Subiectul II

Două vase, de volume $V_1 = 24,93\ L$ şi $V_2 = 16,62\ L$ , sunt conectate printr-un tub subțire de volum neglijabil prevăzut cu un robinet inițial închis, ca în figura alăturată. În primul vas se află heliu $(\mu _{He} =4\ g/mol)$ la
presiunea $p =3\cdot 10^5\ Pa$ , iar în al doilea vas se află aer $(\mu_{aer} =29\ g/mol)$ la presiunea $p =1,5\cdot 10^5\ Pa$ . Cele două gaze, considerate ideale, se află la aceeaşi temperatură $t = 27^\circ C$ . Determinaţi:

cantitatea de heliu din primul recipient;
densitatea aerului din al doilea recipient;
presiunea care se stabileşte în vase după deschiderea robinetului, temperatura rămânând constantă;
masa molară a amestecului obţinut în urma deschiderii robinetului.

Rezolvare:

Determinăm cantitatea de heliu din primul recipient.

$\begin{align*} T&=t+273\\ &=27+273\\ &=300\ K \end{align*}$

$\begin{align*} V_{1}=24,93\ L=24,93\cdot 10^{-3}\ m^{3} \end{align*}$

$\begin{align*} p\cdot V=\nu\cdot R\cdot T \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow p_{1}\cdot V_{1}=\nu_{1}\cdot R\cdot T \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow \nu_{1}=\frac{p_{1}\cdot V_{1}}{R\cdot T} \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow \nu_{1}&=\frac{3\cdot 10^{5}\cdot 24,93\cdot 10^{-3}}{8,31\cdot 300}\\\\ &=\frac{3\cdot 3\cdot 10^{2}}{300}\\\\ & =3\ moli \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow \nu_{1} =3\ moli \end{align*}$ .

Determinăm densitatea aerului din al doilea recipient.

$\begin{align*} p\cdot V=\nu\cdot R\cdot T \end{align*}$

$\begin{align*} \nu=\frac{m}{\mu} \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow p\cdot V=\frac{m}{\mu}\cdot R\cdot T \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow p\cdot \mu=\frac{m}{V}\cdot R\cdot T \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow p\cdot \mu=\rho\cdot R\cdot T \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow \rho=\frac{p\cdot \mu}{R\cdot T} \end{align*}$

$\begin{align*} \mu_{aer}=29\ \frac{g}{mol} =29\cdot 10^{-3}\ \frac{kg}{mol} \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow \rho_{2}&=\frac{p_{2}\cdot \mu_{aer}}{R\cdot T}\\\\ &=\frac{1,5\cdot 10^{5}\cdot 29\cdot 10^{-3}}{8,31\cdot 300}\\\\ &\simeq \frac{5,235\cdot 10^{2}}{300}\\\\ & \simeq 1,7\ \frac{kg}{m^{2}} \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow \rho_{2} \simeq 1,7\ \frac{kg}{m^{2}} \end{align*}$ .

Determinăm presiunea care se stabileşte în vase după deschiderea robinetului.

Presiunea finală este suma presiunilor parțiale exercitate de cele $\begin{align*} 2 \end{align*}$ gaze, ca și cum ar ocupa independent volumul celor două vase. Temperatura finală a amestecului va fi tot $\begin{align*} T \end{align*}$ , deaorece energia totală a sistemului ( $\begin{align*} U_{total} \end{align*}$ ) rămâne constantă (sistemul nu schimbă nici căldură și nici lucru mecanic după deschiderea robinetului).

Deoarece temperatura rămâne constantă, transformările suferite de cele două gaze după deschiderea robinetului sunt izoterme.

$\begin{align*} \Rightarrow p\cdot V=ct \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow {p_{1}}'\cdot V_{total}=p_{1}\cdot V_{1} \end{align*}$ și $\begin{align*} {p_{2}}'\cdot V_{total}=p_{2}\cdot V_{2} \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow {p_{1}}'&=p_{1}\cdot \frac{V_{1}}{V_{total}}\\\\ &=3\cdot 10^{5}\cdot \frac{24,93}{24,93+16,62}\\\\ &=3\cdot 10^{5}\cdot \frac{24.93}{41,55}\\\\ &=3\cdot 10^{5}\cdot \frac{3}{5}\\\\ &=1,8\cdot 10^{5}\ Pa \end{align*}$

$\begin{align*} {p_{2}}'&=p_{2}\cdot \frac{{V_{2}}'}{V_{total}}\\\\ &=1,5\cdot 10^{5}\cdot \frac{16,62}{41,55}\\\\ &=1,5\cdot 10^{5}\cdot \frac{2}{5}\\\\ &=\frac{3}{5}\cdot 10^{5}\\\\ &=0,6\cdot 10^{5}\ Pa \end{align*}$

$\begin{align*} p&={p_{1}}'+{p_{2}}'\\ &=1,8\cdot 10^{5}+0,6\cdot 10^{5}\\ &=2,4\cdot 10^{5}\ Pa \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow p=2,4\cdot 10^{5}\ Pa \end{align*}$ .

Determinăm masa molară a amestecului obţinut în urma deschiderii robinetului.

$\begin{align*} \mu_{am}&=\frac{m_{total}}{\nu_{total}}\\\\ & =\frac{m_{1}+m_{2}}{\nu_{1}+\nu_{2}}\\\\ & =\frac{\mu_{1}\cdot \nu_{1}+\mu_{2}\cdot \nu_{2}}{\nu_{1}+\nu_{2}} p_{2}\cdot V_{2}\\\\ &=\nu_{2}\cdot R\cdot T \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow \nu_{2}&=\frac{p_{2}\cdot V_{2}}{R\cdot T}\\\\ &=\frac{1,5\cdot 10^{5}\cdot 16,62\cdot 10^{-3}}{8,31\cdot 300}\\\\ &=\frac{1,5\cdot 2\cdot 10^{2}}{300}\\\\ &=1\ mol \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow \mu_{am}&=\frac{4\cdot 3+29\cdot 1}{3+1}\\\\ &=\frac{12+29}{4}\\\\ &=\frac{41}{4}\\\\ &=10,25\ \frac{g}{mol} \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow \mu_{am}=10,25\ \frac{g}{mol} \end{align*}$ .