Subiectul III

Un corp cu masa m = 1\text{ kg} este ridicat cu viteză constantă, timp de 10 \text{ s }, cu ajutorul unui motor electric. Energia potenţială gravitațională variază în timp conform graficului alăturat.

Se consideră că energia potenţială este nulă la nivelul solului. Forțele de rezistență la înaintare sunt neglijabile.

  1. Determinaţi înălţimea la care se află corpul la momentul t = 5 \text{ s }.
  2. Calculaţi viteza corpului în timpul ridicării.
  3. Determinaţi puterea dezvoltată de motor.
  4. Din punctul aflat la înălțimea h = 20\text{ m }, corpul este lăsat să cadă liber, din repaus. Calculați valoarea vitezei în momentul în care corpul lovește solul.

Rezolvare:

  1. Avem:

E_{p}=m\cdot g\cdot h

\Rightarrow h=\frac{E_{p}}{m\cdot g}.

La t = 5 \text{ s }, E_{p}=100\ \text{J}

\Rightarrow h=\frac{100}{1\cdot 10}

\Leftrightarrow h=10\ \text{m}.

  1. Viteza corpului este constantă.

\Rightarrow h=v\cdot t

\Rightarrow v=\frac{h}{t}.

La t = 5 \text{ s }h=10\ \text{m} (calculat la punctul anterior)

\Rightarrow v=\frac{10}{5}

\Leftrightarrow v=2\ {\frac{ \text{m}}{ \text{s}}}.

  1. Deoarece corpul are viteză constantă, înseamnă că accelerația lui este nulă (a=0).

\left.\begin{matrix} F-G=m\cdot a\\ a=0\end{matrix}\right\} \Rightarrow F-G=0

\begin{align*} \Leftrightarrow F=G=m\cdot g \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow P&=m\cdot g\cdot v \\&=1\cdot 10\cdot 2 \\&=20 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow P=20\ \text{W} \end{align*}.

  1. Din teorema conservării energiei avem:

\begin{align*} E_{i}=E_{f} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow E_{ci}+E_{pi}=E_{cf}+E_{pf} \end{align*}.

Corpul pornește din repaus. 

\begin{align*} \Rightarrow E_{ci}=0 \end{align*}.

La final, acesta atinge solul.

\begin{align*} \Rightarrow E_{pf}=0 \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow E_{pi}=E_{cf} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow m\cdot g\cdot h=\frac{m\cdot {v_{f}}^{2}}{2} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow g\cdot h=\frac{{v_{f}}^{2}}{2} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow {v_{f}}^{2}=2\cdot g\cdot h \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow v_{f}&=\sqrt{2\cdot g\cdot h} \\\\& =\sqrt{2\cdot 10\cdot 20} \\\\&=\sqrt{400}\\\\&=20 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow v_{f}=20\ \frac{\text{m}}{\text{s}} \end{align*}