Subiectul II

Un obiect luminos, liniar, cu înălţimea de $2\ cm$ , este plasat perpendicular pe axa optică principală în faţa unei lentile convergente, considerată subţire şi având distanţa focală de $20\ cm$ . Distanţa de la obiect la lentilă este de $30\ cm.$

Determinaţi convergenţa lentilei.
Calculați distanţa de la lentilă la imagine.
Calculați înălțimea imaginii.
Fără a schimba poziţia lentilei şi a obiectului, se alipeşte de această lentilă o lentilă identică, formând astfel un sistem optic centrat. Calculați distanța pe care se deplasează imaginea.

Rezolvare:

Determinăm convergența lentilei.

$C=\frac{1}{f}$

$f=20\ cm=0,2\ m$

$\begin{align*} \Rightarrow C&=\frac{1}{f}\\\\ & =\frac{1}{0,2}\\\\ &=5\ m^{-1} \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow C=5\ m^{-1} \end{align*}$ .

Calculăm distanța de la lentilă la imagine.

Lentila este convergentă.

$\begin{align*} \Rightarrow f>0 \end{align*}$

$\begin{align*} x_{1}<0 \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow x_{1}=-30\ cm=-0,3\ m \end{align*}$ .

$\begin{align*} &\frac{1}{x_{2}}-\frac{1}{x_{1}}=\frac{1}{f}\\\\ &\frac{1}{x_{2}}=\frac{1}{f}+\frac{1}{x_{1}}\\\\ &\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+f}{x_{1}\cdot f} \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow x_{2}&=\frac{x_{1}\cdot f}{x_{1}+f}\\\\ &=\frac{-0,3\cdot 0,2}{-0,3+0,2}\\\\ &=\frac{-0,06}{-0,1}\\\\ &=0,6\ m \\\\ &=60\ cm \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow x_{2}=60\ cm \end{align*}$ .

Calculăm înălțimea imaginii.

$\begin{align*} \beta=\frac{y_{2}}{y_{1}}=\frac{x_{2}}{x_{1}} \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow y_{2}=y_{1}\cdot \frac{x_{2}}{x_{1}} \end{align*}$

$\begin{align*} y_{1}=2\ cm \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow y_{2}&=y_{1}\cdot \frac{x_{2}}{x_{1}}\\\\ &=2\cdot \frac{0,6}{-0,3}\\\\ &=2\cdot (-2)\\\\ &=-4\ cm \end{align*}$

Înălțimea imaginii are valoarea $\begin{align*} h=|y_{2}| =4\ cm \end{align*}$ .

Calculăm distanța pe care se deplasează imaginea, după alipirea unei alte lentile identice.

$\begin{align*} {C}'=C_{1}+C_{2} \end{align*}$

$\begin{align*} C_{1}=C_{2}=C \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow {C}'&=2\cdot C\\ &=2\cdot 5\ m^{-1}\\ &=10\ m^{-1} \end{align*}$

$\begin{align*} {f}'&=\frac{1}{{C}'}\\\\ &=\frac{1}{10}\\\\ &=0,1\ m\\\\ &=10\ cm \end{align*}$

$\begin{align*} {x_{1}}'=x_{1} \end{align*}$

$\begin{align*} &\Rightarrow \frac{1}{{x_{2}}'}-\frac{1}{x_{1}}=\frac{1}{{f}'}\\\\ &\Rightarrow \frac{1}{{x_{2}}'}=\frac{1}{{f}'}+\frac{1}{x_{1}}\\\\ &\Leftrightarrow \frac{1}{{x_{2}}'}=\frac{x_{1}+{f}'}{x_{1}\cdot {f}'} \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow {x_{2}}'&=\frac{x_{1}\cdot {f}'}{x_{1}+{f}'}\\\\ &=\frac{-0,3\cdot 0,1}{-0,3+0,1}\\\\ &=\frac{-0,03}{-0,2}\\\\ &=0,15\ m\\\\ &=15\ cm \end{align*}$

$\begin{align*} d&=x_2-{x_{2}}'\\ &=60\ cm-15\ cm\\ &=45\ cm \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow d=45\ cm \end{align*}$ .