Subiectul III

În figura alăturată este reprezentată schema unui circuit electric.

Se cunosc: r =1,5\ \Omega, R_1 =5 \ \Omega, R_2 =10 \ \Omega şi rezistenţa becului R_B =5 \ \Omega. Intensitatea curentului electric prin bec este I_B = 2\text{ A }, iar conductoarele de legătură au rezistenţa electrică neglijabilă.

  1. Calculaţi puterea electrică disipată de bec.
  2. Calculaţi energia consumată de rezistorul R_1 în timpul t = 10\text{ min }.
  3. Determinaţi valoarea tensiunii electromotoare a bateriei.
  4. În cazul în care becul se arde, precizaţi dacă tensiunea la bornele sursei creşte sau scade. Justificaţi răspunsul vostru.

Rezolvare:

  1. Avem:

\begin{align*} P&=U\cdot I \\& =I\cdot R\cdot I \\& =R\cdot I^{2} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow P_{B}&=R_{B}\cdot {I_{B}}^{2} \\& =5\cdot 2^{2} \\& =5\cdot 4 \\& =20 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow P_{B}=20\ \text{W} \end{align*}.

  1. Rezistența \begin{align*} R_{1} \end{align*} este legată în serie cu becul.

\begin{align*} \Rightarrow I_{R_{1}}=I_{B} \end{align*}

\begin{align*} W&=P\cdot \Delta t \\& =U\cdot I\cdot \Delta t \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow W_{R_{1}}&=U_{R_{1}}\cdot I_{R_{1}}\cdot \Delta t \\\\&=I_{R_{1}}\cdot R_{1}\cdot I_{R_{1}}\cdot \Delta t \\\\& ={I_{R_{1}}}^{2}\cdot R_{1}\cdot \Delta t \end{align*}

\begin{align*} \Delta t&=10\ \text{min}\\&=10\cdot 60\ \text{s}\\&=600\ \text{s} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow W_{R_{1}}&=2^{2}\cdot 5\cdot 600 \\& =4\cdot 300 \\& =12000\ \text{ J} \\& =12\ \text{kJ} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow W_{R_{1}}& =12\ \text{kJ} \end{align*}

  1. Deoarece rezistența \begin{align*} R_{1} \end{align*} și becul sunt legate în paralel cu rezistența \begin{align*} R_{2} \end{align*}, tensiunea adunată de pe primele două este egală cu tensiunea de pe rezistența \begin{align*} R_{2} \end{align*}.

\begin{align*} I_{R_{2}}&=\frac{U_{R_{2}}}{I_{2}} \\\\& =\frac{U_{R_{1}}+U_{B}}{R_{2}} \\\\& =\frac{I_{R_{1}}\cdot R_{1}+I_{B}\cdot R_{B}}{R_{2}} \\\\& =\frac{2\cdot 5+2\cdot 5}{10} \\\\& =\frac{10+10}{10} \\\\& =\frac{20}{10} \\\\& =2 \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow I_{R_{2}}=2\ \text{A} \end{align*}.

Scriem prima lege a lui Kirchhoff.

\begin{align*} I&=I_{1}+I_{2} \\&=I_{R_{1}}+I_{R_{2}} \\& =2+2 \\& =4 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow I=4\ \text{A} \end{align*}.

\begin{align*} E&=U+u\\&=U_{R_{2}}+u \end{align*}

\begin{align*} u&=I\cdot r \\& =4\cdot 1,5 \\& =6 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow u=6\text{ V} \end{align*}.

\begin{align*} U_{R_{2}}&=I_{R_{2}}\cdot R_{2} \\&=2\cdot 10 \\& =20 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow U_{R_{2}}=20\text{ V} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow E&=20+6 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow E=26\text{ V} \end{align*}.

  1. Dacă becul se arde, prin rezistența \begin{align*} R_{1} \end{align*} nu mai circulă curent.

\begin{align*} \Rightarrow {U}'_{borne}={U}'_{R_{2}} \end{align*}

\begin{align*} {I}'&=\frac{E}{r+R_{2}} \\\\& =\frac{26}{1,5+10} \\\\& =\frac{26}{11,5} \\\\& \simeq 2,26\ \text{A} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow {I}'& \simeq 2,26\ \text{A} \end{align*}

\begin{align*} {I}'> I \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow {I}'\cdot R_{2}> I\cdot R_{2} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow {U}'_{R_{2}}> U_{R_{2}} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow {U}'_{borne}> U_{borne} \end{align*}.

Așadar, tensiunea la bornele sursei crește.