Subiectul II

În figura alăturată este reprezentată schema unui circuit electric în care se cunosc: $E_1 =9\ V$ , $r_1=1,5\ \Omega$ , $E_2 =6\ V$ , $r_2=1,5\ \Omega$ , $R=9\ \Omega$ şi $R_2=6\ \Omega$ . Rezistorul este confecționat dintr-un fir conductor cu lungimea $\ell = 0,75\ m$ şi rezistivitatea la temperatura de funcţionare $\rho= 12 \cdot 10^{-7}\ \Omega m$ . Ampermetrul montat în circuit indică un curent electric de intensitate $I_A = 1\ A$ . Tensiunea la bornele rezistorului R_1 este $U_1 = 2\ V$ . Rezistența electrică a conductoarelor se neglijează. Determinați:

aria secţiunii transversale a firului conductor din care este alcătuit rezistorul ;
valoarea rezistenței electrice a rezistorului ;
valoarea rezistenţei interne a ampermetrului;
tensiunea indicată de un voltmetru ideal $(R_V \to \infty)$ conectat la bornele sursei cu t.e.m. .

Rezolvare:

Aflăm aria secţiunii transversale a firului conductor din care este alcătuit rezistorul .

$R=\rho\cdot\frac{\ell}{S}$

$\Rightarrow S=\rho\cdot \frac{\ell}{R}$

$R=9\ \Omega$

$\ell=0,75\ m$

$\rho= 12 \cdot 10^{-7}\ \Omega m$

$\begin{align*} \Rightarrow S&=12\cdot 10^{-7}\cdot \frac{0,75}{9}\\\\ &=1\cdot 10^{-7}\\\\ &=0,1\cdot 10^{-6}\ m^2\\\\ &=0,1\ mm^2 \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow S=0,1\ mm^2 \end{align*}$ .

Deoarece rezistențele $\begin{align*} R_1 \end{align*}$ si $\begin{align*} R_2 \end{align*}$ sunt legate în paralel, avem că .

Scriem prima lege a lui Kirchhoff:

I=I_1+I_2

$U_1=I_1\cdot R_1=I_A\cdot R_{ep}$

$\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}=\frac{1}{R_{ep}}$

$\begin{align*} &\Rightarrow \frac{1}{R_1}=\frac{1}{R_{ep}}-\frac{1}{R_2}\\\\ &\Rightarrow \frac{1}{R_1}=\frac{R_2-R_{ep}}{R_2\cdot R_{ep}}\\\\ &\Rightarrow R_1=\frac{R_2\cdot R_{ep}}{R_2-R_{ep}}\\\\ \end{align*}$

$\begin{align*} R_{ep}&=\frac{U_1}{I_A}\\\\&=\frac{2}{1}\\\\&=2\ \Omega\\\\ \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow R_1=\frac{6\cdot 2}{6-2} \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow R_1=\frac{12}{4} \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow R_1=3\ \Omega \end{align*}$ .

Scriem a doua lege a lui Kirchhoff și avem:

$\begin{align*} E_1+E_2=I_A\cdot(r_1+r_2+R)+I_A\cdot R_A+I_A\cdot R_{ep} \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow I_A\cdot R_A=E_1+E_2-I_A\cdot(r_1+r_2+R+R_{ep}) \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow R_A&=\frac{E_1+E_2-I_A\cdot(r_1+r_2+R+R_{ep})}{I_A}\\\\ &=\frac{9+6-1\cdot(1,5+1,5+9+2)}{1}\\\\ &=\frac{15-14}{1}\\\\ &=\frac{1}{1}\\\\&=1\ \Omega \end{align*}$