Subiectul III

Pe fundul unui vas paralelipipedic având înălţimea h =17,3 \text{ cm}, umplut cu un lichid transparent cu indicele de refracţie n =\sqrt{ 2 }, se află o oglindă plană. O rază de lumină, care vine din aer, cade pe suprafaţa lichidului sub unghiul de incidenţă i = 45^\circ şi intră în lichid. După reflexia pe oglinda de pe fundul vasului raza de lumină se reîntoarce la suprafaţa de separaţie lichid-aer şi iese în aer. Se cunoaște indicele de refracție al aerului, n_0 =1.

  1. Determinaţi valoarea vitezei de propagare a luminii în lichid.
  2. Realizaţi un desen în care să ilustraţi mersul razei de lumină prin aer şi prin lichid.
  3. Calculaţi unghiul de refracţie al razei de lumină la intrarea în lichid.
  4. Determinaţi distanţa dintre punctul în care lumina intră în lichid şi punctul în care lumina iese din lichid.

Rezolvare:

  1. Avem:

n=\frac{c}{v}

\begin{align*} \Rightarrow v&=\frac{c}{n} \\\\& =\frac{3\cdot 10^{8}}{\sqrt{2}} \\\\& \simeq \frac{3}{1,41}\cdot 10^{8} \\\\& =2,13\cdot 10^{8} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow v=2,13\cdot 10^{8}\ \frac{\text{m}}{\text{s}} \end{align*}.

  1. În imaginea de mai jos ilustrăm mersul razei de lumină prin aer şi prin lichid:

  1. Avem:

\begin{align*} \frac{\sin i}{\sin r}=\frac{n{2}}{n_{1}} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \frac{\sin i}{\sin r}=\frac{n}{n_{0}} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow \sin r&=\sin i\cdot \frac{n_{0}}{n} \\\\&=\sin 45^{\circ}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \\\\&=\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\\\\& =\frac{1}{2} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \sin r=\frac{1}{2} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow r=30^{\circ} \end{align*}.

  1. Avem următoarea imagine:

Din desen se observă că \begin{align*} d=2\cdot x \end{align*}.

\begin{align*} \text{tg}\ r&=\frac{AD}{DB}\\\\& =\frac{x}{h} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow x=h\cdot \text{tg}\ r \end{align*}

\begin{align*} \text{tg}\ 30^{\circ}&=\frac{\sin 30^{\circ}}{\cos 30^{\circ}} \\\\& =\frac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \\\\&=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \\\\&=\frac{1}{\sqrt{3}} \\\\&=\frac{\sqrt{3}}{3} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow x=17,3\cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \end{align*}

\begin{align*} 17,3=10\cdot 1,73 \simeq 10\sqrt{3} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow x&\simeq 10\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \\\\& \simeq 10\cdot \frac{3}{3} \\\\& =10 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow x=10\text{ cm} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow d&=2\cdot x \\&=2\cdot 10 \\&=20 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow d=20\text{ cm} \end{align*}.