Subiectul II

În figura alăturată este reprezentată schema unui circuit electric în care se cunosc: E_1 =9\ V, r_1=1,5\ \Omega, E_2 =6\ V, r_2=1,5\ \Omega, R=9\ \Omega şi R_2=6\ \Omega. Rezistorul R este confecționat dintr-un fir conductor cu lungimea \ell = 0,75\ m şi rezistivitatea la temperatura de funcţionare \rho= 12 \cdot 10^{-7}\ \Omega m. Ampermetrul montat în circuit indică un curent electric de intensitate I_A = 1\ A. Tensiunea la bornele rezistorului R_1 este U_1 = 2\ V. Rezistența electrică a conductoarelor se neglijează. Determinați:

  1. aria secţiunii transversale a firului conductor din care este alcătuit rezistorul R;
  2. valoarea rezistenței electrice a rezistorului R_1;
  3. valoarea rezistenţei interne R_A a ampermetrului; 
  4. tensiunea indicată de un voltmetru ideal (R_V \to \infty) conectat la bornele sursei cu t.e.m. E_2.

Rezolvare:

  1. Aflăm aria secţiunii transversale a firului conductor din care este alcătuit rezistorul R.

R=\rho\cdot\frac{\ell}{S}

\Rightarrow S=\rho\cdot \frac{\ell}{R}

R=9\ \Omega

\ell=0,75\ m

\rho= 12 \cdot 10^{-7}\ \Omega m

\begin{align*} \Rightarrow S&=12\cdot 10^{-7}\cdot \frac{0,75}{9}\\\\ &=1\cdot 10^{-7}\\\\ &=0,1\cdot 10^{-6}\ m^2\\\\ &=0,1\ mm^2 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow S=0,1\ mm^2 \end{align*}.

  1. Deoarece rezistențele \begin{align*} R_1 \end{align*} si \begin{align*} R_2 \end{align*} sunt legate în paralel, avem că U_1=U_2.

Scriem prima lege a lui Kirchhoff:

I=I_1+I_2

U_1=I_1\cdot R_1=I_A\cdot R_{ep}

\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}=\frac{1}{R_{ep}}

\begin{align*} &\Rightarrow \frac{1}{R_1}=\frac{1}{R_{ep}}-\frac{1}{R_2}\\\\ &\Rightarrow \frac{1}{R_1}=\frac{R_2-R_{ep}}{R_2\cdot R_{ep}}\\\\ &\Rightarrow R_1=\frac{R_2\cdot R_{ep}}{R_2-R_{ep}}\\\\ \end{align*}

\begin{align*} R_{ep}&=\frac{U_1}{I_A}\\\\&=\frac{2}{1}\\\\&=2\ \Omega\\\\ \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow R_1=\frac{6\cdot 2}{6-2} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow R_1=\frac{12}{4} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow R_1=3\ \Omega \end{align*}.

  1. Scriem a doua lege a lui Kirchhoff și avem:

\begin{align*} E_1+E_2=I_A\cdot(r_1+r_2+R)+I_A\cdot R_A+I_A\cdot R_{ep} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow I_A\cdot R_A=E_1+E_2-I_A\cdot(r_1+r_2+R+R_{ep}) \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow R_A&=\frac{E_1+E_2-I_A\cdot(r_1+r_2+R+R_{ep})}{I_A}\\\\ &=\frac{9+6-1\cdot(1,5+1,5+9+2)}{1}\\\\ &=\frac{15-14}{1}\\\\ &=\frac{1}{1}\\\\&=1\ \Omega \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow R_A=1\ \Omega \end{align*}.

  1. Scriem a doua lege a lui Kirchhoff și avem:

\begin{align*} U_V&=E_2-I_A\cdot r_2\\ & =6-1\cdot 1,5\\&=6-1,5\\ &=4,5\ V \end{align*}

\begin{align*}\Leftrightarrow U_V=4,5\ V \end{align*}.