşi pe toată durata căderii acestuia.

Notăm cu:

$\begin{align*} E_{c_{i}} \end{align*}$ - energia cinetică a corpului când acesta are viteza $\begin{align*} v_{1}=16\ \frac{\text{m}}{\text{s}} \end{align*}$ .

$\begin{align*} E_{p_{i}} \end{align*}$ - energia potenţială a corpului când acesta are viteza $\begin{align*} v_{1}=16\ \frac{\text{m}}{\text{s}} \end{align*}$ .