Subiectul II

Corpurile din figura alăturată sunt legate printr-un fir inextensibil și de masă neglijabilă, trecut peste un scripete lipsit de inerție și frecări. Sub acţiunea forţei constante $\overrightarrow{F }$ , corpul de masă m_1 se deplasează, în sensul de acţiune al forţei, cu viteza constantă $v = 0,5\ m/s$ . Se cunosc masele corpurilor $m_1 = m_2 = 5\ kg$ , unghiul planului înclinat $\alpha= 45^\circ$ şi coeficientul de frecare la alunecare, acelaşi pentru ambele corpuri şi suprafeţe $\mu= 0,2$ . Firul este suficient de lung pentru ca în timpul mișcării corpul de masă m_2 să nu atingă scripetele.

Reprezentaţi forţele care acţionează asupra corpului de masă .
Determinaţi timpul în care corpul de masă parcurge distanţa $d = 1,5\ m$ .
Calculaţi valoarea tensiunii din fir.
Se modifică modulul forței $\overrightarrow{F }$ , noua valoare fiind $F{}'= 62,3\ N$ . Determinaţi acceleraţia sistemului în acest caz.

Rezolvare:

Forțele care acționează asupra corpului de masă sunt reprezentate în desenul de mai jos.

Avem:

$d=v\cdot t$

$\begin{align*} \Rightarrow t&=\frac{d}{v}\\\\ & =\frac{1,5}{0,5}\\\\ & =3\ s \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow t =3\ s \end{align*}$ .

Deoarece corpurile se mișcă cu viteză constantă, accelerațiile lor sunt nule.

Pentru corpul de masă m_2 avem:

$\begin{align*} T-G_t_2-F_f_2=m_2\cdot a \end{align*}$

$\begin{align*} a=0 \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow T-G_t_2-F_f_2=0 \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow T=G_t_2+F_f_2 \end{align*}$

$\begin{align*} G_t_2&=G_2\cdot \sin \alpha\\\\ &=m_2\cdot g\cdot \sin \alpha\\\\ &=5\cdot 10\cdot \sin 45^{\circ}\\\\&=50\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\\\\ &\simeq 25\cdot 1,41\\\\ &=35,25\ N \end{align*}$

$\begin{align*} F_f_2&=\mu\cdot N_2\\\\ &=\mu\cdot G_n_2\\\\ &=\mu\cdot G_2\cdot \cos\alpha\\\\ &=\mu\cdot m_2\cdot g\cdot \cos \alpha\\\\ &=0,2\cdot 5\cdot 10\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\\\\ &\simeq 5\cdot 1,41\\\\ &=7,05\ N \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow T=35,25+7,05 \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow T=42,3\ N \end{align*}$ .

Pentru corpul de masă avem:

$\begin{align*} F'-T'-F_f_1=m_1\cdot a\ \ \ (1) \end{align*}$ .

Pentru corpul de masă m_2 avem:

$\begin{align*} T'-G_t_2-F_f_2=m_2\cdot a\ \ \ (2) \end{align*}$ .

Adunăm relațiile $\begin{align*} (1) \end{align*}$ și $\begin{align*} (2) \end{align*}$ , obținând:

$\begin{align*} F'-T'-F_f_1+T'-G_t_2-F_f_2=m_1\cdot a+m_2\cdot a \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow F'-F_f_1-G_t_2-F_f_2=(m_1+m_2)\cdot a \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow a=\frac{F'-F_f_1-G_t_2-F_f_2}{m_1+m_2} \end{align*}$ .

$\begin{align*} F_f_1&=\mu\cdot N_1\\ &=\mu\cdot G_1\\ &=\mu\cdot m_1\cdot g\\ &=0,2\cdot5\cdot10\\ &=10\ N \end{align*}$

$\begin{align*} F_f_2 \end{align*}$ și $\begin{align*} G_t_2 \end{align*}$ au fost calculate la subpunctul anterior.

$\begin{align*} \Rightarrow a&=\frac{62,3-7,05-35,25-10}{5+5}\\\\ &=\frac{62,3-52,3}{10}\\\\ & =\frac{10}{10}\\\\ & =1\ \frac{m}{s^2} \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow a =1\ \frac{m}{s^2} \end{align*}$ .