Subiectul III

Un corp cu masa $m=1\ kg$ este ridicat cu viteză constantă, timp de $10\ s$ , cu ajutorul unui motor electric. Energia potenţială gravitațională variază în timp conform graficului alăturat. Se consideră că energia potenţială este nulă la nivelul solului. Forțele de rezistență la înaintare sunt neglijabile.

Determinaţi înălţimea la care se află corpul la momentul $t = 5\ s$ .
Calculaţi energia cinetică a corpului în timpul ridicării.
Determinaţi puterea dezvoltată de motor.
Din punctul aflat la înălțimea $h = 20\ m$ , corpul este lăsat să cadă liber, din repaus. Calculați valoarea impulsului corpului în momentul în care, în timpul căderii sale, energia cinetică este de trei ori mai mică decât energia potențială.

Rezolvare:

Din grafic se observă că la momentul $t=5\ s$ corpul are energia potențială gravitațională $E_p=100\ J$ .

$E_p=m\cdot g\cdot h$

$\begin{align*} \Rightarrow h&=\frac{E_p}{m\cdot g}\\\\ &=\frac{100}{1\cdot 10}\\\\ &=10\ m \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow h=10\ m \end{align*}$ .

Viteza corpului este constantă.

$\begin{align*} v&=\frac{d}{t}\\\\ & =\frac{h}{t}\\\\ &=\frac{10}{5}\\\\ &=2\ \frac{m}{s} \end{align*}$

$\begin{align*} E_c&=m\cdot \frac{v^2}{2}\\\\ & =1\cdot \frac{2^2}{2}\\\\ & =\frac{4}{2}\\\\ &=2\ J \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow E_c=2\ J \end{align*}$ .

Calculăm puterea dezvoltată de motor.

$\begin{align*} P&=\frac{L}{t}\\\\ & =\frac{F\cdot d}{t}\\\\ & =F\cdot \frac{d}{t}\\\\ & =F\cdot v \end{align*}$

Corpul se mișcă cu viteză constantă:

$\begin{align*} \Rightarrow F&=G\\ &=m\cdot g\\ &=1\cdot 10\\ &=10\ N. \end{align*}$

$\begin{align*} & \Rightarrow P=10\cdot 2\\ &\Leftrightarrow P=20\ W. \end{align*}$

Deoarece în timpul căderii nu acționează alte forțe în afară de greutate, energia totală se conservă.

$\begin{align*} E_{p_{max}}=E'_p+E_c \end{align*}$

$\begin{align*} E_c=\frac{1}{3}\cdot E'_p \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow E'_p=3\cdot E_c \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow E_{p_{max}}&=3\cdot E_c+E_c\\ &=4\cdot E_c \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow E_c&=\frac{E_{p_{max}}}{4}\\\\ &=\frac{200}{4}\\\\ & =50\ J \end{align*}$

$\begin{align*} E_c=m\cdot \frac{v^2}{2} \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow v^2=\frac{2\cdot E_c}{m} \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow v&=\sqrt{\frac{2\cdot E_c}{m}}\\\\ &=\sqrt{\frac{2\cdot 50}{1}}\\\\ &=\sqrt{100}\\\\ &=10\ \frac{m}{s} \end{align*}$

$\begin{align*} p&=m\cdot v\\ & =1\cdot 10\\ & =10\ kg\cdot \frac{m}{s} \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow p=10\ kg\cdot \frac{m}{s} \end{align*}$ .